2020 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

Luka está preparando limonada para vender en una recaudación de fondos escolar. Su receta requiere una cantidad de agua igual a $4$ veces la de azúcar y el doble de azúcar que de jugo de limón. Usa $3$ tazas de jugo de limón. ¿Cuántas tazas de agua necesita?

Luka is making lemonade to sell at a school fundraiser. His recipe requires $4$ times as much water as sugar and twice as much sugar as lemon juice. He uses $3$ cups of lemon juice. How many cups of water does he need?

$6$

$8$

$12$

$18$

$24$

Respuesta: E

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

El agua es $4\cdot2$ veces el jugo de limón

Water is $4\cdot2$ times the lemon juice

Pista grande:

Primero halla las tazas de azúcar a partir del jugo de limón

First find the cups of sugar from the lemon juice

Solución en video:

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Solución escrita:

Como Luka necesita el doble de azúcar que de jugo de limón, necesita $2\cdot3=6$ tazas de azúcar. Como también necesita $4$ veces más agua que azúcar, necesita $4\cdot6=24$ tazas de agua.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since Luka needs twice as much sugar as lemon, he needs $2\cdot3=6$ cups of sugar. Since Luka also needs $4$ times as much water as sugar, he needs $4\cdot6=24$ cups of water.

Thus, the correct answer is E.

2.

Cuatro amigos hacen trabajos de jardinería para sus vecinos durante el fin de semana, ganando $\$15,$ $\$20,$ $\$25,$ y $\$40$ respectivamente. Deciden repartir sus ganancias en partes iguales entre ellos. En total, ¿cuánto le dará a los demás el amigo que ganó $\$40$ ?

Four friends do yardwork for their neighbors over the weekend, earning $\$15,$ $\$20,$ $\$25,$ and $\$40$ respectively. They decide to split their earnings equally among themselves. In total how much will the friend who earned $\$40$ give to the others?

$\$5$

$\$10$

$\$15$

$\$20$

$\$25$

Respuesta: C

Conceptos:media dinero

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Halla la parte igual del total de las ganancias

Find the equal share of the total earnings

Pista grande:

Quien ganó $\$40$ entrega la cantidad que excede la parte igual

The $\$40$ earner gives away the amount above the equal share

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, la cantidad total de dinero que ganan es $\$15+\$20+\$25+\$40=\$100.$

Como reparten esto en partes iguales, cada uno recibe $\frac{100}{4}=25$ dólares.

Por lo tanto, la persona que ganó $\$40$ entrega a los demás $\$40-\$25=\$15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

First, the total amount of money that they make is $\$15+\$20+\$25+\$40=\$100.$

Since they divide this equally, they each get $\frac{100}{4}=25$ dollars.

The friend who earned $\$40$ therefore gives away $\$40-\$25=\$15.$

Thus, the correct answer is C.

3.

Carrie tiene un jardín rectangular que mide $6$ pies por $8$ pies. Planta todo el jardín con plantas de fresa. Carrie puede plantar $4$ plantas de fresa por pie cuadrado, y cosecha en promedio $10$ fresas por planta. ¿Cuántas fresas puede esperar cosechar?

Carrie has a rectangular garden that measures $6$ feet by $8$ feet. She plants the entire garden with strawberry plants. Carrie is able to plant $4$ strawberry plants per square foot, and she harvests an average of $10$ strawberries per plant. How many strawberries can she expect to harvest?

$560$

$960$

$1120$

$1920$

$3840$

Respuesta: D

Conceptos:área tasa

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Primero halla el área del jardín

First find the garden area

Pista grande:

Multiplica el área por las plantas por pie cuadrado, y luego por las fresas por planta

Multiply area by plants per square foot, then by strawberries per plant

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, el tamaño del jardín es $6\cdot8=48$ pies cuadrados.

Luego, como hay $4$ plantas por pie cuadrado, Carrie puede plantar $4\cdot 48=192$ plantas en total.

Finalmente, como hay $10$ fresas por planta, Carrie puede cosechar $10\cdot 192=1920$ fresas en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

First, the size of the garden is $6\cdot8=48$ square feet.

Next, since there are $4$ plants per square foot, Carrie can plant $4\cdot 48=192$ plants total.

Finally, since there are $10$ strawberries per plant, Carrie can harvest $10\cdot 192=1920$ strawberries total.

Thus, the correct answer is D.

4.

Abajo se muestran tres hexágonos de tamaño creciente. Supón que el patrón de puntos continúa de modo que cada hexágono sucesivo contiene una banda más de puntos. ¿Cuántos puntos hay en el siguiente hexágono?

Three hexagons of increasing size are shown below. Suppose the dot pattern continues so that each successive hexagon contains one more band of dots. How many dots are in the next hexagon?

$35$

$37$

$39$

$43$

$49$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Las bandas añadidas tienen $6,$ $12,$ $18,$ $\ldots$ puntos

The added bands have $6,$ $12,$ $18,$ $\ldots$ dots

Pista grande:

El siguiente hexágono es el tercero más la siguiente banda

The next hexagon is the third one plus the next band

Solución en video:

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Solución escrita:

Los primeros tres hexágonos contienen $1,$ $7,$ y $19$ puntos. Cada nueva banda añade $6$ puntos más que la banda anterior.

