Question

Para cada entero $n\ge2,$ sea $S_n$ la suma de todos los productos $jk,$ donde $j$ y $k$ son enteros y $1\le j<k\le n.$ ¿Cuál es la suma de los $10$ menores valores de $n$ para los cuales $S_n$ es divisible entre $3$ ?

For each integer $n\ge2,$ let $S_n$ be the sum of all products $jk,$ where $j$ and $k$ are integers and $1\le j<k\le n.$ What is the sum of the $10$ least values of $n$ such that $S_n$ is divisible by $3?$

$\ 196$

$\ 197$

$\ 198$

$\ 199$

$\ 200$

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Al pasar de $S_{n-1}$ a $S_n,$ los nuevos términos son $jn$ para $1\le j\lt n.$ $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Módulo $3,$ este incremento es $0$ cuando $n\equiv0$ o $1\pmod3,$ y es $2$ cuando $n\equiv2\pmod3.$

Como $S_2=2,$ la sucesión se vuelve divisible entre $3$ tras la tercera aparición de un número congruente con $2\pmod3,$ es decir en $n=8.$ Entonces $S_n$ permanece divisible entre $3$ para $n=8,9,10,$ y el mismo patrón se repite cada $9$ en $n.$

Los diez menores valores son $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.$ Su suma es $197.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

When passing from $S_{n-1}$ to $S_n,$ the new terms are $jn$ for $1\le j\lt n.$ Their sum is $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Modulo $3,$ this increment is $0$ when $n\equiv0$ or $1\pmod3,$ and is $2$ when $n\equiv2\pmod3.$

Since $S_2=2,$ the sequence becomes divisible by $3$ after the third occurrence of a number congruent to $2\pmod3,$ namely at $n=8.$ Then $S_n$ stays divisible by $3$ for $n=8,9,10,$ and the same pattern repeats every $9$ in $n.$

The ten least values are $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.$ Their sum is $197.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

El Problema 22 en otros años