Question

Seis bloques hexagonales regulares de lado $1$ unidad se disponen dentro de un marco hexagonal regular. Cada bloque se apoya a lo largo de una arista interior del marco y está alineado con otros dos bloques, como se muestra en la figura de abajo. La distancia desde cualquier esquina del marco hasta el vértice más cercano de un bloque es $\frac{3}{7}$ unidad. ¿Cuál es el área de la región dentro del marco no ocupada por los bloques?

Six regular hexagonal blocks of side length $1$ unit are arranged inside a regular hexagonal frame. Each block lies along an inside edge of the frame and is aligned with two other blocks, as shown in the figure below. The distance from any corner of the frame to the nearest vertex of a block is $\frac{3}{7}$ unit. What is the area of the region inside the frame not occupied by the blocks?

$\dfrac{13\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{216\sqrt{3}}{49}$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{243\sqrt{3}}{49}$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular área descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Sea $d=\tfrac37.$ Prolonguemos los lados inclinados de los bloques que llegan a un lado fijo del marco. Como todos los ángulos pertinentes miden $60^\circ,$ las prolongaciones forman un triángulo equilátero de lado $1$ en un extremo y otro de lado $1-d$ en el otro. Por tanto, ese lado del marco queda dividido en segmentos de longitudes $d,1,1,$ y $1-d,$ y su longitud es $d+1+1+(1-d)=3.$ Un hexágono regular de lado $t$ tiene área $\tfrac{3\sqrt3}{2}t^2.$ Así, el área descubierta es el área del marco de lado $3$ menos las áreas de los seis bloques unitarios: $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 3^2$ $- 6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}$ $= \tfrac{27\sqrt3}{2} - 9\sqrt3$ $= \tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Let $d=\tfrac37.$ Extend the slanted edges of the blocks that meet a fixed side of the frame. Because all the relevant angles are $60^\circ,$ the extensions form an equilateral triangle of side $1$ at one end and an equilateral triangle of side $1-d$ at the other. Thus that frame side is partitioned into lengths $d,1,1,$ and $1-d,$ so its length is $d+1+1+(1-d)=3.$ A regular hexagon of side $t$ has area $\tfrac{3\sqrt3}{2}t^2.$ Therefore the uncovered area is the area of the side- $3$ frame minus the areas of the six unit blocks: $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 3^2$ $- 6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}$ $= \tfrac{27\sqrt3}{2} - 9\sqrt3$ $= \tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10A Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

El Problema 24 en otros años