Question

Sea $S$ el conjunto de circunferencias en el plano coordenado que son tangentes a cada una de las tres circunferencias con ecuaciones ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias en $S$ ? $\begin{gathered}x^{2}+y^{2}=4,\qquad x^{2}+y^{2}=64,\\ \text{and}\qquad (x-5)^{2}+y^{2}=3.\end{gathered}$

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $\begin{gathered}x^{2}+y^{2}=4,\qquad x^{2}+y^{2}=64,\\ \text{and}\qquad (x-5)^{2}+y^{2}=3.\end{gathered}$ What is the sum of the areas of all circles in $S?$

$\ 48 \pi$

$\ 68 \pi$

$\ 96 \pi$

$\ 102 \pi$

$\ 136 \pi$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Llamemos círculos interior y exterior a los círculos concéntricos de radios $2$ y $8$ . Sea $r$ el radio de un círculo buscado y sea $d$ la distancia de su centro al origen. Debe ser tangente internamente al círculo exterior, así que $d+r=8.$

Si es tangente externamente al círculo interior, entonces $d-r=2,$ lo que da $(r,d)=(3,5).$ Si contiene al círculo interior, entonces $r-d=2,$ lo que da $(r,d)=(5,3).$ Por tanto, cada círculo buscado tiene radio $3$ o $5.$

El tercer círculo dado tiene radio $\sqrt3$ y centro $(5,0).$ Para cualquiera de los dos valores de $r,$ un círculo buscado puede ser tangente interna o externamente a él, así que la distancia entre sus centros es $r-\sqrt3$ o $r+\sqrt3.$ En los cuatro casos, si esta distancia es $q,$ entonces $|d-q|<5<d+q,$ de modo que el círculo de posibles centros corta al círculo de radio $d$ centrado en el origen en dos puntos, simétricos respecto al eje $x$ , como se muestra. Por ello, hay $4$ círculos buscados de cada radio.

El área total es $4(5^2\pi+3^2\pi)=136\pi.$ Así, E es la respuesta correcta.

Call the concentric circles of radii $2$ and $8$ the inner and outer circles. Let a desired circle have radius $r$ and let its center be distance $d$ from the origin. It must be internally tangent to the outer circle, so $d+r=8.$

If it is externally tangent to the inner circle, then $d-r=2,$ giving $(r,d)=(3,5).$ If it contains the inner circle, then $r-d=2,$ giving $(r,d)=(5,3).$ Thus every desired circle has radius $3$ or $5.$

The third given circle has radius $\sqrt3$ and center $(5,0).$ For either value of $r,$ a desired circle may be internally or externally tangent to it, so the distance between their centers is $r-\sqrt3$ or $r+\sqrt3.$ In all four cases, if this distance is $q,$ then $|d-q|<5<d+q,$ so the circle of possible centers intersects the circle of radius $d$ about the origin in two points, symmetric across the $x$ -axis, as shown. Hence there are $4$ desired circles of each radius.

The total area is therefore $4(5^2\pi+3^2\pi)=136\pi.$ Thus, E is the correct answer.

2022 AMC 10B Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

El Problema 22 en otros años