El cuarto hexágono añade $18$ puntos alrededor del tercer hexágono, así que contiene $19+18=37$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first three hexagons contain $1,$ $7,$ and $19$ dots. Each new band adds $6$ more dots than the previous band.

The fourth hexagon adds $18$ dots around the third hexagon, so it contains $19+18=37$ dots.

Thus, the correct answer is B.

5.

Tres cuartos de una jarra se llenan con jugo de piña. La jarra se vacía vertiendo una cantidad igual de jugo en cada una de $5$ tazas. ¿Qué porcentaje de la capacidad total de la jarra recibió cada taza?

Three fourths of a pitcher is filled with pineapple juice. The pitcher is emptied by pouring an equal amount of juice into each of $5$ cups. What percent of the total capacity of the pitcher did each cup receive?

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Respuesta: C

Conceptos:fracción porcentaje

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cada taza recibe un quinto de $\frac{3}{4}$ de la jarra

Each cup gets one fifth of $\frac{3}{4}$ of the pitcher

Pista grande:

Convierte $\frac{3}{20}$ en un porcentaje

Convert $\frac{3}{20}$ to a percent

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada taza recibe una quinta parte de los $\dfrac{3}{4}$ de jarra, es decir, $\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{20}=15\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each cup receives one fifth of the $\dfrac{3}{4}$ of a pitcher, or $\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{20}=15\%.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Aaron, Darren, Karen, Maren y Sharon viajaron en un pequeño tren que tiene cinco vagones con un asiento cada uno. Maren se sentó en el último vagón. Aaron se sentó directamente detrás de Sharon. Darren se sentó en uno de los vagones delante de Aaron. Al menos una persona se sentó entre Karen y Darren. ¿Quién se sentó en el vagón del medio?

Aaron, Darren, Karen, Maren, and Sharon rode on a small train that has five cars that seat one person each. Maren sat in the last car. Aaron sat directly behind Sharon. Darren sat in one of the cars in front of Aaron. At least one person sat between Karen and Darren. Who sat in the middle car?

Aaron

Darren

Karen

Maren

Sharon

Respuesta: A

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Maren está fija en el último vagón

Maren is fixed in the last car

Pista grande:

Prueba las posibles posiciones adyacentes para Sharon y Aaron

Test the possible adjacent positions for Sharon and Aaron

Solución en video:

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Solución escrita:

Maren está en el último vagón. Como Aaron está directamente detrás de Sharon y Darren está delante de Aaron, las posibles ubicaciones de Darren, Sharon y Aaron antes de Maren son limitadas.

Si Sharon y Aaron estuvieran en los vagones $1$ y $2,$ Darren no podría estar delante de Aaron. Si estuvieran en los vagones $3$ y $4,$ entonces Darren y Karen tendrían que ocupar los vagones $1$ y $2,$ que son adyacentes.

Por lo tanto, Sharon y Aaron deben estar en los vagones $2$ y $3.$ Entonces Darren está en el vagón $1,$ Karen está en el vagón $4,$ y Aaron está en el vagón del medio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Maren is in the last car. Since Aaron is directly behind Sharon and Darren is in front of Aaron, the possible placements of Darren, Sharon, and Aaron before Maren are limited.

If Sharon and Aaron were in cars $1$ and $2,$ Darren could not be in front of Aaron. If they were in cars $3$ and $4,$ then Darren and Karen would have to occupy cars $1$ and $2,$ which are adjacent.

Thus Sharon and Aaron must be in cars $2$ and $3.$ Darren is then in car $1,$ Karen is in car $4,$ and Aaron is in the middle car.

Thus, the correct answer is A.

7.

¿Cuántos enteros entre $2020$ y $2400$ tienen cuatro dígitos distintos ordenados de manera creciente? (Por ejemplo, $2357$ es uno de esos enteros.)

How many integers between $2020$ and $2400$ have four distinct digits arranged in increasing order? (For example, $2357$ is one such integer.)

$9$

$10$

$15$

$21$

$28$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos combinaciones

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Los dos primeros dígitos deben ser $2$ y $3$

The first two digits must be $2$ and $3$

Pista grande:

Elige los dos últimos dígitos de $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$

Choose the last two digits from $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$

Solución en video:

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Solución escrita:

El dígito de las unidades de millar debe ser $2.$ Como los dígitos son distintos y crecientes, el dígito de las centenas debe ser $3.$

Los dos últimos dígitos deben elegirse de $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9.$ Una vez elegidos los dos dígitos, su orden queda determinado.

Hay $\binom{6}{2}=15$ enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The thousands digit must be $2.$ Since the digits are distinct and increasing, the hundreds digit must be $3.$

The last two digits must be chosen from $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9.$ Once the two digits are chosen, their order is forced.

There are $\binom{6}{2}=15$ such integers.

Thus, the correct answer is C.

8.

Ricardo tiene $2020$ monedas, algunas de las cuales son centavos (monedas de $1$ centavo) y el resto son monedas de cinco centavos (monedas de $5$ centavos). Tiene al menos un centavo y al menos una moneda de cinco centavos. ¿Cuál es la diferencia en centavos entre la mayor y la menor cantidad de dinero que Ricardo puede tener?

