2003 AMC 10A Problema 25

Question

Sea

n

un número de

5

cifras, y sean

q

y

r

el cociente y el residuo, respectivamente, cuando

n

se divide entre

100.

¿Para cuántos valores de

n

es

q + r

divisible entre

11

?

Let

n

be a

5

-digit number, and let

q

and

r

be the quotient and remainder, respectively, when

n

is divided by

100.

For how many values of

n

is

q + r

divisible by

11?

8180

8181

8182

9000

9090

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escribe

n = 100q + r,

así que

n = (q + r) + 99q

.

Write

n = 100q + r,

so

n = (q + r) + 99q

Pista grande:

Como

99q

es divisible entre

11,

q + r

es divisible entre

11

exactamente cuando

n

lo es.

Since

99q

is divisible by

11,

q + r

is divisible by

11

exactly when

n

is

Solución:

Escribe

n = 100q + r = (q + r) + 99q.

Como

99q

es un múltiplo de

11,

q + r

es divisible entre

11

si y solo si

n

lo es.

Los múltiplos de

11

de

5

cifras satisfacen

10000 \le n \le 99999,

y hay

\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write

n = 100q + r = (q + r) + 99q.

Since

99q

is a multiple of

11,

q + r

is divisible by

11

if and only if

n

is.

The

5

-digit multiples of

11

satisfy

10000 \le n \le 99999,

and there are

\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor - \left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor \\ &= 9090 - 909 \\ &= 8181. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10A Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años