Soluciones del 2010 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En la Escuela Secundaria Euclides, los profesores de matemáticas son la señorita Germain, el señor Newton y la señora Young. Este año hay $11$ estudiantes de la clase de la señorita Germain, $8$ de la clase del señor Newton y $9$ de la clase de la señora Young que participan en la competencia AMC $8$ . ¿Cuántos estudiantes de la Escuela Secundaria Euclides participan en la competencia?

At Euclid Middle School the mathematics teachers are Miss Germain, Mr. Newton, and Mrs. Young. There are $11$ students in Miss Germain’s class, $8$ students in Mr. Newton’s class, and $9$ students in Mrs. Young’s class taking the AMC $8$ Contest this year. How many mathematics students at Euclid Middle School are taking the contest?

$\ 26$

$\ 27$

$\ 28$

$\ 29$

$\ 30$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

No se describe ningún solapamiento entre las clases, así que el total es una suma directa

No class overlap is described, so the total is a direct sum.

Pista grande:

Suma la cantidad de estudiantes de las tres clases

Add the three class counts.

Solución:

El total de estudiantes es $11+8+9 = 28$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

There are $11+8+9 = 28$ students.

Therefore, the answer is C .

2.

Para enteros positivos $a,$ $b$ , se define $a \ast b = \dfrac{a\times b}{a+b}$ . Entonces, ¿cuánto vale $5 \ast 10$ ?

If $a \ast b = \dfrac{a\times b}{a+b}$ for $a,$ $b$ positive integers, then what is $5 \ast 10?$

$\ \dfrac{3}{10}$

$\ 1$

$\ 2$

$\ \dfrac{10}{3}$

$\ 50$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 610

Pista pequeña:

Después de sumar el denominador, simplifica $\frac{50}{15}$

Reduce $\frac{50}{15}$ after adding the denominator.

Pista grande:

Sustituye los dos números dados en la definición de $a\ast b$

Substitute the two given numbers into the definition of $a\ast b$ .

Solución:

Según la definición de $a\ast b,$ tenemos $5 \ast 10 = \dfrac{5 \times 10}{5 + 10} = \dfrac{50}{15} = \dfrac{10}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Given our definition of $a\ast b,$ we have $5 \ast 10 = \dfrac{5 \times 10}{5 + 10} = \dfrac{50}{15} = \dfrac{10}{3}.$

Thus, the answer is D .

3.

La gráfica muestra el precio de cinco galones de gasolina durante los primeros diez meses del año. ¿En qué porcentaje es mayor el precio más alto que el precio más bajo?

The graph shows the price of five gallons of gasoline during the first ten months of the year. By what percent is the highest price more than the lowest price?

$\ 50$

$\ 62$

$\ 70$

$\ 89$

$\ 100$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 790

Pista pequeña:

Un porcentaje mayor significa el aumento dividido entre el precio más bajo

Percent more means the increase divided by the lowest price.

Pista grande:

Lee del gráfico las alturas de las barras más alta y más baja

Read the highest and lowest bar heights from the graph.

Solución:

El precio más alto es $17$ y el más bajo es $10.$ Esto significa que el porcentaje es $(\dfrac{17}{10}-1)\cdot 100 = 70.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

The highest price is $17$ and the lowest price is $10.$ This means the percent is $(\dfrac{17}{10}-1)\cdot 100 = 70.$

Thus, the answer is C .

4.

¿Cuál es la suma de la media, la mediana y la moda de los números $2,$ $3,$ $0,$ $3,$ $1,$ $4,$ $0,$ $3$ ?

What is the sum of the mean, median, and mode of the numbers $2,$ $3,$ $0,$ $3,$ $1,$ $4,$ $0,$ $3?$

$\ 6.5$

$\ 7$

$\ 7.5$

$\ 8.5$

$\ 9$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

La media usa los ocho números, mientras que la mediana usa los dos números centrales

The mean uses all eight numbers, while the median uses the two middle numbers.

Pista grande:

Ordena la lista de menor a mayor antes de hallar la mediana y la moda

Put the list in increasing order before finding the median and mode.