Ricardo has $2020$ coins, some of which are pennies ( $1$ -cent coins) and the rest of which are nickels ( $5$ -cent coins). He has at least one penny and at least one nickel. What is the difference in cents between the greatest possible and least possible amounts of money that Ricardo can have?

$8062$

$8068$

$8072$

$8076$

$8082$

Respuesta: C

Conceptos:ecuación lineal optimización

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Deja fija una moneda de cada tipo

Leave one coin of each type fixed

Pista grande:

Cambiar un centavo por una moneda de cinco centavos cambia el valor en $4$ centavos

Changing one penny to one nickel changes the value by $4$ cents

Solución en video:

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Solución escrita:

El valor máximo se obtiene con $2019$ monedas de cinco centavos y $1$ moneda de un centavo; el mínimo, con $1$ moneda de cinco centavos y $2019$ monedas de un centavo.

Entre ambos casos, se sustituyen $2018$ monedas de un centavo por monedas de cinco. Cada sustitución añade $5-1=4$ centavos, así que la diferencia es $2018\cdot4=8072$ centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The greatest value occurs with $2019$ nickels and $1$ penny, while the least occurs with $1$ nickel and $2019$ pennies.

Between these two cases, $2018$ pennies have been replaced by nickels. Each replacement adds $5-1=4$ cents, so the difference is $2018\cdot4=8072$ cents.

Thus, the correct answer is C.

9.

El pastel de cumpleaños de Akash tiene la forma de un cubo de $4 \times 4 \times 4$ pulgadas. El pastel tiene glaseado en la parte superior y en las cuatro caras laterales, y no tiene glaseado en la parte inferior. Supón que el pastel se corta en $64$ cubos más pequeños, cada uno de $1 \times 1 \times 1$ pulgada, como se muestra abajo. ¿Cuántas piezas pequeñas tendrán glaseado exactamente en dos lados?

Akash’s birthday cake is in the form of a $4 \times 4 \times 4$ inch cube. The cake has icing on the top and the four side faces, and no icing on the bottom. Suppose the cake is cut into $64$ smaller cubes, each measuring $1 \times 1 \times 1$ inch, as shown below. How many small pieces will have icing on exactly two sides?

$12$

$16$

$18$

$20$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Separa la capa superior de las demás capas

Separate the top layer from the other layers

Pista grande:

Las piezas de las aristas superiores y las piezas de las esquinas inferiores son las que tienen exactamente dos lados glaseados

Top edge pieces and lower corner pieces are the exactly-two-sided pieces

Solución en video:

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Solución escrita:

En la capa superior, las piezas de las aristas que no están en las esquinas tienen glaseado exactamente en dos lados. Hay $4$ aristas con $2$ piezas de este tipo cada una, para $8$ piezas.

En cada una de las otras $3$ capas, las únicas piezas con exactamente dos lados glaseados son las $4$ piezas de las esquinas. Esto añade $3\cdot4=12$ piezas.

El total es $8+12=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In the top layer, the non-corner edge pieces have icing on exactly two sides. There are $4$ edges with $2$ such pieces each, for $8$ pieces.

In each of the other $3$ layers, the only pieces with exactly two iced sides are the $4$ corner pieces. This adds $3\cdot4=12$ pieces.

The total is $8+12=20.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Zara tiene una colección de $4$ canicas: una Aggie, una Bumblebee, una Steelie y una Tiger. Quiere exhibirlas en una fila sobre un estante, pero no quiere poner la Steelie y la Tiger una al lado de la otra. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

Zara has a collection of $4$ marbles: an Aggie, a Bumblebee, a Steelie, and a Tiger. She wants to display them in a row on a shelf, but does not want to put the Steelie and the Tiger next to one another. In how many ways can she do this?

$6$

$8$

$12$

$18$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:arreglos con restricciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Primero cuenta todos los arreglos

Count all arrangements first

Pista grande:

Resta los arreglos donde la Steelie y la Tiger se tratan como un solo bloque

Subtract arrangements where Steelie and Tiger are treated as one block

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $4!=24$ arreglos en total de las canicas.

Si la Steelie y la Tiger son adyacentes, trátalas como un solo bloque. Entonces hay $3!$ maneras de ordenar el bloque con las otras dos canicas, y $2$ órdenes dentro del bloque, para $3!\cdot2=12$ arreglos adyacentes.

Por lo tanto, $24-12=12$ arreglos mantienen la Steelie y la Tiger separadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $4!=24$ total arrangements of the marbles.

If the Steelie and Tiger are adjacent, treat them as one block. Then there are $3!$ ways to arrange the block with the other two marbles, and $2$ orders inside the block, for $3!\cdot2=12$ adjacent arrangements.

Therefore, $24-12=12$ arrangements keep the Steelie and Tiger separated.

Thus, the correct answer is C.

11.

Después de la escuela, Maya y Naomi fueron a la playa, a $6$ millas de distancia. Maya decidió ir en bicicleta mientras que Naomi tomó un autobús. La gráfica de abajo muestra sus recorridos, indicando el tiempo y la distancia recorrida. ¿Cuál fue la diferencia, en millas por hora, entre las velocidades promedio de Naomi y Maya?

