Soluciones del 2023 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2023 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $(8 \times 4 + 2) - (8 + 4 \times 2)$

What is the value of $(8 \times 4 + 2) - (8 + 4 \times 2)?$

$0$

$6$

$10$

$18$

$24$

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 370

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Solución escrita:

Podemos simplificarlo de la siguiente manera.

$\begin{align*} (32 + 2) - (8 + 8) &= 34 - 16 \\ &= 18 \end{align*}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can simplify this as follows.

$\begin{align*} (32 + 2) - (8 + 8) &= 34 - 16 \\ &= 18 \end{align*}$

Thus, D is the correct answer.

2.

Una hoja de papel cuadrada se dobla dos veces en cuatro cuartos iguales, como se muestra abajo, y luego se corta a lo largo de la línea discontinua. Al desdoblarla, ¿con cuál de las siguientes figuras coincidirá el papel?

A square piece of paper is folded twice into four equal quarters, as shown below, then cut along the dashed line. When unfolded, the paper will match which of the following figures?

Conceptos:plegado de papel simetría

Nivel de dificultad: 660

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Solución escrita:

Podemos desdoblar el papel cortado para obtener la siguiente figura.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can unfold the cut up paper to achieve the following figure.

Thus, E is the correct answer.

3.

La sensación térmica por viento es una medida de qué tan frío sienten las personas al estar expuestas al viento en el exterior. Una buena estimación de la sensación térmica se obtiene con este cálculo: $W=T-0.7\cdot S$ Donde $W$ representa la sensación térmica, $T$ representa la temperatura del aire medida en grados Fahrenheit $(^{\circ}F),$ y $S$ representa la velocidad del viento medida en millas por hora (mph).

Supongamos que la temperatura del aire es $36^{\circ}F$ y la velocidad del viento es $18$ mph. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la sensación térmica aproximada?

Wind chill is a measure of how cold people feel when exposed to wind outside. A good estimate for wind chill can be found using this calculation: $W=T-0.7\cdot S$ Where $W$ represents the wind chill, $T$ represents air temperature measured in degrees Fahrenheit $(^{\circ}F),$ and $S$ represents wind speed measured in miles per hour (mph).

Suppose the air temperature is $36^{\circ}F$ and the wind speed is $18$ mph. Which of the following is closest to the approximate wind chill?

$18$

$23$

$28$

$32$

$35$

Conceptos:sustitución decimal estimación

Nivel de dificultad: 450

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Solución escrita:

Usando la fórmula, calculamos la sensación térmica como $\begin{align*} 36 - 0.7 \cdot 18 &= 36 - 12.6 \\ &=23.4. \end{align*}$ El valor más cercano es veintitrés.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Using the formula, we can calculate the wind chill to be $\begin{align*} 36 - 0.7 \cdot 18 &= 36 - 12.6 \\ &=23.4. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

4.

Los números del $1$ al $49$ se colocan en un patrón en espiral sobre una cuadrícula cuadrada, comenzando en el centro. Los primeros números ya se han escrito en la cuadrícula de abajo. Considera los cuatro números que aparecerán en las casillas sombreadas, en la misma diagonal que el número $7.$ ¿Cuántos de estos cuatro números son primos?

The numbers from $1$ to $49$ are arranged in a spiral pattern on a square grid, beginning at the center. The first few numbers have been entered into the grid below. Consider the four numbers that will appear in the shaded squares, on the same diagonal as the number $7.$ How many of these four numbers are prime?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:primo reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Podemos rellenar los demás números para obtener la cuadrícula completa.

De esto, vemos que los únicos números primos en las casillas sombreadas son $19, 23,$ y $47.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can fill in the other numbers to get the complete grid.

From this, we can see that the only prime numbers in the shaded boxes are $19, 23,$ and $47.$

Thus, D is the correct answer.

5.

Un lago contiene $250$ truchas, junto con una variedad de otros peces. Cuando un biólogo marino captura y libera una muestra de $180$ peces del lago, $30$ se identifican como truchas. Supongamos que la proporción de truchas respecto al número total de peces es la misma en la muestra y en el lago. ¿Cuántos peces hay en el lago?

A lake contains $250$ trout, along with a variety of other fish. When a marine biologist catches and releases a sample of $180$ fish from the lake, $30$ are identified as trout. Assume that the ratio of trout to the total number of fish is the same in both the sample and the lake. How many fish are there in the lake?

$1250$

$1500$

$1750$

$1800$

$2000$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 720

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Solución escrita:

Observa que $\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}.$ Esto significa que un sexto de los peces del lago son truchas; en otras palabras, el número total de peces es $6$ veces el número de truchas.

Por lo tanto, hay $6 \cdot 250 = 1500$ peces en el lago.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that $\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}.$ This means that a sixth of the fish in the lake are trout, or in other words, the total number of fish is $6$ times the number of trout.

Therefore, there are $6 \cdot 250 = 1500$ fish in the lake.

Thus, B is the correct answer.

6.

Los dígitos $2, 0, 2,$ y $3$ se colocan en la expresión de abajo, un dígito por casilla. ¿Cuál es el valor máximo posible de la expresión?

The digits $2, 0, 2,$ and $3$ are placed in the expression below, one digit per box. What is the maximum possible value of the expression?

