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2021 AMC 10A Fall Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2021 AMC 10A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

¿Cuántos pares ordenados (x,y)(x,y) de números reales satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? x2+3y=9,(∣x∣+∣y∣−4)2=1.\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}

How many ordered pairs (x,y)(x,y) of real numbers satisfy the following system of equations? x2+3y=9,(∣x∣+∣y∣−4)2=1.\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}

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Respuesta: D
Conceptos:valor absolutosistema de ecuacionesanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1540
Solución:

Sea t=∣x∣.t=|x|. La segunda ecuación da t+∣y∣=3t+|y|=3 o 5,5, mientras que la primera da y=3−t23.y=3-\frac{t^2}{3}.

Si y≥0,y\ge0, entonces 0≤t≤3.0\le t\le3. Para t+y=3,t+y=3, al sustituir se obtiene t−t23=0,t-\frac{t^2}{3}=0, de donde t=0t=0 o 3.3. Estos valores producen x=0,3,−3,x=0,3,-3, es decir, tres puntos. Para t+y=5,t+y=5, la sustitución da t2−3t+6=0,t^2-3t+6=0, que no tiene raíces reales.

Si y<0,y<0, entonces t>3.t>3. La ecuación t−y=3t-y=3 da t2+3t−18=0,t^2+3t-18=0, cuya única raíz no negativa es el valor fronterizo excluido t=3.t=3. La ecuación t−y=5t-y=5 da t2+3t−24=0,t^2+3t-24=0, con exactamente una raíz positiva t=−3+1052>3.t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3. Esta produce dos puntos, uno por cada signo de x.x.

El número total de pares ordenados es 3+2=5.3+2=5.

Así, D es la respuesta correcta.

Put t=∣x∣.t=|x|. The second equation gives t+∣y∣=3t+|y|=3 or 5,5, while the first gives y=3−t23.y=3-\frac{t^2}{3}.

If y≥0,y\ge0, then 0≤t≤3.0\le t\le3. For t+y=3,t+y=3, substitution gives t−t23=0,t-\frac{t^2}{3}=0, so t=0t=0 or 3.3. These yield x=0,3,−3,x=0,3,-3, for three points. For t+y=5,t+y=5, substitution gives t2−3t+6=0,t^2-3t+6=0, which has no real root.

If y<0,y<0, then t>3.t>3. The equation t−y=3t-y=3 gives t2+3t−18=0,t^2+3t-18=0, whose only nonnegative root is the excluded boundary value t=3.t=3. The equation t−y=5t-y=5 gives t2+3t−24=0,t^2+3t-24=0, with exactly one positive root t=−3+1052>3.t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3. It yields two points, one for each sign of x.x.

The total number of ordered pairs is 3+2=5.3+2=5.

Thus, D is the correct answer.

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