Question

Para un entero positivo $n,$ la notación factorial $n!$ representa el producto de los enteros desde $n$ hasta $1.$ Por ejemplo:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

¿Qué valor de $N$ satisface la siguiente ecuación?

$5! \times 9! = 12 \times N!$

For a positive integer $n,$ the factorial notation $n!$ represents the product of the integers from $n$ to $1.$ For example:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

What value of $N$ satisfies the following equation?

$5! \times 9! = 12 \times N!$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Solución en video:

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Solución escrita:

Nota primero que $\begin{align*} n! &= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1 \\ &= n((n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1) \\ &= n(n - 1)! \end{align*}$

Con eso en mente, observa además que: $\begin{align*} 5! \cdot 9! &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9! \\ &= 120 \cdot 9! \\ &= 12(10 \cdot 9!) \end{align*}$

Como $12 \cdot N! = 12(10\cdot 9!),$ sabemos que $N! = 10\cdot 9!.$

Usando nuestra nota de arriba, sabemos que $10\cdot 9!= 10!$ así que $N=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Note first that $\begin{align*} n! &= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1 \\ &= n((n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1) \\ &= n(n - 1)! \end{align*}$

With that in mind, further observe that: $\begin{align*} 5! \cdot 9! &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9! \\ &= 120 \cdot 9! \\ &= 12(10 \cdot 9!) \end{align*}$

Since $12 \cdot N! = 12(10\cdot 9!),$ we know $N! = 10\cdot 9!.$

Using our note from above, we know that $10\cdot 9!= 10!$ so $N=10.$

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 8 Problema 12

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 12 en otros años