Question

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud $4.$ Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{CD},$ respectivamente, con $AP = \tfrac{8}{5}$ y $DQ = \tfrac{10}{3}.$ Una trayectoria comienza a lo largo del segmento de recta de $P$ a $Q$ y continúa reflejándose contra los lados de $ABCD$ (con ángulos de entrada y de salida congruentes), como se muestra en la figura. Si la trayectoria golpea un vértice del cuadrado, entonces termina ahí; de lo contrario continúa para siempre.

¿En qué vértice termina la trayectoria?

Square $ABCD$ has sides of length $4.$ Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{CD},$ respectively, with $AP = \tfrac{8}{5}$ and $DQ = \tfrac{10}{3}.$ A path begins along the line segment from $P$ to $Q$ and continues by reflecting against the sides of $ABCD$ (with congruent incoming and outgoing angles), as shown in the figure. If the path hits a vertex of the square, then it terminates there; otherwise it continues forever.

At which vertex does the path terminate?

$A$

$B$

$C$

$D$

La trayectoria continúa para siempre.

The path continues forever.

Respuesta: B

Conceptos:reflexión (geometría)paridad máximo común divisor geometría analítica

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Coloquemos $A = (0,0),$ $B = (4,0),$ $C = (4,4),$ $D = (0,4),$ de modo que $P = \left(0, \tfrac85\right)$ y $Q = \left(\tfrac{10}{3}, 4\right).$ La dirección inicial es $\left(\tfrac{10}{3}, \tfrac{12}{5}\right) \parallel (25, 18).$ Despleguemos el billar en una cuadrícula de copias reflejadas y sigamos la recta desde $P.$ En un vértice de la cuadrícula $(4a,4b),$ la coordenada horizontal da $t = \tfrac{4a}{25}.$ La coordenada vertical exige entonces $10 + 18a = 25b,$ así que $a \equiv 5 \pmod{25}.$ La primera posibilidad positiva es $a = 5,$ que da $b = 4$ y el vértice desplegado $(20,16).$ Cruzar $5$ celdas horizontalmente (un número impar) lo coloca en el lado $x = 4,$ y cruzar $4$ celdas verticalmente (un número par) lo coloca en $y = 0.$ Ese es el vértice $(4,0) = B.$ Así, B es la respuesta correcta.

Place $A = (0,0),$ $B = (4,0),$ $C = (4,4),$ $D = (0,4),$ so $P = \left(0, \tfrac85\right)$ and $Q = \left(\tfrac{10}{3}, 4\right).$ The initial direction is $\left(\tfrac{10}{3}, \tfrac{12}{5}\right) \parallel (25, 18).$ Unfold the billiard into a grid of reflected copies and follow the straight line from $P.$ At a grid corner $(4a,4b),$ the horizontal coordinate gives $t = \tfrac{4a}{25}.$ The vertical coordinate then requires $10 + 18a = 25b,$ so $a \equiv 5 \pmod{25}.$ The first positive possibility is $a = 5,$ giving $b = 4$ and the unfolded corner $(20,16).$ Crossing $5$ cells across (odd) puts it on the side $x = 4,$ and $4$ cells up (even) puts it on $y = 0.$ That's vertex $(4,0) = B.$ Thus, B is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

El Problema 25 en otros años