2005 AMC 10A Problema 21

Question

¿Para cuántos enteros positivos

n

el número

1 + 2 + \cdots + n

divide a

6n

?

For how many positive integers

n

does

1 + 2 + \cdots + n

evenly divide

6n?

3

5

7

9

11

Respuesta: B

Conceptos:número triangular divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Usa

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

.

Use

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Pista grande:

Entonces

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1};

cuenta los

n

para los cuales

n + 1

divide a

12

.

Then

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1};

count the

n

for which

n + 1

divides

12

Solución:

Como

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},

el cociente es

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1},

que es un entero exactamente cuando

n + 1

divide a

12.

Los divisores de

12

que son al menos

2

son

2,

3,

4,

6,

12,

lo que da

n = 1,

2,

3,

5,

11

, cinco valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},

the quotient is

\dfrac{6n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{12}{n+1},

which is an integer exactly when

n + 1

divides

12.

The divisors of

12

that are at least

2

are

2,

3,

4,

6,

12,

giving

n = 1,

2,

3,

5,

11

— five values.

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 10A Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años