After school, Maya and Naomi headed to the beach, $6$ miles away. Maya decided to bike while Naomi took a bus. The graph below shows their journeys, indicating the time and distance traveled. What was the difference, in miles per hour, between Naomi’s and Maya’s average speeds?

$6$

$12$

$18$

$20$

$24$

Respuesta: E

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Lee el tiempo de cada persona para recorrer $6$ millas

Read each person’s time to travel $6$ miles

Pista grande:

Convierte $10$ minutos y $30$ minutos a horas

Convert $10$ minutes and $30$ minutes to hours

Solución en video:

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Solución escrita:

Naomi recorrió $6$ millas en $10$ minutos, así que su velocidad promedio fue $\dfrac{6}{\frac{10}{60}}=36$ millas por hora.

Maya recorrió $6$ millas en $30$ minutos, así que su velocidad promedio fue $\dfrac{6}{\frac{30}{60}}=12$ millas por hora.

Esta diferencia es $36-12=24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Naomi traveled $6$ miles in $10$ minutes, so her average speed was $\dfrac{6}{\frac{10}{60}}=36$ miles per hour.

Maya traveled $6$ miles in $30$ minutes, so her average speed was $\dfrac{6}{\frac{30}{60}}=12$ miles per hour.

This difference is $36-12=24.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Para un entero positivo $n,$ la notación factorial $n!$ representa el producto de los enteros desde $n$ hasta $1.$ Por ejemplo:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

¿Qué valor de $N$ satisface la siguiente ecuación?

$5! \times 9! = 12 \times N!$

For a positive integer $n,$ the factorial notation $n!$ represents the product of the integers from $n$ to $1.$ For example:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

What value of $N$ satisfies the following equation?

$5! \times 9! = 12 \times N!$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: A

Conceptos:factorial

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Cancela el factor $12$ de $5!$

Cancel the factor $12$ from $5!$

Pista grande:

Reescribe $5!$ para que el factor $12$ se cancele limpiamente

Rewrite $5!$ so the factor $12$ cancels cleanly

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $5!=120=12\cdot10,$ la ecuación se convierte en $12\cdot10\cdot9!=12\cdot N!.$ Al cancelar $12$ , obtenemos $N!=10\cdot9!=10!,$ así que $N=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $5!=120=12\cdot10,$ the equation becomes $12\cdot10\cdot9!=12\cdot N!.$ Canceling $12$ gives $N!=10\cdot9!=10!,$ so $N=10.$

Thus, the correct answer is A.

13.

Jamal tiene un cajón con $6$ calcetines verdes, $18$ calcetines morados y $12$ calcetines naranjas. Después de agregar más calcetines morados, Jamal notó que ahora hay una probabilidad del $60\%$ de que un calcetín seleccionado al azar del cajón sea morado. ¿Cuántos calcetines morados agregó Jamal?

Jamal has a drawer containing $6$ green socks, $18$ purple socks, and $12$ orange socks. After adding more purple socks, Jamal noticed that there is now a $60\%$ chance that a sock randomly selected from the drawer is purple. How many purple socks did Jamal add?

$6$

$9$

$12$

$18$

$24$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Los calcetines no morados se quedan en $18$

The non-purple socks stay at $18$

Pista grande:

Si morado es $60\%$ , no morado es $40\%$

If purple is $60\%$ , non-purple is $40\%$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supón que Jamal agrega $s$ calcetines morados. Entonces, habrá $s+18$ calcetines morados.

Además, como al principio hay $36$ calcetines en total, tenemos $s+36$ calcetines después de agregar los calcetines.

Como después tenemos una probabilidad del $60\%$ de elegir un calcetín morado, sabemos que $\dfrac{s+18}{s+36}=0.6.$

Resolviendo para $s$ se obtiene: $\begin{align*}s+18 &= 0.6s+21.6 \\ 0.4s &= 3.6\\ s &= 9.\end{align*}$

Por lo tanto, se agregan $9$ calcetines.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Suppose Jamal adds $s$ purple socks. Then, there will be $s+18$ purple socks.

Also, since there are $36$ total socks to begin with, we have $s+36$ socks after adding the socks.

Since we have a $60\%$ chance of choosing a purple sock afterwards, we know $\dfrac{s+18}{s+36}=0.6.$

Solving for $s$ yields: $\begin{align*}s+18 &= 0.6s+21.6 \\ 0.4s &= 3.6\\ s &= 9.\end{align*}$

Therefore, $9$ socks are added.

Thus, the correct answer is B.

14.

Hay $20$ ciudades en el Condado de Newton. Sus poblaciones se muestran en el gráfico de barras de abajo. La población promedio de todas las ciudades está indicada por la línea horizontal discontinua. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la población total de las $20$ ciudades?

There are $20$ cities in the County of Newton. Their populations are shown in the bar chart below. The average population of all the cities is indicated by the horizontal dashed line. Which of the following is closest to the total population of all $20$ cities?

