Question

Sea $\mathcal{K}$ la cometa formada al unir dos triángulos rectángulos con catetos $1$ y $\sqrt3$ a lo largo de una hipotenusa común. Se usan ocho copias de $\mathcal{K}$ para formar el polígono que se muestra abajo. ¿Cuál es el área del triángulo $\triangle ABC$ ?

Let $\mathcal{K}$ be the kite formed by joining two right triangles with legs $1$ and $\sqrt3$ along a common hypotenuse. Eight copies of $\mathcal{K}$ are used to form the polygon shown below. What is the area of $\triangle ABC?$

$2 + 3\sqrt3$

$\dfrac{9}{2}\sqrt3$

$\dfrac{10 + 8\sqrt3}{3}$

$8$

$5\sqrt3$

Respuesta: B

Conceptos:cometa triángulo rectángulo especial geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Cada mitad de una cometa es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ , así que sus aristas tienen las longitudes y direcciones mostradas. Tomemos $A=(0,0)$ y hagamos $AB$ horizontal. La extensión horizontal de la figura es de seis unidades, por lo que $B=(6,0).$ A lo largo de la frontera exterior de $A$ a $C,$ las tres aristas tienen vectores $\sqrt3(\cos30^\circ,\sin30^\circ),$ $\sqrt3(\cos90^\circ,\sin90^\circ),$ y $(1,0).$ Su suma es $(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}),$ así que $C=(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}).$ Entonces $AB=6$ y la altura desde $C$ es $\tfrac{3\sqrt3}{2},$ lo que da área $\tfrac12\cdot6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Each half of a kite is a $30$ - $60$ - $90$ triangle, so its edges have the shown lengths and directions. Take $A=(0,0)$ and $AB$ horizontal. The horizontal span in the figure is six unit lengths, so $B=(6,0).$ Along the outer boundary from $A$ to $C,$ the three edges have vectors $\sqrt3(\cos30^\circ,\sin30^\circ),$ $\sqrt3(\cos90^\circ,\sin90^\circ),$ and $(1,0).$ Their sum is $(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}),$ so $C=(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}).$ Thus $AB=6$ and the altitude from $C$ is $\tfrac{3\sqrt3}{2},$ giving area $\tfrac12\cdot6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Therefore, the answer is B.

2024 AMC 10A Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

El Problema 22 en otros años