1999 AMC 12 Problema 30

Question

El número de pares ordenados de enteros

(m, n)

para los cuales

mn \ge 0

y

m^3 + n^3 + 99mn = 33^3

es igual a

The number of ordered pairs of integers

(m, n)

for which

mn \ge 0

and

m^3 + n^3 + 99mn = 33^3

is equal to

2

3

33

35

99

Respuesta: D

Conceptos:factorización Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Como

99 = 3 \cdot 33,

la ecuación es

m^3 + n^3 + (-33)^3

- 3mn(-33) = 0

.

Since

99 = 3 \cdot 33,

the equation is

m^3 + n^3 + (-33)^3

- 3mn(-33) = 0

Pista grande:

Usa

x^3 + y^3 + z^3

- 3xyz = (x + y + z)

\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)

.

Use

x^3 + y^3 + z^3

- 3xyz = (x + y + z)

\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)

Solución:

Escribiendo

z = -33,

la ecuación se convierte en

m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,

que se factoriza como

\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}

El segundo factor es igual a

\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],

que es

0

solo en

(m, n) = (-33, -33);

esto satisface

mn \ge 0.

En caso contrario

m + n = 33.

Con

mn \ge 0

ambos son no negativos, dando

(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),

que son

34

pares. En conjunto hay

35

soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing

z = -33,

the equation becomes

m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,

which factors as

\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}

The second factor equals

\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],

which is

0

only at

(m, n) = (-33, -33);

this satisfies

mn \ge 0.

Otherwise

m + n = 33.

With

mn \ge 0

both are nonnegative, giving

(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),

which is

34

pairs. Together there are

35

solutions.

Thus, the correct answer is D.