$65{,}000$

$75{,}000$

$85{,}000$

$95{,}000$

$105{,}000$

Respuesta: D

Conceptos:media interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

La línea discontinua está justo por debajo de $5000$

The dashed line is just under $5000$

Pista grande:

Población total = población promedio por $20$

Total population = average population times $20$

Solución en video:

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Solución escrita:

Mirando la línea horizontal discontinua, la población promedio es de alrededor de $4750.$

Como hay $20$ ciudades, la población total es aproximadamente $20\cdot4750=95{,}000.$

Por lo tanto, la población total es aproximadamente $95{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Looking at the horizontal dashed line, the average population is around $4750.$

Since there are $20$ cities, the total population is approximately $20\cdot4750=95{,}000.$

Therefore, the total population is approximately $95{,}000.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Supón que $15\%$ de $x$ es igual a $20\%$ de $y.$ ¿Qué porcentaje de $x$ es $y$ ?

Suppose $15\%$ of $x$ equals $20\%$ of $y.$ What percentage of $x$ is $y?$

$5$

$35$

$75$

$133 \frac{1}{3}$

$300$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Traduce la oración como $0.15x=0.20y$

Translate the sentence as $0.15x=0.20y$

Pista grande:

Despeja $\frac{y}{x}$

Solve for $\frac{y}{x}$

Solución en video:

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Solución escrita:

El enunciado da $0.15x=0.20y.$

Despejando $y$ se obtiene $y=\dfrac{0.15}{0.20}x=\dfrac{3}{4}x.$

Por lo tanto, $y$ es $75\%$ de $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The statement gives $0.15x=0.20y.$

Solving for $y$ gives $y=\dfrac{0.15}{0.20}x=\dfrac{3}{4}x.$

Therefore, $y$ is $75\%$ of $x.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Cada uno de los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ y $F$ en la figura de abajo representa un dígito diferente del $1$ al $6.$ Cada una de las cinco líneas mostradas pasa por algunos de estos puntos. Los dígitos a lo largo de cada línea se suman para producir cinco sumas, una por cada línea. El total de las cinco sumas es $47.$ ¿Cuál es el dígito representado por $B$ ?

Each of the points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ in the figure below represents a different digit from $1$ to $6.$ Each of the five lines shown passes through some of these points. The digits along each line are added to produce five sums, one for each line. The total of the five sums is $47.$ What is the digit represented by $B?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:doble conteo sumatoria

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

La mayoría de los puntos se cuentan dos veces en las cinco sumas de líneas

Most points are counted twice in the five line sums

Pista grande:

El punto $B$ se cuenta una vez adicional

Point $B$ is counted one extra time

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada punto aparece en dos de las sumas de línea, excepto $B,$ que aparece en tres. Por tanto, el total de las cinco sumas es el doble de la suma de los seis dígitos, más una copia adicional de $B.$

Los dígitos son exactamente $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6,$ cuya suma es $21.$ Por lo tanto, $2\cdot21+B=47,$ así que $B=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Every point is counted in two of the line sums except $B,$ which is counted in three. Thus the total of the five line sums is twice the sum of all six digits, plus one extra $B.$

The digits are exactly $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6,$ whose sum is $21.$ Therefore $2\cdot21+B=47,$ so $B=5.$

Thus, the correct answer is E.

17.

¿Cuántos factores de $2020$ tienen más de $3$ factores? (Como ejemplo, $12$ tiene $6$ factores, a saber $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ y $12.$ )

How many factors of $2020$ have more than $3$ factors? (As an example, $12$ has $6$ factors, namely $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ and $12.$ )

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Enumera o factoriza los divisores de $2020$

List or factor the divisors of $2020$

Pista grande:

Solo $1$ , los primos y $4$ tienen a lo sumo $3$ factores

Only $1$ , primes, and $4$ have at most $3$ factors

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $2020=2^2\cdot5\cdot101,$ tiene $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ divisores positivos.

Entre esos divisores, solo $1$ y los primos $2,$ $5,$ y $101$ tienen menos de tres divisores, mientras que $4$ tiene exactamente tres. Por lo tanto, los otros $12-5=7$ divisores tienen más de tres divisores.

Así, la respuesta correcta es B.

Since $2020=2^2\cdot5\cdot101,$ it has $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ positive factors.

Among those factors, only $1$ and the primes $2,$ $5,$ and $101$ have fewer than three factors, while $4$ has exactly three. The other $12-5=7$ factors therefore have more than three factors.

Thus, the correct answer is B.

18.

El rectángulo $ABCD$ está inscrito en un semicírculo con diámetro $\overline{FE},$ como se muestra en la figura. Sea $DA=16,$ y sea $FD=AE=9.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Rectangle $ABCD$ is inscribed in a semicircle with diameter $\overline{FE},$ as shown in the figure. Let $DA=16,$ and let $FD=AE=9.$ What is the area of $ABCD?$

$240$

$248$

$256$

$264$

$272$

Respuesta: A

Conceptos:círculo Teorema de Pitágoras rectángulo

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

El diámetro es $9+16+9$

The diameter is $9+16+9$

Pista grande:

Usa el radio y la mitad de la base del rectángulo en un triángulo rectángulo

Use the radius and half the rectangle base in a right triangle

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $FE$ es el diámetro del semicírculo, sabemos que la longitud del diámetro es $34,$ y por lo tanto el radio es $17.$ Sea $O$ el centro del diámetro.