$0$

$8$

$9$

$16$

$18$

Conceptos:exponente optimización

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Observa que no queremos $0$ como base, ya que eso haría que la expresión fuera igual a $0.$

Esto significa que $0$ debe ser un exponente. El número cuyo exponente es $0$ se evaluará automáticamente como $1.$

Por lo tanto, debemos minimizar ese número, así que podemos poner $2^0.$

Ahora el otro término es $2^3$ o $3^2.$ Claramente, $3^2$ es mayor, así que debemos usarlo.

Esto nos da un valor final de $2^0 \times 3^2 = 1 \times 9 = 9.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that we do not want $0$ as a base, since that would make the expression equal to $0.$

This means that $0$ must be an exponent. The number whose exponent is $0$ will automatically evaluate to $1.$

Therefore, we should minimize this number, so we can put $2^0.$

Now the other term is $2^3$ or $3^2.$ Clearly, $3^2$ is larger, so we should use that.

This gives us a final value of $2^0 \times 3^2 = 1 \times 9 = 9.$

Thus, C is the correct answer.

7.

Un rectángulo, con lados paralelos al eje $x$ y al eje $y$ , tiene vértices opuestos ubicados en $(15, 3)$ y $(16, 5).$ Se traza una recta que pasa por los puntos $A(0, 0)$ y $B(3, 1).$ Se traza otra recta que pasa por los puntos $C(0, 10)$ y $D(2, 9).$ ¿Cuántos puntos del rectángulo están sobre al menos una de las dos rectas?

A rectangle, with sides parallel to the $x$ -axis and $y$ -axis, has opposite vertices located at $(15, 3)$ and $(16, 5).$ A line is drawn through points $A(0, 0)$ and $B(3, 1).$ Another line is drawn through points $C(0, 10)$ and $D(2, 9).$ How many points on the rectangle lie on at least one of the two lines?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:geometría analítica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Podemos graficar las dos rectas.

De esto, vemos que solo la esquina superior izquierda del rectángulo interseca alguna de las rectas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can graph the two lines.

From this, we see that only the top left corner of the rectangle intersects either line.

Thus, B is the correct answer.

8.

Lola, Lolo, Tiya y Tiyo participaron en un torneo de ping pong. Cada jugador compitió contra cada uno de los otros tres jugadores exactamente dos veces. Abajo se muestran los registros de victorias y derrotas de los jugadores. Los números $1$ y $0$ representan una victoria o una derrota, respectivamente. Por ejemplo, Lola ganó cinco partidos y perdió el cuarto. ¿Cuál fue el registro de victorias y derrotas de Tiyo?

Lola, Lolo, Tiya, and Tiyo participated in a ping pong tournament. Each player competed against each of the other three players exactly twice. Shown below are the win-loss records for the players. The numbers $1$ and $0$ represent a win or loss, respectively. For example, Lola won five matches and lost the fourth match. What was Tiyo's win-loss record?

$000101$

$001001$

$010000$

$010101$

$011000$

Conceptos:deducción lógica paridad

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

Observa que en cada ronda habrá $2$ ganadores y $2$ perdedores (dos partidos, cada uno con un ganador y un perdedor).

Esto significa que en cada columna debe haber $2$ unos y $2$ ceros.

Usando este hecho, podemos deducir que el registro de victorias y derrotas de Tiyo es $000101.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that for each round, there are going to $2$ winners and $2$ losers (two matches each with a winner and loser).

This means that for each match, there should be $2$ ones and $2$ zeros.

Using this fact, we can deduce that Tiyo's win-loss record is $000101.$

Thus, A is the correct answer.

9.

Malaika está esquiando en una montaña. La gráfica de abajo muestra su elevación, en metros, sobre la base de la montaña mientras esquía por una pista. En total, ¿cuántos segundos pasa a una elevación entre $4$ y $7$ metros?

Malaika is skiing on a mountain. The graph below shows her elevation, in meters, above the base of the mountain as she skis along a trail. In total, how many seconds does she spend at an elevation between $4$ and $7$ meters?

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

La primera vez que alcanza una elevación de $7$ metros es a los $2$ segundos.

Luego baja por debajo de $4$ metros después de $4$ segundos. Esto añade $4 - 2 = 2$ segundos a la respuesta total.

Malaika vuelve a subir por encima de $4$ metros a los $6$ segundos. Alcanza $7$ metros de nuevo a los $10$ segundos.

Esto añade $10 - 6 = 4$ segundos más al total. Finalmente baja por debajo de $7$ metros por última vez a los $12$ segundos.

Después cae por debajo de $4$ metros a los $14$ segundos, añadiendo finalmente $14 - 12 = 2$ segundos al tiempo total.

La respuesta buscada es por lo tanto $2 + 4 + 2 = 8$ segundos. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The first time that she hits an elevation of $7$ meters is at $2$ seconds.

She then dips below $4$ meters after $4$ seconds. This adds $4 - 2 = 2$ seconds to the total answer.

Malaika then goes above $4$ meters at $6$ seconds. She hits $7$ meters again at $10$ seconds.

This adds $10 - 6 = 4$ more seconds to the total. She finally dips below $7$ meters for the last time at $12$ seconds.

She then falls below $4$ meters at $14$ seconds, finally adding $14 - 12 = 2$ seconds to the total time.

