1987 AMC 12 Problema 28

Question

Sean

a,

b,

c,

d

números reales. Supongamos que todas las raíces de

z^4+az^3+bz^2+cz+d=0

son números complejos situados sobre una circunferencia del plano complejo con centro en

0+0i

y radio

1.

La suma de los recíprocos de las raíces es necesariamente

Let

a,

b,

c,

d

be real numbers. Suppose that all the roots of

z^4+az^3+bz^2+cz+d=0

are complex numbers lying on a circle in the complex plane centered at

0+0i

and having radius

1.

The sum of the reciprocals of the roots is necessarily

a

b

c

-a

-b

Para un número complejo

r

sobre la circunferencia unitaria, compara

\frac{1}{r}

con

\overline r

For a complex number

r

on the unit circle, compare

\frac{1}{r}

with

\overline r

Los coeficientes reales del polinomio hacen que la suma de las raíces sea real

Real polynomial coefficients make the sum of the roots real

Si

|r|=1,

entonces

\frac{1}{r}=\overline r.

Por tanto, la suma de los recíprocos es el conjugado de la suma de las raíces. Por las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces es

-a,

que es real. Su conjugado sigue siendo

-a.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If

|r|=1,

then

\frac{1}{r}=\overline r.

Therefore the sum of the reciprocals is the conjugate of the sum of the roots. By Vieta’s formulas, the sum of the roots is

-a,

which is real. Its conjugate is still

-a.

Thus the correct answer is D.

El Problema 28 en otros años