La longitud de $OF$ es por lo tanto $17.$

Como $D$ está sobre $OF,$ sabemos que $\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}$

Además, como tenemos un semicírculo, sabemos que $OC = 17.$

Finalmente, como $ABCD$ es un rectángulo, sabemos que $\angle ODC$ es un ángulo recto. Esto significa que podemos hallar $DC$ por el Teorema de Pitágoras. Sabemos que $\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}$

Así, el área del rectángulo es $DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $FE$ is the diameter of the semicircle, we know the length of the diameter is $34,$ and so the radius is $17.$ Let $O$ be the center of the diameter.

The length from $OF$ therefore is $17.$

Since $D$ is on $OF,$ we know $\begin{align*} OD + FD &= OF\\ OD + 9 &= 17 \\ OD &= 8. \end{align*}$

Also, since we have a semicircle, we know $OC = 17.$

Finally, since $ABCD$ is a rectangle, we know $\angle ODC$ is a right angle. This means we can find $DC$ by the Pythagorean Theorem. We know $\begin{align*} OD^2+DC^2&=OC^2 \\ 8^2+DC^2 &= 17^2 \\ DC &= 15. \end{align*}$

Thus, the area of the rectangle is $DC\cdot DA = 15\cdot 16=240.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Un número se llama flippy si sus dígitos se alternan entre dos dígitos distintos. Por ejemplo, $2020$ y $37373$ son flippy, pero $3883$ y $123123$ no lo son. ¿Cuántos números flippy de cinco dígitos son divisibles entre $15$ ?

A number is called flippy if its digits alternate between two distinct digits. For example, $2020$ and $37373$ are flippy, but $3883$ and $123123$ are not. How many five-digit flippy numbers are divisible by $15?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Un número flippy de cinco dígitos tiene la forma $ABABA$

A five-digit flippy number has form $ABABA$

Pista grande:

La divisibilidad entre $5$ obliga a $A=5$

Divisibility by $5$ forces $A=5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Un número flippy de cinco cifras tiene la forma $ABABA,$ donde $A\ne0$ y $A\ne B.$ La divisibilidad entre $5$ exige que la última cifra $A$ sea $0$ o $5.$ Como $A\ne0,$ debe cumplirse $A=5.$

El número tiene entonces la forma $5B5B5.$ La suma de sus cifras es $15+2B,$ así que la divisibilidad entre $3$ exige que $B$ sea múltiplo de $3.$ Las posibilidades son $B=0,$ $B=3,$ $B=6,$ y $B=9,$ que dan $4$ números.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A five-digit flippy number has the form $ABABA,$ where $A\ne0$ and $A\ne B.$ Divisibility by $5$ requires the last digit $A$ to be $0$ or $5.$ Since $A\ne0,$ we must have $A=5.$

The number therefore has the form $5B5B5.$ Its digit sum is $15+2B,$ so divisibility by $3$ requires $B$ to be a multiple of $3.$ The possibilities are $B=0,$ $B=3,$ $B=6,$ and $B=9,$ giving $4$ numbers.

Thus, the correct answer is B.

20.

Una científica que caminaba por un bosque registró como enteros las alturas de $5$ árboles alineados en una fila. Observó que cada árbol era o bien el doble de alto o bien la mitad de alto que el que estaba a su derecha. Desafortunadamente, parte de sus datos se perdió cuando la lluvia cayó sobre su cuaderno. Sus notas se muestran abajo, con los espacios en blanco indicando los números faltantes. Basándose en sus observaciones, la científica pudo reconstruir los datos perdidos. ¿Cuál fue la altura promedio de los árboles, en metros?

$\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}$

A scientist walking through a forest recorded as integers the heights of $5$ trees standing in a row. She observed that each tree was either twice as tall or half as tall as the one to its right. Unfortunately some of her data was lost when rain fell on her notebook. Her notes are shown below, with blanks indicating the missing numbers. Based on her observations, the scientist was able to reconstruct the lost data. What was the average height of the trees, in meters?

$\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}$

$22.2$

$24.2$

$33.2$

$35.2$

$37.2$

Respuesta: B

Conceptos:análisis por casos media

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Las alturas enteras obligan a que los vecinos de $11$ sean $22$

Integer heights force the neighbors of $11$ to be $22$

Pista grande:

El promedio que termina en $0.2$ significa que el total termina en $1$ módulo $5$

The average ending in $0.2$ means the total ends in $1$ mod $5$

Solución en video:

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Solución escrita:

El árbol $2$ mide $11$ metros. Como todas las alturas son enteras y los árboles vecinos difieren por un factor de $2,$ los árboles $1$ y $3$ deben medir ambos $22$ metros.

Los primeros tres árboles suman $22+11+22=55$ metros. Los pares de alturas enteras posibles para los árboles $4$ y $5$ son $(11,22),$ $(44,22),$ y $(44,88).$

Estos pares dan los promedios $17.6,$ $24.2,$ y $37.4,$ respectivamente. El cuaderno muestra que el promedio termina en $0.2,$ así que debe ser $24.2.$

Así, la respuesta correcta es B.