The desired answer is therefore $2 + 4 + 2 = 8$ Thus, B is the correct answer.

10.

Harold hizo un pastel de ciruela para llevar a un picnic. Solo pudo comer $\frac{1}{4}$ del pastel y dejó el resto para sus amigos. Vino un alce y se comió $\frac{1}{3}$ de lo que Harold dejó. Después de eso, un puercoespín se comió $\frac{1}{3}$ de lo que el alce dejó. ¿Cuánto del pastel original quedaba después de que el puercoespín se fue?

Harold made a plum pie to take on a picnic. He was able to eat only $\frac{1}{4}$ of the pie, and he left the rest for his friends. A moose came by and ate $\frac{1}{3}$ of what Harold left behind. After that, a porcupine ate $\frac{1}{3}$ of what the moose left behind. How much of the original pie still remained after the porcupine left?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Harold dejó $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ del pastel para sus amigos.

El alce se comió $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ del pastel, dejando $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ del pastel.

Finalmente, el puercoespín se comió $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ del pastel. Esto deja $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ del pastel.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Harold left $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ of the pie for his friends.

The moose ate $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ of the pie, leaving $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ of the pie.

Finally, the porcupine ate $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ of the pie. This leaves $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ of the pie.

Thus, D is the correct answer.

11.

El Rover Perseverance de la NASA fue lanzado el $30,$ de julio de $2020.$ Después de viajar $292,526,838$ millas, aterrizó en Marte en el cráter Jezero unos $6.5$ meses después. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la velocidad interplanetaria promedio del Rover en millas por hora?

NASA's Perseverance Rover was launched on July $30,$ $2020.$ After traveling $292,526,838$ miles, it landed on Mars in Jezero Crater about $6.5$ months later. Which of the following is closest to the Rover's average interplanetary speed in miles per hour?

$6,000$

$12,000$

$60,000$

$120,000$

$600,000$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo estimación conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1100

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Solución escrita:

Podemos redondear la distancia a $300,000,000$ millas. También podemos aproximar $6.5$ meses como $30 \times 6.5 = 195 \approx 200$ días. Esto significa que el Rover viajó $300,000,000 \div 200 = 1,500,000$ millas por día. Dividiendo esto entre $24$ para obtener la velocidad en millas por hora se obtiene $62,500,$ que es cercano a $60,000.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can round the distance up to $300,000,000$ miles. We can also approximate $6.5$ months as $30 \times 6.5 = 195 \approx 200$ days. This means that the Rover traveled $300,000,000 \div 200 = 1,500,000$ miles per day. Dividing this by $24$ to get the speed in miles per hour yields $62,500,$ which is close to $60,000.$

Thus, C is the correct answer.

12.

La figura de abajo muestra un círculo grande sin sombrear con varios círculos más pequeños sombreados y sin sombrear en su interior. ¿Qué fracción del interior del círculo grande sin sombrear está sombreada?

The figure below shows a large unshaded circle with a number of smaller unshaded and shaded circles in its interior. What fraction of the interior of the large unshaded circle is shaded?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{11}{36}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{19}{36}$

$\dfrac{5}{9}$

Conceptos:área del círculo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1370

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Solución escrita:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que cada cuadrado tiene una longitud de lado de $2$ unidades.

Esto significa que hay $3$ círculos unitarios sombreados, que suman $3 \cdot 1^2 \pi = 3 \pi$ de área.

También hay un círculo sombreado de radio $4$ con dos círculos sin sombrear de radio $2$ en su interior.

Esto nos da un área sombreada adicional de $\begin{align*} 4^2 \pi - 2 \cdot 2^2 \pi &= 16 \pi - 8 \pi \\ &= 8 \pi. \end{align*}$

Sumando estos valores se obtiene $8\pi + 3\pi = 11\pi.$ El área del círculo grande sin sombrear es $6^2\pi = 36\pi.$ Por lo tanto, la fracción buscada es $\dfrac{11\pi}{36\pi} = \dfrac{11}{36}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

WLOG, assume that each square has a side length of $2$ units.

This means that there are $3$ shaded unit circles, which total to $3 \cdot 1^2 \pi = 3 \pi$ area.

There is also a shaded circle with radius $4$ with two unshaded circles of radius $2$ inside.

This gives us an extra shaded area of $\begin{align*} 4^2 \pi - 2 \cdot 2^2 \pi &= 16 \pi - 8 \pi \\ &= 8 \pi. \end{align*}$

Adding these values together yields $8\pi + 3\pi = 11\pi.$ The area of the large unshaded circle is $6^2\pi = 36\pi.$ Therefore, the desired fraction is $\dfrac{11\pi}{36\pi} = \dfrac{11}{36}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

A lo largo del recorrido de una carrera de bicicletas, $7$ estaciones de agua están espaciadas uniformemente entre la línea de salida y la de meta, como se muestra en la figura de abajo. También hay $2$ estaciones de reparación espaciadas uniformemente entre la salida y la meta. La $3$ ª estación de agua está ubicada $2$ millas después de la $1$ ª estación de reparación. ¿Cuál es la longitud de la carrera en millas?

Along the route of a bicycle race, $7$ water stations are evenly spaced between the start and finish lines, as shown in the figure below. There are also $2$ repair stations evenly spaced between the start and finish lines. The $3$ rd water station is located $2$ miles after the $1$ st repair station. How long is the race in miles?

