1955 AMC 12 Problema 30

Question

Cada una de las ecuaciones

3x^2-2=25,

(2x-1)^2=(x-1)^2,

\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}

tiene:

Each of the equations

3x^2-2=25,

(2x-1)^2=(x-1)^2,

\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}

has:

dos raíces enteras

two integral roots

ninguna raíz mayor que

3

no root greater than

3

ninguna raíz igual a cero

no root zero

solamente una raíz

only one root

una raíz negativa y una positiva

one negative root and one positive root

Respuesta: B

Conceptos:equation solving radical domain common property

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Resuelve cada ecuación por separado y compara las propiedades de sus raíces

Solve each equation separately and compare the properties of their roots

Pista grande:

Para la ecuación con radicales, descarta los candidatos que hagan negativo cualquiera de los radicandos

For the radical equation, reject candidates that make either radicand negative

Solución:

La primera ecuación da

x=\pm3.

Al factorizar la diferencia de cuadrados en la segunda se obtiene

\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}

de modo que

x=0

o

\frac{2}{3}.

Al elevar al cuadrado la tercera se obtiene

x^2-x-6=0,

con candidatos

3

y

-2;

solamente

3

satisface las restricciones del dominio real. Todas las raíces obtenidas son a lo sumo

3.

Por lo tanto, ninguna ecuación tiene una raíz mayor que

3,

y la respuesta correcta es B.

The first equation gives

x=\pm3.

Factoring the difference of squares in the second gives

\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}

so

x=0

or

\frac{2}{3}.

Squaring the third gives

x^2-x-6=0,

with candidates

3

and

-2;

only

3

satisfies the real-domain restrictions. Every root obtained is at most

3.

Thus, each equation has no root greater than

3,

and the correct answer is B.