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1985 AMC 12 Problema 28

Intenta el Problema 28 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

28.

En △ABC,\triangle ABC, tenemos ∠C=3∠A,\angle C=3\angle A, a=27a=27 y c=48.c=48. ¿Cuál es bb?
In △ABC,\triangle ABC, we have ∠C=3∠A,\angle C=3\angle A, a=27a=27 and c=48.c=48. What is b?b?
3333
3535
3737
3939
no está determinado de manera única
not uniquely determined
Respuesta: B
Conceptos:ley de los senosidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2460
Pista pequeña:
Usa la ley de los senos para escribir 4827=sin⁡3Asin⁡A\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}
Use the sine law to write 4827=sin⁡3Asin⁡A\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}
Pista grande:
Después de hallar cos⁡A,\cos A, usa B=180∘−4AB=180^\circ-4A y sin⁡4A=4sin⁡Acos⁡Acos⁡2A\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A
After finding cos⁡A,\cos A, use B=180∘−4AB=180^\circ-4A and sin⁡4A=4sin⁡Acos⁡Acos⁡2A\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A
Solución:
Por la ley de los senos y la identidad del ángulo triple, 4827=sin⁡3Asin⁡A=3−4sin⁡2A. \frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A. Por tanto, sin⁡2A=1136.\sin^2A=\frac{11}{36}. Como A<60∘,A\lt60^\circ, cos⁡A=56,\cos A=\frac{5}{6}, y entonces cos⁡2A=718.\cos2A=\frac{7}{18}. Además, B=180∘−4A,B=180^\circ-4A, así que otra aplicación de la ley de los senos da b=27sin⁡Bsin⁡A=27sin⁡4Asin⁡A=27⋅4cos⁡Acos⁡2A=35. \begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned} La respuesta correcta es B.
By the sine law and the triple-angle identity, 4827=sin⁡3Asin⁡A=3−4sin⁡2A. \frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A. Hence sin⁡2A=1136.\sin^2A=\frac{11}{36}. Since A<60∘,A\lt60^\circ, cos⁡A=56,\cos A=\frac{5}{6}, and therefore cos⁡2A=718.\cos2A=\frac{7}{18}. Also B=180∘−4A,B=180^\circ-4A, so another application of the sine law gives b=27sin⁡Bsin⁡A=27sin⁡4Asin⁡A=27⋅4cos⁡Acos⁡2A=35. \begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned} Thus the correct answer is B.
Problema 27#27
Examen completo
Problema 29#29

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