$8$

$16$

$24$

$48$

$96$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1240

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Solución escrita:

La $3$ ª estación de agua está ubicada a $\frac{3}{8}$ del recorrido de la carrera (las estaciones de agua dividen la carrera en $8$ espacios iguales).

La primera estación de reparación está ubicada a $\frac{1}{3}$ del recorrido. La distancia entre ambas es $\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24}$ de la longitud de la carrera. Sabemos que esto equivale a $2,$ lo que significa que la carrera mide $24 \cdot 2 = 48$ millas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $3$ rd water station is located $\frac{3}{8}$ of the way along the race (the water stations split the race up into $8$ equal spaces).

The first repair station is located $\frac{1}{3}$ of the way along the race. The distance between the two is $\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24}$ the length of the race. We know that this equals $2,$ which means the race is $24 \cdot 2 = 48$ miles long.

Thus, D is the correct answer.

14.

Nicolas planea enviar un paquete a su amigo Anton, que es coleccionista de estampillas. Para pagar el franqueo, Nicolas quisiera cubrir el paquete con una gran cantidad de estampillas. Supongamos que tiene una colección de estampillas de $5$ centavos, $10$ centavos y $25$ centavos, con exactamente $20$ de cada tipo. ¿Cuál es el mayor número de estampillas que Nicolas puede usar para formar exactamente $\$7.10$ de franqueo?

(Nota: La cantidad $\$7.10$ corresponde a $7$ dólares y $10$ centavos. Un dólar vale $100$ centavos.)

Nicolas is planning to send a package to his friend Anton, who is a stamp collector. To pay for the postage, Nicolas would like to cover the package with a large number of stamps. Suppose he has a collection of $5$ -cent, $10$ -cent, and $25$ -cent stamps, with exactly $20$ of each type. What is the greatest number of stamps Nicolas can use to make exactly $\$7.10$ in postage?

(Note: The amount $\$7.10$ corresponds to $7$ dollars and $10$ cents. One dollar is worth $100$ cents.)

$45$

$46$

$51$

$54$

$55$

Conceptos:optimización aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

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Solución escrita:

Observa que queremos obtener $7 \cdot 100 + 10 = 710$ centavos. Intentemos ver si es posible usar todas las estampillas de $5$ centavos y $10$ centavos.

Estos dos tipos de estampillas combinados valdrían $20(5 + 10) = 20 \cdot 15 = 300$ centavos. Entonces necesitaríamos $710 - 300 = 410$ centavos, que no se pueden formar solo con estampillas de $25$ centavos.

Sin embargo, sí podemos formar $425$ centavos con estampillas de $25$ centavos. Usar solo $19$ de cada una de las estampillas de $5$ y $10$ centavos sumaría $300 - 5 - 10 = 285$ centavos. Esto significa que entonces necesitaríamos $710 - 285 = 425$ centavos. Esto se puede lograr con $425 \div 25 = 17$ estampillas de $25$ centavos.

Esto nos permite usar $\begin{align*} 2 \cdot 19 + 17 &= 38 + 17 \\ &= 55 \end{align*}$ estampillas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that we want to get $7 \cdot 100 + 10 = 710$ cents. Let us try to see if it is possible to use up all of the $5$ -cent and $10$ -cent stamps.

All of these two types of stamps combined would be worth $20(5 + 10) = 20 \cdot 15 = 300$ cents. We then would need $710 - 300 = 410$ cents, which cannot be created with just $25$ -cent stamps.

We can, however, make $425$ cents with $25$ -cent stamps. Using only $19$ each of $5$ and $10$ -cent stamps would total $300 - 5 - 10 = 285$ cents. This means we would then need $710 - 285 = 425$ cents. This can be achieved with $425 \div 25 = 17$ $25$ -cent stamps.

This lets us use $\begin{align*} 2 \cdot 19 + 17 &= 38 + 17 \\ &= 55 \end{align*}$ stamps.

Thus, E is the correct answer.

15.

Visvam camina media milla para llegar a la escuela cada día. Su ruta consta de $10$ cuadras de la ciudad de igual longitud y tarda un minuto en caminar cada cuadra. Hoy, después de caminar $5$ cuadras, Visvam descubre que tiene que hacer un desvío, caminando $3$ cuadras de igual longitud en lugar de $1$ cuadra para llegar a la siguiente esquina. Desde el momento en que comienza su desvío, ¿a qué velocidad, en millas por hora, debe caminar Visvam para llegar a la escuela a su hora habitual?

Visvam walks half a mile to get to school each day. His route consists of $10$ city blocks of equal length and he takes one minute to walk each block. Today, after walking $5$ blocks, Visvam discovers that he has to make a detour, walking $3$ blocks of equal length instead of $1$ block to reach the next corner. From the time he starts his detour, at what speed, in miles per hour, must Visvam walk in order to arrive at school at his usual time?

$4$

$4.2$

$4.5$

$4.8$

$5$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1410

Solución en video:

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Solución escrita:

Si media milla equivale a $10$ cuadras, entonces una cuadra mide $\dfrac{1}{2} \div 10 = \dfrac{1}{20}$ de milla.

