Question

如图， $\triangle ABC$ 中有 $\angle A=45^\circ$ 和 $\angle B=30^\circ$ 。直线 $DE$ 满足点 $D$ 在 $AB$ 上且 $\angle ADE=60^\circ$ ，并将 $\triangle ABC$ 分成面积相等的两部分。（注意：图形可能不准确，点 $E$ 也许在 $CB$ 上而不是 $AC$ 上。）比值 $\frac{AD}{AB}$ 为

In the figure, $\triangle ABC$ has $\angle A=45^\circ$ and $\angle B=30^\circ.$ A line $DE,$ with $D$ on $AB$ and $\angle ADE=60^\circ,$ divides $\triangle ABC$ into two pieces of equal area. (Note: the figure may not be accurate; perhaps $E$ is on $CB$ instead of $AC.$ ) The ratio $\frac{AD}{AB}$ is

$\frac1{\sqrt2}$

$\frac2{2+\sqrt2}$

$\frac1{\sqrt3}$

$\frac1{\sqrt[3]{6}}$

$\frac1{\sqrt[4]{12}}$

答案：E

知识点：坐标几何三角形面积 similar scaling 三角学

难度评级：2400

小提示：

适当缩放，使 $AB=1$ ，并令 $A=(0,0),\ B=(1,0)$

Scale so $AB=1$ and place $A=(0,0),\ B=(1,0)$

大提示：

求出点 $C$ 与点 $E$ 的高度，用 $d=AD$ 表示它们，再令总面积的一半等于 $\triangle ADE$ 的面积

Find the height of $C$ and the height of $E$ in terms of $d=AD$ , then equate half the total area to the area of $\triangle ADE$

解答：

令 $AB=1,\ A=(0,0)$ ，且 $B=(1,0)$ 。因为 $\angle A=45^\circ$ ，所以边 $AC$ 位于直线 $y=x$ 上。过点 $B$ 、以 $30^\circ$ 的夹角偏离射线 $BA$ 的直线和它相交于高度 $h_C=\frac1{1+\sqrt3}\text{。}$ 设 $d=AD$ 。射线 $DE$ 的斜率为 $-\sqrt3$ ，所以它与 $y=x$ 的交点高度为 $h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}\text{。}$ 两部分面积相等，故 $\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right)\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}} \end{aligned}\text{。}$ 所以 $\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}$ 。

因此，正确答案是 E。

Set $AB=1,\ A=(0,0),$ and $B=(1,0).$ Since $\angle A=45^\circ,$ side $AC$ lies on $y=x.$ The line through $B$ making angle $30^\circ$ with $BA$ meets it at height $h_C=\frac1{1+\sqrt3}.$ Let $d=AD.$ The ray $DE$ has slope $-\sqrt3,$ so its intersection with $y=x$ has height $h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.$ Equal areas require $\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).$ Therefore $\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}$ Hence $\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.$

Thus the correct answer is E.

1987 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题