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1977 AMC 12 Problema 28

Intenta el Problema 28 del 1977 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1977 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

28.

Sea g(x)=x5+x4+x3g(x)=x^5+x^4+x^3 +x2+x+1.{}+x^2+x+1. ¿Cuál es el resto al dividir el polinomio g(x12)g(x^{12}) entre el polinomio g(x)g(x)?
Let g(x)=x5+x4+x3g(x)=x^5+x^4+x^3 +x2+x+1.{}+x^2+x+1. What is the remainder when the polynomial g(x12)g(x^{12}) is divided by the polynomial g(x)?g(x)?
66
5−x5-x
4−x+x24-x+x^2
3−x+x2−x33-x+x^2-x^3
2−x+x2−x3+x42-x+x^2-x^3+x^4
Respuesta: A
Conceptos:polinomioraíces de la unidad
Nivel de dificultad: 2300
Pista pequeña:
Usa (x−1)g(x)=x6−1(x-1)g(x)=x^6-1
Use (x−1)g(x)=x6−1(x-1)g(x)=x^6-1
Pista grande:
Evalúa el resto en las cinco raíces de gg y usa la cota de su grado
Evaluate the remainder at the five roots of gg and use its degree bound
Solución:
Sea R(x)R(x) el resto, de modo que deg⁡R≤4.\deg R\le4. Las cinco raíces α\alpha de gg satisfacen α6=1\alpha^6=1 y α≠1.\alpha\ne1. Por ello, α12=1\alpha^{12}=1 y R(α)=g(α12)=g(1)=6. R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6. Entonces R(x)−6,R(x)-6, un polinomio de grado a lo sumo 4,4, tiene cinco raíces distintas. Debe ser idénticamente nulo, así que R(x)=6.R(x)=6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let R(x)R(x) be the remainder, so deg⁡R≤4.\deg R\le4. The five roots α\alpha of gg satisfy α6=1\alpha^6=1 and α≠1.\alpha\ne1. Hence α12=1\alpha^{12}=1 and R(α)=g(α12)=g(1)=6. R(\alpha)=g(\alpha^{12})=g(1)=6. Therefore R(x)−6,R(x)-6, a polynomial of degree at most 4,4, has five distinct roots. It must be identically zero, so R(x)=6.R(x)=6.
Therefore, the correct answer is A.
Problema 27#27
Examen completo
Problema 29#29

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