Empezando desde el desvío, Visvam tiene que caminar $7 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{7}{20}$ millas.

Normalmente, desde este punto Visvam tardaría $5$ minutos en caminar a la escuela. Ahora tiene que recorrer $\dfrac{7}{20}$ millas en $5$ minutos.

Observa que $5$ minutos son $\dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ horas. Esto significa que su velocidad debe ser $\begin{align*} \dfrac{\frac{7}{20}}{\frac{1}{12}} &= 12 \cdot \dfrac{7}{20} \\&= \dfrac{21}{5} \\ &= 4.2 \end{align*}$ mph.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

If half a mile is the same as $10$ blocks, then one block is $\dfrac{1}{2} \div 10 = \dfrac{1}{20}$ miles.

Starting from the detour, Visvam has to walk $7 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{7}{20}$ miles.

Normally, from this spot Visvam would take $5$ minutes to walk to school. Now he has to travel $\dfrac{7}{20}$ miles in $5$ minutes.

Note that $5$ minutes is $\dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ hours. This means his speed must be $\begin{align*} \dfrac{\frac{7}{20}}{\frac{1}{12}} &= 12 \cdot \dfrac{7}{20} \\&= \dfrac{21}{5} \\ &= 4.2 \end{align*}$ mph.

Thus, B is the correct answer.

16.

Las letras P, Q y R se colocan en una tabla de $20 \times 20$ según el patrón que se muestra abajo. ¿Cuántas P, Q y R aparecerán en la tabla completa?

The letters P, Q, and R are entered into a $20 \times 20$ table according to the pattern shown below. How many Ps, Qs, and Rs will appear in the completed table?

$132$ P, $134$ Q, $134$ R

$132$ Ps, $134$ Qs, $134$ Rs

$133$ P, $133$ Q, $134$ R

$133$ Ps, $133$ Qs, $134$ Rs

$133$ P, $134$ Q, $133$ R

$133$ Ps, $134$ Qs, $133$ Rs

$134$ P, $132$ Q, $134$ R

$134$ Ps, $132$ Qs, $134$ Rs

$134$ P, $133$ Q, $133$ R

$134$ Ps, $133$ Qs, $133$ Rs

Conceptos:reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ las $2$ letras inferiores de cada columna aparecerán una vez más que la tercera letra.

Esto significa que la tercera letra de cada columna aparecerá $6$ veces, mientras que las otras $2$ aparecerán $7$ veces.

Con el mismo análisis, podemos ver que $R$ y $P$ aparecen en la tercera fila $7$ veces, mientras que $Q$ solo aparece $6$ veces.

Por lo tanto, en $20 - 7 = 13$ columnas, $P$ y $R$ aparecen $7$ veces, para un total de $13 \cdot 7 = 91$ veces.

También aparecen $6$ veces en $7$ columnas, añadiendo $6 \cdot 7 = 42$ apariciones al total. Esto nos da un total de $91 + 42 = 133$ apariciones para $P$ y $R.$

$Q$ aparecerá por lo tanto $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ veces.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ the bottom $2$ letters in each column will occur one more time than the third letter.

This means that the third letter in each column will occur $6$ times, whereas the other $2$ will appear $7$ times.

Using the same analysis, we can see that $R$ and $P$ appear in the third row $7$ times, whereas $Q$ only appears $6$ times.

Therefore, in $20 - 7 = 13$ columns, $P$ and $R$ appear $7$ times, for a total of $13 \cdot 7 = 91$ times.

They also appear $6$ times in $7$ columns, adding $6 \cdot 7 = 42$ appearances to the total. This gives us a total of $91 + 42 = 133$ appearances for $P$ and $R.$

$Q$ will therefore appear $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ times.

Thus, C is the correct answer.

17.

Un octaedro regular tiene ocho caras triangulares equiláteras, con cuatro caras que se encuentran en cada vértice. Jun hará el octaedro regular que se muestra en la figura doblando la hoja de papel de abajo. ¿Qué cara numerada terminará a la derecha de la región sombreada $Q$ ?

A regular octahedron has eight equilateral triangle faces with four faces meeting at each vertex. Jun will make the regular octahedron shown in the figure by folding the piece of paper below. Which numbered face will end up to the right of the shaded region $Q?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)poliedro

Nivel de dificultad: 1580

Solución en video:

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Solución escrita:

Comienza observando que, al doblarse, las caras etiquetadas $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ forman la mitad inferior del octaedro. Por lo tanto, las cuatro caras restantes deben formar la mitad superior del octaedro.

A partir de aquí, hemos reducido las posibilidades a $1,$ $6,$ y $7.$ Podemos ver que $6$ será el número a la izquierda de la región sombreada $Q.$ Esto también nos da que $7$ está a la izquierda de $6.$

Por lo tanto, sabemos que la única cara restante, $1,$ debe estar a la derecha de la región sombreada $Q.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Begin by observing that when folded, the sides labelled $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ form the bottom half of the octahedron. As such, the remaining four faces must make up the top half of the octahedron.

From here, we have narrowed down our possibilities to $1,$ $6,$ and $7.$ We can see that $6$ will be the number to the left of the shaded region $Q.$ This also gives us that $7$ is to the left of $6.$

Therefore, we know that the only remaining face, $1,$ must be to the right of the shaded region $Q.$

Thus, A is the correct answer.

