Question

¿De cuántas maneras se pueden colocar $3$ fichas rojas indistinguibles, $3$ fichas azules indistinguibles y $3$ fichas verdes indistinguibles en las casillas de una cuadrícula de $3 \times 3$ de modo que no haya dos fichas del mismo color directamente adyacentes entre sí, ya sea vertical u horizontalmente?

How many ways are there to place $3$ indistinguishable red chips, $3$ indistinguishable blue chips, and $3$ indistinguishable green chips in the squares of a $3 \times 3$ grid so that no two chips of the same color are directly adjacent to each other, either vertically or horizontally?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Sean los colores $\binom42=6$ y Observa que podemos asignarles los $3$ colores de maneras, así que al final tenemos que multiplicar por .

Sea el color del centro de la cuadrícula. Los otros deben estar o bien a lo largo de la diagonal o bien en el mismo lado. El primer caso puede ocurrir de $2$ maneras, ya que hay diagonales. El segundo tiene maneras, ya que hay lados. $3\binom42\cdot2=36.$

En cualquier caso, las posiciones de las y las quedan determinadas. En total, hay maneras de disponer las y . Esto nos da un total de configuraciones. Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Choose the center color in $3$ ways. Its other two chips cannot occupy any edge-middle square, because those squares are adjacent to the center. Thus they must occupy two of the four corners, which can be chosen in $\binom42=6$ ways.

For either possible corner pattern—two opposite corners or two corners on the same side—the adjacency conditions force the remaining two colors up to interchanging them. Hence there are $2$ completions for each choice of the center color and its two corners. The total is $3\binom42\cdot2=36.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

El Problema 25 en otros años