Question

Los apuntes de álgebra de Hiram tienen $50$ páginas y están impresos en $25$ hojas de papel; la primera hoja contiene las páginas $1$ y $2,$ la segunda hoja contiene las páginas $3$ y $4,$ y así sucesivamente. Un día deja sus apuntes sobre la mesa antes de irse a comer, y su compañero de cuarto decide tomar prestadas algunas páginas de la mitad de los apuntes. Cuando Hiram regresa, descubre que su compañero se ha llevado un conjunto consecutivo de hojas de los apuntes y que el promedio (media) de los números de página de todas las hojas restantes es exactamente $19.$ ¿Cuántas hojas se tomaron prestadas?

Hiram's algebra notes are $50$ pages long and are printed on $25$ sheets of paper; the first sheet contains pages $1$ and $2,$ the second sheet contains pages $3$ and $4,$ and so on. One day he leaves his notes on the table before leaving for lunch, and his roommate decides to borrow some pages from the middle of the notes. When Hiram comes back, he discovers that his roommate has taken a consecutive set of sheets from the notes and that the average (mean) of the page numbers on all remaining sheets is exactly $19.$ How many sheets were borrowed?

$10$

$13$

$15$

$17$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:media Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 1820

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que las hojas prestadas son de la $a$ a la $b,$ y sea $s=b-a+1.$ Las páginas prestadas van de $2a-1$ a $2b,$ así que hay $2s$ páginas prestadas y su suma es $s(2a+2b-1).$

La suma de todos los números de página es $50\cdot51/2=1275.$ Si las páginas restantes tienen media $19,$ entonces $\begin{aligned} 1275&-s(2a+2b-1)\\ &=19(50-2s),\\ s(2a+2b-39)&=325. \end{aligned}$

Como $b-a+1$ es un divisor positivo de $325$ y es como máximo $25,$ sus únicas posibilidades son $1,5,13,25.$ Las dos primeras obligarían a que $b>25,$ y $25$ quitaría todas las hojas. Por tanto, la única posibilidad válida es

$\begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}$

Así, $a+b=32$ y $b-a=12,$ por lo que $a=10$ y $b=22.$ Se tomaron prestadas $13$ hojas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose the borrowed sheets are sheets $a$ through $b,$ and let $s=b-a+1.$ The borrowed pages run from $2a-1$ through $2b,$ so there are $2s$ borrowed pages and their sum is $s(2a+2b-1).$

The total sum of all page numbers is $50\cdot51/2=1275.$ If the remaining pages have mean $19,$ then $\begin{aligned} 1275&-s(2a+2b-1)\\ &=19(50-2s),\\ s(2a+2b-39)&=325. \end{aligned}$

Because $b-a+1$ is a positive divisor of $325$ and is at most $25,$ its only possibilities are $1,5,13,25.$ The first two would force $b>25,$ and $25$ would remove every sheet. Thus the only valid possibility is

$\begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}$

Thus $a+b=32$ and $b-a=12,$ so $a=10$ and $b=22.$ Therefore $13$ sheets were borrowed.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1820

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años