18.

La saltamontes Greta se sienta sobre una larga fila de nenúfares en un estanque. Desde cualquier nenúfar, Greta puede saltar $5$ nenúfares a la derecha o $3$ nenúfares a la izquierda. ¿Cuál es el menor número de saltos que Greta debe hacer para llegar al nenúfar ubicado $2023$ nenúfares a la derecha de su posición inicial?

Greta Grasshopper sits on a long line of lily pads in a pond. From any lily pad, Greta can jump $5$ pads to the right or $3$ pads to the left. What is the fewest number of jumps Greta must make to reach the lily pad located $2023$ pads to the right of her starting position?

$405$

$407$

$409$

$411$

$413$

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular optimización

Nivel de dificultad: 1740

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $r$ el número de saltos a la derecha y $l$ el número de saltos a la izquierda. Necesitamos $5r-3l=2023.$ Módulo $5$ , esto da $-3l\equiv3\pmod5$ , así que $l\equiv4\pmod5$ .

Para minimizar el número total de saltos, usamos el menor $l$ posible, es decir $l=4$ . Entonces $5r-12=2023$ , así que $r=407$ .

El menor número de saltos es $407+4=411$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $r$ be the number of right jumps and $l$ be the number of left jumps. We need $5r-3l=2023.$ Modulo $5$ , this gives $-3l\equiv3\pmod5$ , so $l\equiv4\pmod5$ .

To minimize the total number of jumps, use the smallest possible $l$ , namely $l=4$ . Then $5r-12=2023$ , so $r=407$ .

The fewest number of jumps is $407+4=411$ .

Thus, D is the correct answer.

19.

Un triángulo equilátero se coloca dentro de un triángulo equilátero mayor de modo que la región entre ellos se pueda dividir en tres trapecios congruentes, como se muestra abajo. La longitud del lado del triángulo interior es $\frac{2}{3}$ de la longitud del lado del triángulo mayor. ¿Cuál es la razón entre el área de un trapecio y el área del triángulo interior?

An equilateral triangle is placed inside a larger equilateral triangle so that the region between them can be divided into three congruent trapezoids, as shown below. The side length of the inner triangle is $\frac{2}{3}$ the side length of the larger triangle. What is the ratio of the area of one trapezoid to the area of the inner triangle.

$1 : 3$

$3 : 8$

$5 : 12$

$7 : 16$

$4 : 9$

Conceptos:razón de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 1410

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la longitud del lado del triángulo interior es $\frac{2}{3}$ de la del triángulo exterior, su área es $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ del área del triángulo exterior.

Esto significa que los tres trapecios son $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ del área del triángulo exterior.

Por lo tanto, un trapecio es $\frac{5}{9} \div 3 = \frac{5}{27}$ del área del triángulo exterior.

Esto hace que la razón entre las áreas de un trapecio y el triángulo interior sea $\dfrac{\frac{5}{27}}{\frac{4}{9}} = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since the inner triangle's side length is $\frac{2}{3}$ the side length of the outer triangle, its area is $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ the area of the outer triangle.

This means that the three trapezoids are $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ the area of the outer triangle.

Therefore, one trapezoid is $\frac{5}{9} \div 3 = \frac{5}{27}$ the area of the outer triangle.

This makes the ratio of the areas of one trapezoid and the inner triangle $\dfrac{\frac{5}{27}}{\frac{4}{9}} = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{12}.$

Thus, C is the correct answer.

20.

Se insertan dos enteros en la lista $3, 3, 8, 11, 28$ para duplicar su rango. La moda y la mediana permanecen sin cambios. ¿Cuál es la suma máxima posible de los dos números adicionales?

Two integers are inserted into the list $3, 3, 8, 11, 28$ to double its range. The mode and median remain unchanged. What is the maximum possible sum of the two additional numbers?

$56$

$57$

$58$

$60$

$61$

Conceptos:rango mediana (datos)moda optimización

Nivel de dificultad: 1600

Solución en video:

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Solución escrita:

El rango original es $28-3=25$ , así que el nuevo rango debe ser $50$ . Para mantener la mediana en $8$ , uno de los números añadidos debe estar por debajo de $8$ y el otro por encima de $8$ .

Si el número añadido menor es al menos $3$ , entonces el mínimo sigue siendo $3$ , así que el máximo debe ser $3+50=53$ . El número añadido menor no puede ser $3$ , porque eso cambiaría la moda, así que su mayor valor posible es $7$ .

Esto da como números añadidos $7$ y $53$ , con suma $60$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The original range is $28-3=25$ , so the new range must be $50$ . To keep the median $8$ , one added number must be below $8$ and the other above $8$ .

If the smaller added number is at least $3$ , then the minimum stays $3$ , so the maximum must be $3+50=53$ . The smaller added number cannot be $3$ , because that would change the mode, so its largest possible value is $7$ .

This gives added numbers $7$ and $53$ , with sum $60$ .

Thus, D is the correct answer.

21.