Tree $2$ is $11$ meters tall. Since all heights are integers and neighboring trees differ by a factor of $2,$ trees $1$ and $3$ must both be $22$ meters tall.

The first three trees total $22+11+22=55$ meters. The possible integer pairs for trees $4$ and $5$ are $(11,22),$ $(44,22),$ and $(44,88).$

These give averages $17.6,$ $24.2,$ and $37.4,$ respectively. The notebook shows that the average ends in $0.2,$ so it must be $24.2.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Un tablero de juego consta de $64$ casillas que se alternan entre sombreadas y no sombreadas. La figura de abajo muestra la casilla $P$ en la fila inferior y la casilla $Q$ en la fila superior. Se coloca un marcador en $P.$ Un paso consiste en mover el marcador a una de las casillas no sombreadas contiguas de la fila superior. ¿Cuántos caminos de $7$ pasos hay desde $P$ hasta $Q$ ? (La figura muestra un camino de ejemplo.)

A game board consists of $64$ squares that alternate between shaded and unshaded. The figure below shows square $P$ in the bottom row and square $Q$ in the top row. A marker is placed at $P.$ A step consists of moving the marker onto one of the adjoining unshaded squares in the row above. How many $7$ -step paths are there from $P$ to $Q?$ (The figure shows a sample path.)

$28$

$30$

$32$

$33$

$35$

Respuesta: A

Conceptos:caminos reticulares Triángulo de Pascal

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Cada movimiento sube una fila y una columna a la izquierda o a la derecha

Each move goes one row up and one column left or right

Pista grande:

Suma los conteos de caminos de las dos casillas contiguas de abajo

Add path counts from the two adjoining squares below

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada movimiento debe subir una fila y ser hacia la izquierda o hacia la derecha. Contando fila por fila desde $P,$ cada casilla alcanzable obtiene la suma de los conteos de las dos casillas contiguas de abajo.

El conteo en $Q$ es $28,$ así que hay $28$ caminos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each move must go up one row and either left or right. Counting row by row from $P,$ each reachable square gets the sum of the counts from the two adjoining squares below it.

The count at $Q$ is $28,$ so there are $28$ paths.

Thus, the correct answer is A.

22.

Cuando un entero positivo $N$ se introduce en una máquina, la salida es un número calculado según la regla que se muestra abajo.

Por ejemplo, comenzando con una entrada de $N=7,$ la máquina dará como salida $3 \cdot 7 + 1 = 22.$ Luego, si la salida se introduce repetidamente en la máquina cinco veces más, la salida final es $26:$ $\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}$ Cuando el mismo proceso de $6$ pasos se aplica a un valor inicial diferente de $N,$ la salida final es $1.$ ¿Cuál es la suma de todos esos enteros $N$ ? $\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}$

When a positive integer $N$ is fed into a machine, the output is a number calculated according to the rule shown below.

For example, starting with an input of $N=7,$ the machine will output $3 \cdot 7 + 1 = 22.$ Then if the output is repeatedly inserted into the machine five more times, the final output is $26.$ $\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}$ When the same $6$ -step process is applied to a different starting value of $N,$ the final output is $1.$ What is the sum of all such integers $N?$ $\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}$

$73$

$74$

$75$

$82$

$83$

Respuesta: E

Conceptos:trabajar hacia atrás diagrama de árbol

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde la salida final $1$

Work backward from the final output $1$

Pista grande:

Un valor anterior puede ser $2m$ , y a veces $\frac{m-1}{3}$

A previous value can be $2m$ , and sometimes $\frac{m-1}{3}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Trabajemos hacia atrás desde $1.$ Un valor $m$ siempre puede provenir de la entrada par $2m.$ También puede provenir de la entrada impar $\frac{m-1}{3}$ cuando esta expresión es un entero impar positivo.

Al enumerar los valores posibles después de cada paso hacia atrás se obtiene $\begin{aligned} \{1\}&\leftarrow\{2\}\leftarrow\{4\}\leftarrow\{1,8\}\\ &\leftarrow\{2,16\}\leftarrow\{4,5,32\}\\ &\leftarrow\{1,8,10,64\}. \end{aligned}$ Por tanto, los valores iniciales posibles son $1,$ $8,$ $10,$ y $64,$ cuya suma es $83.$

Así, la respuesta correcta es E.

Work backward from $1.$ A value $m$ can always come from the even input $2m.$ It can also come from the odd input $\frac{m-1}{3}$ when that expression is a positive odd integer.

Listing the possible values after each backward step gives $\begin{aligned} \{1\}&\leftarrow\{2\}\leftarrow\{4\}\leftarrow\{1,8\}\\ &\leftarrow\{2,16\}\leftarrow\{4,5,32\}\\ &\leftarrow\{1,8,10,64\}. \end{aligned}$ Thus the possible starting values are $1,$ $8,$ $10,$ $64,$ whose sum is $83.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Se van a dar cinco premios diferentes a tres estudiantes. Cada estudiante recibirá al menos un premio. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir los premios?

Five different awards are to be given to three students. Each student will receive at least one award. In how many different ways can the awards be distributed?

