1992 AMC 12 Problema 28

Question

Sea

i=\sqrt{-1}.

El producto de las partes reales de las raíces de

z^2-z=5-5i

es

Let

i=\sqrt{-1}.

The product of the real parts of the roots of

z^2-z=5-5i

is

-25

-6

-5

\frac14

25

Aplica la fórmula cuadrática y escribe

\sqrt{21-20i}=a+bi

Apply the quadratic formula and write

\sqrt{21-20i}=a+bi

Resuelve

a^2-b^2=21

y

2ab=-20

para determinar las partes reales de las dos raíces

Solve

a^2-b^2=21

and

2ab=-20

to determine the real parts of the two roots

La fórmula cuadrática da

z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2.

Como

(5-2i)^2=21-20i,

las raíces son

\begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned}

Sus partes reales tienen producto

3(-2)=-6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The quadratic formula gives

z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2.

Since

(5-2i)^2=21-20i,

the roots are

\begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned}

Their real parts have product

3(-2)=-6.

Thus the correct answer is B.

El Problema 28 en otros años