Alina escribe los números $1,2,\cdots,9$ en tarjetas separadas, un número por tarjeta. Desea dividir las tarjetas en $3$ grupos de $3$ tarjetas de modo que la suma de los números en cada grupo sea la misma. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Alina writes the numbers $1,2,\cdots,9$ on separate cards, one number per card. She wishes to divide the cards into $3$ groups of $3$ cards so that the sum of the numbers in each group will be the same. In how many ways can this be done?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:particiones y composiciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1690

Solución en video:

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Solución escrita:

La suma de todos los números es $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.$ Esto significa que la suma de cada grupo es $45 \div 3 = 15.$

Considera el grupo que contiene el $9$ . Los otros dos números deben sumar $6.$ Por lo tanto, las otras tarjetas de este grupo son $1$ y $5$ , o $2$ y $4.$

Caso $1:$ Un grupo es $1, 5, 9$

Considera el grupo que contiene el $8$ . Los otros números deben sumar $7.$ La única opción es $3$ y $4$ con las tarjetas restantes.

El otro grupo es entonces $2,6,$ y $7.$ Esto suma $15,$ así que este caso aporta una posibilidad.

Caso $2:$ Un grupo es $2, 4, 9$

Considera el grupo que contiene el $8$ . Como antes, los otros números deben sumar $7.$ La única opción es $1$ y $6.$

El grupo final es $3, 5,$ y $7,$ que suma $15.$ Esta es otra configuración.

Hemos revisado todos los casos, lo que reveló que solo hay $2$ agrupaciones posibles.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sum of all the numbers is $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.$ This means that the sum of each group is $45 \div 3 = 15.$

Consider the group with $9$ in it. The other two numbers must add to $6.$ Therefore, the other cards in this group are $1$ and $5$ or $2$ and $4.$

Case $1:$ One group is $1, 5, 9$

Consider the group with $8$ in it. The other numbers must add to $7.$ The only option is $3$ and $4$ with the remaining cards.

The other group is then $2,6,$ and $7.$ This adds to $15,$ so this case contributes one possibility.

Case $2:$ One group is $2, 4, 9$

Consider the group with $8$ in it. As above, the other numbers have to add to $7.$ The only option is $1$ and $6.$

The final group is $3, 5,$ and $7,$ which adds to $15.$ This is another configuration.

We have gone through all the cases, which revealed that there are only $2$ possible groupings.

Thus, C is the correct answer.

22.

En una sucesión de enteros positivos, cada término después del segundo es el producto de los dos términos anteriores. El sexto término de la sucesión es $4000.$ ¿Cuál es el primer término?

In a sequence of positive integers, each term after the second is the product of the previous two terms. The sixth term in the sequence is $4000.$ What is the first term?

$1$

$2$

$4$

$5$

$10$

Conceptos:recursión factorización en primos

Nivel de dificultad: 1790

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el primer término y $y$ el segundo.

Entonces obtenemos la siguiente sucesión. $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ De esto, obtenemos que $x^3y^5 = 4000.$

Factorizando $4000,$ obtenemos $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ Necesitamos que $x$ y $y$ sean enteros. Las únicas quintas potencias que dividen a $4000$ son $1$ y $32.$

Si $y = 1,$ entonces $x^3 = 4000,$ lo que no funciona ya que $4000$ no es un cubo perfecto. Por lo tanto, $y^5 = 32$ $y = 2.$

Esto obliga a que $x$ sea igual a $5.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the first term and $y$ be the second.

Then we get the following sequence. $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ From this, we get that $x^3y^5 = 4000.$

Factoring $4000,$ we get $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ We need $x$ and $y$ to be integers. The only fifth powers that divides $4000$ are $1$ and $32.$

If $y = 1,$ then $x^3 = 4000,$ which doesn't work since $4000$ is not a perfect cube. Therefore, $y^5 = 32$ $y = 2.$

This forces $x$ to equal $5.$

Thus, D is the correct answer.

23.

Cada casilla de una cuadrícula de $3 \times 3$ se llena aleatoriamente con una de las $4$ fichas sombreadas y sin sombrear que se muestran a la derecha, abajo.

¿Cuál es la probabilidad de que el mosaico contenga un gran rombo sombreado en una de las cuadrículas menores de $2 \times 2$ ? Abajo se muestra un ejemplo de tal mosaico.

Each square in a $3 \times 3$ grid is randomly filled with one of the $4$ shaded-and-unshaded tiles shown below on the right.

What is the probability that the tiling will contain a large shaded diamond in one of the smaller $2 \times 2$ grids? Below is an example of such a tiling.

$\dfrac{1}{1024}$

$\dfrac{1}{256}$

$\dfrac{1}{64}$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1840

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $4^9$ mosaicos posibles. Hay $4$ cuadrículas de $2\times2$ posibles donde podría aparecer un gran rombo sombreado.

Después de elegir una de estas cuadrículas de $2\times2$ , las orientaciones de las cuatro fichas dentro de ella quedan determinadas, y las otras $5$ casillas se pueden llenar de cualquier manera. Esto da $4^5$ mosaicos para cada cuadrícula de $2\times2$ elegida.

Dos cuadrículas de $2\times2$ diferentes no pueden contener ambas un gran rombo sombreado, porque sus casillas superpuestas requerirían orientaciones de fichas incompatibles. Por lo tanto, el número de mosaicos favorables es $4\cdot4^5=4^6.$

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There are $4^9$ possible tilings. There are $4$ possible $2\times2$ grids where a large shaded diamond could appear.