$120$

$150$

$180$

$210$

$240$

Respuesta: B

Conceptos:inclusión-exclusión principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Comienza con $3^5$ distribuciones sin restricciones

Start with $3^5$ unrestricted distributions

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión para los estudiantes que no reciben premios

Use inclusion-exclusion for students receiving no awards

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $3^5=243$ maneras de dar cada uno de los $5$ premios distintos a uno de los $3$ estudiantes.

Resta las distribuciones en las que al menos un estudiante no recibe ningún premio. Si un estudiante en particular no recibe ninguno, los premios van a los otros dos estudiantes de $2^5$ maneras. Esto da $3\cdot2^5$ conteos, pero los $3$ casos en los que un estudiante recibe todos los premios se han restado dos veces cada uno.

Por inclusión-exclusión, el número buscado es $3^5-3\cdot2^5+3=150.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $3^5=243$ ways to give each of the $5$ distinct awards to one of the $3$ students.

Subtract the distributions in which at least one student receives no award. If a particular student receives none, the awards go to the other two students in $2^5$ ways. This gives $3\cdot2^5$ counts, but the $3$ cases in which one student receives all awards have each been subtracted twice.

By inclusion-exclusion, the desired number is $3^5-3\cdot2^5+3=150.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Una región cuadrada grande está pavimentada con $n^2$ baldosas cuadradas sombreadas, cada una de $s$ pulgadas por lado. Un borde de $d$ pulgadas de ancho rodea cada baldosa. La figura de abajo muestra el caso para $n=3.$ Cuando $n=24,$ las $576$ baldosas sombreadas cubren el $64\%$ del área de la región cuadrada grande. ¿Cuál es la razón $\frac{d}{s}$ para este valor más grande de $n$ ?

A large square region is paved with $n^2$ shaded square tiles, each measuring $s$ inches on a side. A border $d$ inches wide surrounds each tile. The figure below shows the case for $n=3.$ When $n=24,$ the $576$ shaded tiles cover $64\%$ of the area of the large square region. What is the ratio $\frac{d}{s}$ for this larger value of $n?$

$\dfrac{6}{25}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{9}{16}$

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

El lado grande mide $24s+25d$

The large side length is $24s+25d$

Pista grande:

Compara el área sombreada $24^2s^2$ con el área total

Compare shaded area $24^2s^2$ with total area

Solución en video:

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Solución escrita:

Para $n=24,$ el área de las baldosas sombreadas es $24^2s^2.$ Cada lado del cuadrado grande consta de $24$ baldosas y $25$ bordes, así que su longitud de lado es $24s+25d.$

Las baldosas sombreadas cubren $64\%=\dfrac{16}{25}$ del cuadrado grande, así que $\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.$ Tomando raíces cuadradas positivas se obtiene $\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.$

Así $120s=96s+100d,$ por lo que $24s=100d$ y $\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $n=24,$ the shaded tile area is $24^2s^2.$ Each side of the large square consists of $24$ tiles and $25$ borders, so its side length is $24s+25d.$

The shaded tiles cover $64\%=\dfrac{16}{25}$ of the large square, so $\dfrac{24^2s^2}{(24s+25d)^2}=\dfrac{16}{25}.$ Taking positive square roots gives $\dfrac{24s}{24s+25d}=\dfrac{4}{5}.$

Thus $120s=96s+100d,$ so $24s=100d$ and $\dfrac{d}{s}=\dfrac{6}{25}.$

Thus, the correct answer is A.

25.

Los rectángulos $R_1$ y $R_2,$ y los cuadrados $S_1,$ $S_2,$ y $S_3,$ que se muestran abajo, se combinan para formar un rectángulo de $3322$ unidades de ancho y $2020$ unidades de alto. ¿Cuál es la longitud del lado de $S_2$ en unidades?

Rectangles $R_1$ and $R_2,$ and squares $S_1,$ $S_2,$ and $S_3,$ shown below, combine to form a rectangle that is $3322$ units wide and $2020$ units high. What is the side length of $S_2$ in units?

$651$

$655$

$656$

$662$

$666$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones rectángulo

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sean las longitudes de los lados de los cuadrados $s_1,s_2,s_3$

Let the square side lengths be $s_1,s_2,s_3$

Pista grande:

Resta la ecuación de la altura de la ecuación del ancho

Subtract the height equation from the width equation

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $s_1,s_2,s_3$ las longitudes de los lados de los tres cuadrados. A lo largo del ancho del rectángulo grande, $s_1+s_2+s_3=3322.$

La altura de $R_2$ es $s_1-s_2,$ así que la altura total es $s_1-s_2+s_3=2020.$ Al restar la ecuación de la altura de la ecuación del ancho se obtiene $2s_2=1302,$ y por tanto $s_2=651.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let $s_1,s_2,s_3$ be the side lengths of the three squares. Across the width of the large rectangle, $s_1+s_2+s_3=3322.$

The height of $R_2$ is $s_1-s_2,$ so the total height is $s_1-s_2+s_3=2020.$ Subtracting the height equation from the width equation gives $2s_2=1302,$ so $s_2=651.$

Thus, the correct answer is A.

Problemas del 2020 AMC 8

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D