Respuesta: 204

Solución:

Con probabilidad $1,$ ningún extremo aleatorio ni cruce interior coincide con otro, así que al añadir las cuerdas una por una, cada nueva cuerda aumenta el número de regiones en $1$ más el número de cuerdas existentes que cruza dentro del disco. Partiendo de una región, el total esperado es $1 + 27 + E,$ donde $E$ es el número esperado de pares que se cruzan en el interior. Los dos diámetros se cruzan una vez. Los extremos de una cuerda aleatoria caen en uno de los $6$ pares de cuadrantes, cada uno con probabilidad $\frac{1}{6}.$ La cuerda cruza el diámetro vertical exactamente cuando sus extremos tienen signos de $x$ opuestos, lo que ocurre en $4$ de los $6$ pares, así que corta cada diámetro con probabilidad $\frac{2}{3}$ y ambos diámetros juntos $\frac{4}{3}$ veces en promedio: las $25$ cuerdas aportan $\frac{100}{3}$ cruces esperados con los diámetros.

Para dos cuerdas aleatorias, condicionemos sobre sus pares de cuadrantes ($36$ combinaciones ordenadas igualmente probables). Si una usa los cuadrantes $1, 3$ y la otra $2, 4,$ los extremos siempre se alternan, así que siempre se cruzan: $2$ combinaciones. Si los dos pares son adyacentes y disjuntos, como $\{1, 2\}$ y $\{3, 4\},$ las cuerdas nunca se cruzan: $4$ combinaciones. En cada una de las otras $30$ combinaciones, si los extremos se alternan alrededor del círculo se reduce a comparar puntos uniformes independientes dentro de cuadrantes compartidos, por ejemplo, una cuerda $\{1,3\}$ y una cuerda $\{1,2\}$ se cruzan exactamente cuando los dos puntos del cuadrante $1$ aparecen en un orden específico, y la probabilidad es $\frac{1}{2}$ por simetría. Así que dos cuerdas aleatorias se cruzan con probabilidad $$\frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 30 \cdot \frac{1}{2}}{36} = \frac{17}{36}.$$

Los $\binom{25}{2} = 300$ pares de cuerdas aportan $300 \cdot \frac{17}{36} = \frac{425}{3}$ cruces esperados, así que $E = 1 + \frac{100}{3} + \frac{425}{3} = 176$ y el número esperado de regiones es $1 + 27 + 176 = 204.$