Solución:

La lista reordenada es $0,0,1,2,3,3,3,4.$

La mediana es la media de los dos números centrales, que sería $\dfrac{2+3}2 = 2.5.$ La moda es $3$ , ya que $3$ es el que más aparece. La media es $\dfrac{0+0+1+2+3+3+3+4}{8}$ $= \dfrac{16}{8} = 2.$

Su suma es $2.5+3+2 = 7.5.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

The list reordered is $0,0,1,2,3,3,3,4.$

The median is the mean of the middle two numbers, which would be $\dfrac{2+3}2 = 2.5.$ The mode is $3$ since $3$ appears the most. The mean is $\dfrac{0+0+1+2+3+3+3+4}{8}$ $= \dfrac{16}{8} = 2.$

Their sum is $2.5+3+2 = 7.5.$

Thus, the answer is C .

5.

Alice necesita reemplazar un foco ubicado $10$ centímetros por debajo del techo de su cocina. El techo está a $2.4$ metros del suelo. Alice mide $1.5$ metros de altura y puede alcanzar $46$ centímetros por encima de su cabeza. Parada sobre un banquito, apenas logra alcanzar el foco. ¿Cuál es la altura del banquito, en centímetros?

Alice needs to replace a light bulb located $10$ centimeters below the ceiling in her kitchen. The ceiling is $2.4$ meters above the floor. Alice is $1.5$ meters tall and can reach $46$ centimeters above the top of her head. Standing on a stool, she can just reach the light bulb. What is the height of the stool, in centimeters?

$\ 32$

$\ 34$

$\ 36$

$\ 38$

$\ 40$

Conceptos:conversión de unidades

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

El banquito cubre la diferencia restante después de la altura de Alice, su alcance y el desfase del foco

The stool covers the remaining gap after Alice’s height, reach, and the bulb offset.

Pista grande:

Primero convierte la altura del techo y la de Alice a centímetros

Convert the ceiling and Alice’s height to centimeters first.

Solución:

Sabemos que la altura del techo es $2.4 \cdot 100 = 240$ cm. Restando todos los valores dados, obtenemos $240 - 150 - 46 - 10 = 34.$ Por lo tanto, la altura del banquito es $34$ cm. Así, B es la respuesta correcta.

We know the height of the ceiling is $2.4 \cdot 100 = 240$ cm. Subtracting out all the given values, we get $240 - 150 - 46 - 10 = 34.$ Therefore, the height of the stool is $34$ cm. Thus, B is the correct answer.

6.

¿Cuál de las siguientes figuras tiene el mayor número de ejes de simetría?

Which of the following figures has the greatest number of lines of symmetry?

triángulo equilátero

equilateral triangle

rombo que no es cuadrado

non-square rhombus

rectángulo que no es cuadrado

non-square rectangle

trapecio isósceles

isosceles trapezoid

cuadrado

square

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Un cuadrado tiene tanto ejes de simetría diagonales como ejes que unen puntos medios

A square has both diagonal and midpoint-to-midpoint symmetry lines.

Pista grande:

Cuenta los ejes de reflexión de cada figura nombrada

Count reflection lines for each named shape.

Solución:

Primero, cada eje de simetría debe pasar por el centro de la figura. Esto asegura que el centro no quede solo en un lado, lo que la haría asimétrica.

Luego, si un eje pasa por algún lado, debe pasar por su punto medio, para asegurar que, tras una reflexión sobre este eje, la misma porción del lado quede a ambos lados. Además, debe ser perpendicular, para asegurar que el eje, al reflejarse, quede sobre sí mismo.

De forma similar, si un eje pasa por algún vértice, debe pasar por la bisectriz de ese ángulo, para asegurar que, tras una reflexión sobre este eje, el ángulo sea el mismo después de la reflexión. Además, debe tener la misma longitud de lado a ambos lados.