After one of these $2\times2$ grids is chosen, the four tile orientations inside it are forced, and the other $5$ squares can be filled in any way. This gives $4^5$ tilings for each chosen $2\times2$ grid.

Two different $2\times2$ grids cannot both contain a large shaded diamond, because their overlapping squares would require incompatible tile orientations. Therefore the number of favorable tilings is $4\cdot4^5=4^6.$

The desired probability is then $\dfrac{4^6}{4^9} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}.$

Thus, C is the correct answer.

24.

El triángulo isósceles $ABC$ tiene lados iguales $AB$ y $BC.$ En las figuras de abajo, se trazan segmentos paralelos a $\overline{AC}$ de modo que las porciones sombreadas de $\triangle ABC$ tengan la misma área. Las alturas de las dos porciones sin sombrear son $11$ y $5$ unidades, respectivamente. ¿Cuál es la altura $h$ de $\triangle ABC$ ?

Isosceles triangle $ABC$ has equal side lengths $AB$ and $BC.$ In the figures below, segments are drawn parallel to $\overline{AC}$ so that the shaded portions of $\triangle ABC$ have the same area. The heights of the two unshaded portions are $11$ and $5$ units, respectively. What is the height $h$ of $\triangle ABC?$

$14.6$

$14.8$

$15$

$15.2$

$15.4$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1930

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Solución escrita:

Sea $a$ el área de $\triangle ABC.$

Observa que los triángulos más pequeños son semejantes a $\triangle ABC.$ Esto significa que la razón de sus áreas es la razón de sus longitudes de lado al cuadrado.

Como las áreas sombreadas de ambas figuras son iguales, obtenemos $a - a \cdot \left(\dfrac{11}{h}\right)^2$ $= a \cdot \left(\dfrac{h - 5}{h}\right)^2.$

El lado izquierdo es el área de todo el triángulo menos el área de la región sin sombrear del triángulo izquierdo. El lado derecho es el área del triángulo sombreado, que obtenemos hallando la razón de sus longitudes de lado (que es igual a la razón de sus alturas) y elevándola al cuadrado.

Simplificando se obtiene $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ Esto se simplifica a $10h = 146$ $h = 14.6.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $a$ be the area of $\triangle ABC.$

Note that the smaller triangles are similar to $\triangle ABC.$ This means that the ratio of their areas is the ratio of their side lengths squared.

Then we get that $a - a \cdot \left(\dfrac{11}{h}\right)^2$ $= a \cdot \left(\dfrac{h - 5}{h}\right)^2.$ The left side is the area of the whole triangle minus the area of the unshaded region of the left triangle.

The right hand side is the area of the shaded triangle. We get this by finding the ratio of their side lengths (which is the same as the ratio of their heights) and squaring it.

Simplifying yields $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ This simplifies to $10h = 146$ $h = 14.6.$

Thus, A is the correct answer.

25.

Quince enteros $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{15}$ están ordenados en una recta numérica. Los enteros están igualmente espaciados y tienen la propiedad de que $1 \leq a_1 \leq 10,$ $13 \leq a_2 \leq 20,$ y $241 \leq a_{15} \leq 250.$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $a_{14}$ ?

Fifteen integers $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{15}$ are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that $1 \leq a_1 \leq 10,$ $13 \leq a_2 \leq 20,$ and $241 \leq a_{15} \leq 250.$

What is the sum of the digits of $a_{14}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:sucesión aritmética acotación a casos límite dígitos

Nivel de dificultad: 1950

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $d$ la diferencia común. Si tomamos $a_1 = 10$ y $a_{15} = 241,$ vemos que $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Como todos los números son enteros, $d$ debe ser al menos $17.$

Además, si $a_1 = 1$ y $a_{15} = 250,$ obtenemos que $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ De nuevo, como todos los números son enteros, $d$ es a lo sumo $17.$ Esto nos dice que $d$ es $17.$

Observa que $17 \cdot 14 = 238.$ Esto significa que $a_1$ debe ser al menos $3$ para que $a_{15}$ esté dentro del rango deseado.

Sin embargo, si $a_1$ es mayor que $3,$ entonces $a_2$ se vuelve mayor que $20,$ lo cual no está permitido.

Ahora sabemos que $a_1 = 3$ y $d = 17.$ Esto nos dice que $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Por lo tanto, la suma de los dígitos es $2 + 2 + 4 = 8.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $d$ be the common difference. If we let $a_1 = 10$ and $a_{15} = 241,$ we see that $d \geq \dfrac{241 - 10}{14} = 16.5.$ Since all the numbers are integers, $d$ must be at least $17.$

Also, if $a_1 = 1$ and $a_{15} = 250,$ we get that $d \leq \dfrac{250 - 1}{14} \approx 17.8.$ Once again since all the numbers are integers, $d$ is at most $17.$ This tells us that $d$ is $17.$

Note that $17 \cdot 14 = 238.$ This means that $a_1$ must be at least $3$ for $a_{15}$ to be within the desired range.

If $a_1$ is greater than $3,$ however, $a_2$ becomes greater than $20,$ which is not allowed.

Now we know that $a_1 = 3$ and $d = 17.$ This tell us that $a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224.$

Therefore, sum of the digits is $2 + 2 + 4 = 8.$

Thus, A is the correct answer.