Question

La figura de abajo muestra un círculo grande sin sombrear con varios círculos más pequeños sombreados y sin sombrear en su interior. ¿Qué fracción del interior del círculo grande sin sombrear está sombreada?

The figure below shows a large unshaded circle with a number of smaller unshaded and shaded circles in its interior. What fraction of the interior of the large unshaded circle is shaded?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{11}{36}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{19}{36}$

$\dfrac{5}{9}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que cada cuadrado tiene una longitud de lado de $2$ unidades.

Esto significa que hay $3$ círculos unitarios sombreados, que suman $3 \cdot 1^2 \pi = 3 \pi$ de área.

También hay un círculo sombreado de radio $4$ con dos círculos sin sombrear de radio $2$ en su interior.

Esto nos da un área sombreada adicional de $\begin{align*} 4^2 \pi - 2 \cdot 2^2 \pi &= 16 \pi - 8 \pi \\ &= 8 \pi. \end{align*}$

Sumando estos valores se obtiene $8\pi + 3\pi = 11\pi.$ El área del círculo grande sin sombrear es $6^2\pi = 36\pi.$ Por lo tanto, la fracción buscada es $\dfrac{11\pi}{36\pi} = \dfrac{11}{36}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

WLOG, assume that each square has a side length of $2$ units.

This means that there are $3$ shaded unit circles, which total to $3 \cdot 1^2 \pi = 3 \pi$ area.

There is also a shaded circle with radius $4$ with two unshaded circles of radius $2$ inside.

This gives us an extra shaded area of $\begin{align*} 4^2 \pi - 2 \cdot 2^2 \pi &= 16 \pi - 8 \pi \\ &= 8 \pi. \end{align*}$

Adding these values together yields $8\pi + 3\pi = 11\pi.$ The area of the large unshaded circle is $6^2\pi = 36\pi.$ Therefore, the desired fraction is $\dfrac{11\pi}{36\pi} = \dfrac{11}{36}.$

Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 12

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 12 en otros años