1994 AMC 12 Problema 26

Question

Un polígono regular de

m

lados está rodeado exactamente (sin superposiciones ni huecos) por

m

polígonos regulares de

n

lados cada uno. (Se muestra el caso

m=4,

n=8.

) Si

m=10,

¿cuál es el valor de

n

?

A regular polygon of

m

sides is exactly enclosed (no overlaps, no gaps) by

m

regular polygons of

n

sides each. (Shown here for

m=4,

n=8.

) If

m=10,

what is the value of

n?

5

6

14

20

26

Respuesta: A

Conceptos:regular polygons interior angles angle sums

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

En cada vértice del polígono interior, un ángulo del

m

-gono y dos ángulos de los

n

-gonos suman

360^\circ

At each vertex of the inner polygon, one

m

-gon angle and two

n

-gon angles fill

360^\circ

Pista grande:

Usa para un

k

-gono regular el ángulo interior

180^\circ(1-\frac{2}{k})

Use the regular

k

-gon interior angle

180^\circ(1-\frac{2}{k})

Solución:

En un vértice del polígono interior, su ángulo interior y dos ángulos de los polígonos circundantes suman

360^\circ.

Por tanto,

\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ. \end{gathered}

Esto se simplifica a

\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}.

Con

m=10,

se obtiene

\frac{2}{n}=\frac{2}{5},

así que

n=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At a vertex of the inner polygon, its interior angle and two angles from the surrounding polygons total

360^\circ.

Thus

\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ. \end{gathered}

This simplifies to

\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}.

With

m=10,

we get

\frac{2}{n}=\frac{2}{5},

so

n=5.

Thus the correct answer is A.