Question

El diagrama muestra un octágono formado por $10$ cuadrados unitarios. La parte por debajo de $\overline{PQ}$ es un cuadrado unitario y un triángulo de base $5.$ Si $\overline{PQ}$ biseca el área del octágono, ¿cuál es la razón $\dfrac{XQ}{QY}$ ?

The diagram shows an octagon consisting of $10$ unit squares. The portion below $\overline{PQ}$ is a unit square and a triangle with base $5.$ If $\overline{PQ}$ bisects the area of the octagon, what is the ratio $\dfrac{XQ}{QY}?$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Solución:

Como $PQ$ biseca el área, el área bajo la recta es $5.$ Al quitar el cuadrado de la derecha, la parte inferior queda como un triángulo de base $5$ con área $4.$ Sea la base de este triángulo $PZ.$

Que el área sea $4$ significa $\dfrac{(PZ)(ZQ)}{2}=\frac{5(ZQ)}{2} = 4$ $\implies ZQ = 1.6.$

Por lo tanto, $QY = QZ-1 = 0.6$ y $XQ = 2-QZ = 0.4.$ Esto hace que $\dfrac{XQ}{QY} = \dfrac {0.4}{0.6} = \dfrac 23.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Since $PQ$ bisects the area, the area under the line is $5.$ Removing the square on the right makes the bottom a triangle of base $5$ with area $4.$ Let the base of this triangle be $PZ.$

The area being $4$ means $\dfrac{(PZ)(ZQ)}{2}=\frac{5(ZQ)}{2} = 4$ $\implies ZQ = 1.6.$

Therefore, $QY = QZ-1 = 0.6$ and $XQ = 2-QZ = 0.4.$ This would make $\dfrac{XQ}{QY} = \dfrac {0.4}{0.6} = \dfrac 23.$

Thus, the answer is D .

2010 AMC 8 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años