1987 AMC 12 Problema 26

Question

La cantidad

2.5

se divide uniformemente al azar en dos números reales no negativos; por ejemplo, en

2.143

y

0.357,

o en

\sqrt3

y

2.5-\sqrt3.

Después, cada número se redondea al entero más cercano; por ejemplo, a

2

y

0

en el primer caso, y a

2

y

1

en el segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos enteros sumen

3

?

The amount

2.5

is split into two nonnegative real numbers uniformly at random, for instance, into

2.143

and

0.357,

or into

\sqrt3

and

2.5-\sqrt3.

Then each number is rounded to its nearest integer, for instance,

2

and

0

in the first case above,

2

and

1

in the second. What is the probability that the two integers sum to

3?

\frac14

\frac25

\frac12

\frac35

\frac34

Respuesta: B

Conceptos:continuous probability rounding interval length

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea el primer número

x

, distribuido uniformemente en

[0,2.5]

Let the first number be

x

uniformly distributed on

[0,2.5]

Pista grande:

Halla los intervalos en los que

x

y

2.5-x

se redondean a enteros cuya suma es

3

Find the intervals on which

x

and

2.5-x

round to integers whose sum is

3

Solución:

Sea la primera parte

x\in[0,2.5],

de modo que la segunda es

2.5-x.

Ignorando los extremos, que tienen probabilidad cero, los valores redondeados suman

3

exactamente cuando

\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{o}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}

Estos intervalos tienen longitud total

1,

dentro de un intervalo muestral de longitud

2.5.

Por consiguiente, la probabilidad es

\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first part be

x\in[0,2.5],

so the second is

2.5-x.

Ignoring endpoints of probability zero, the rounded values sum to

3

exactly when

\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{or}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}

These intervals have total length

1,

out of a sample interval of length

2.5.

The probability is therefore

\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.

Thus the correct answer is B.