Question

Cada uno de los $9$ cuadrados de una cuadrícula $3 \times 3$ se colorea de rojo, azul o amarillo de tal manera que cada cuadrado rojo comparte un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparte un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparte un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each of the $9$ squares in a $3 \times 3$ grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?

$3$

$9$

$12$

$18$

$27$

Respuesta: C

Conceptos:Lema de Burnside análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Primero contemos las coloraciones de una cuadrícula con posiciones distinguibles. Fijemos el cuadrado central en rojo y enumeremos cíclicamente los colores de los cuatro cuadrados centrales de los bordes. Salvo rotación o reflexión, los únicos patrones posibles son $YRBR$ y $YRBY.$ El primero tiene $4$ posiciones y $3$ posibles cadenas cíclicas de esquinas, $BRYB, BYRB,$ y $BYYB;$ el segundo tiene $8$ posiciones y $2$ posibles cadenas, $BYBB$ y $BYRB.$ Así, hay $4 \cdot 3 + 8 \cdot 2 = 28$ coloraciones con centro rojo. El centro tiene $3$ colores posibles, por lo que hay $84$ coloraciones etiquetadas.

Ahora aplicamos el lema de Burnside. La identidad fija las $84$ coloraciones. Ninguna rotación no trivial fija una coloración válida. Cada una de las dos reflexiones horizontal y vertical fija $6$ coloraciones, mientras que las reflexiones diagonales no fijan ninguna. Por tanto, el número de coloraciones salvo rotaciones y reflexiones es $\dfrac{84 + 6 + 6}{8} = 12.$ Así, C es la respuesta correcta.

First count colorings of a grid whose positions are distinguished. Fix the center square as red and list the four edge-middle colors cyclically. Up to a rotation or reflection, the only possible edge patterns are $YRBR$ and $YRBY.$ The first has $4$ placements and $3$ possible cyclic corner strings, $BRYB, BYRB,$ and $BYYB;$ the second has $8$ placements and $2$ possible corner strings, $BYBB$ and $BYRB.$ Thus there are $4 \cdot 3 + 8 \cdot 2 = 28$ colorings with a red center. The center has $3$ possible colors, so there are $84$ labeled colorings.

Now apply Burnside's lemma. The identity fixes all $84$ colorings. No nonidentity rotation fixes a valid coloring. Each of the two reflections across a horizontal or vertical axis fixes $6$ colorings, while each diagonal reflection fixes none. Therefore, the number of colorings up to rotations and reflections is $\dfrac{84 + 6 + 6}{8} = 12.$ Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

El Problema 21 en otros años