1999 AMC 12 第 30 题

先试着解答 1999 AMC 12 第 30 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1999 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

满足

mn \ge 0

的整数有序对

(m, n)

，且

m^3 + n^3 + 99mn = 33^3

的个数等于

The number of ordered pairs of integers

(m, n)

for which

mn \ge 0

and

m^3 + n^3 + 99mn = 33^3

is equal to

2

3

33

35

99

答案：D

知识点：因式分解丢番图方程

难度评级：2460

小提示：

因为

99 = 3 \cdot 33

，方程可写成

m^3 + n^3 + (-33)^3

- 3mn(-33) = 0

。

Since

99 = 3 \cdot 33,

the equation is

m^3 + n^3 + (-33)^3

- 3mn(-33) = 0

大提示：

使用恒等式

x^3 + y^3 + z^3

- 3xyz = (x + y + z)

\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)

。

Use

x^3 + y^3 + z^3

- 3xyz = (x + y + z)

\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)

解答：

令

z = -33

，方程变为

m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0

，因式分解得

\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0 \end{aligned}\text{。}

第二个因子等于

\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big]

，只在

(m, n) = (-33, -33)

时为

0

，且满足

mn \ge 0

。

否则

m + n = 33

。由

mn \ge 0

，二者同为非负，得到

(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0)

，共

34

对。总计

35

对。

所以正确答案是 D。

Writing

z = -33,

the equation becomes

m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0,

which factors as

\begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}

The second factor equals

\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big],

which is

0

only at

(m, n) = (-33, -33);

this satisfies

mn \ge 0.

Otherwise

m + n = 33.

With

mn \ge 0

both are nonnegative, giving

(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0),

which is

34

pairs. Together there are

35

solutions.

Thus, the correct answer is D.