Ahora, observemos cada una de las figuras. Un triángulo equilátero tiene $3$ ejes que pasan por un vértice o un punto medio, así que tiene a lo sumo $3$ ejes de simetría. Un rombo que no es cuadrado solo tiene dos ejes de simetría, ya que solo funcionan los ejes que pasan por los vértices, pero no los que pasan por los puntos medios, pues no se cruzarían perpendicularmente. Un rectángulo que no es cuadrado solo tiene dos ejes de simetría, pues tiene ejes que pasan por los puntos medios de lados opuestos, pero no por los vértices, ya que no bisecan el ángulo. Un trapecio isósceles solo tiene $1$ eje de simetría, que pasa por los puntos medios de lados opuestos. Un cuadrado tiene $4$ ejes de simetría, que pasan por vértices opuestos y por puntos medios opuestos.

Por lo tanto, un cuadrado tiene la mayor cantidad de ejes de simetría.

Por lo tanto, la respuesta es E.

First, each line of symmetry must go through the center of the shape. This would ensure that the center of the shape isn’t on only one side, as that would make it asymmetric.

Next, if a line goes through any side, it must go through its midpoint, to ensure that after a reflection over this line, the same amount of the line is on both sides. Moreover, it must be perpendicular, to ensure that the line when reflected stays on itself.

Similarly, if a line goes through any corner, it must go through its angle bisector, to ensure that after a reflection over this line, the angle of the line is the same after reflection. Moreover, it must have the same side length on both sides.

Now, let’s look at each of the shapes. An equilateral triangle has $3$ lines that intersect a corner or a midpoint, so it has at most $3$ symmetry lines. A non-square rhombus only has two symmetry lines, as only the lines that go through the corners work, but not the ones through the midpoints as they would not intersect perpendicularly. A non-square rectangle only has two symmetry lines as it has symmetry lines through the midpoints of opposite sides, but not through the corners since it doesn’t bisect the angle. An isosceles trapezoid only has $1$ symmetry line, that goes through the midpoints of opposite sides. A square has $4$ symmetry lines, which go through opposite corners and opposite midpoints.

A square therefore has the most symmetry lines.

Thus, the answer is E .

7.

Solo usando monedas de un centavo, cinco centavos, diez centavos y veinticinco centavos, ¿cuál es el menor número de monedas que Freddie necesitaría para poder pagar cualquier cantidad de dinero menor que un dólar?

Using only pennies, nickels, dimes, and quarters, what is the smallest number of coins Freddie would need so he could pay any amount of money less than a dollar?

$\ 6$

$\ 10$

$\ 15$

$\ 25$

$\ 99$

Conceptos:dinero optimización

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Después de poder formar todas las cantidades hasta $24$ centavos, las monedas de veinticinco centavos pueden extender el rango hasta $99$ centavos

After making every amount through $24$ cents, quarters can extend the range to $99$ cents.

Pista grande:

Primero fija las monedas necesarias para formar cantidades pequeñas como $4$ , $9$ y $24$ centavos

First force the coins needed to make small amounts like $4$ , $9$ , and $24$ cents.

Solución:

Se necesitan al menos cuatro monedas de un centavo para pagar $4$ centavos. Después de esas cuatro monedas, la siguiente debe valer como máximo $5$ centavos para poder pagar $5$ centavos; una moneda de cinco centavos es la mejor opción. Esas cinco monedas suman solo $9$ centavos. La siguiente moneda debe valer como máximo $10$ centavos, e incluso una moneda de diez centavos eleva el total solo a $19$ centavos. Por tanto, hace falta otra moneda de valor máximo $20$ centavos, de modo que se necesitan al menos siete monedas antes de usar monedas de veinticinco centavos sin dejar un hueco.

Con solo nueve monedas, quedarían como máximo dos después de las siete necesarias. Las primeras siete pueden sumar como máximo $4+5+10+10=29$ centavos, y dos monedas más de veinticinco centavos elevarían el total solo a $79$ centavos. Por eso, nueve monedas no pueden pagar todas las cantidades hasta $99$ centavos.

Diez monedas sí funcionan: cuatro monedas de un centavo, una de cinco, dos de diez y tres de veinticinco pueden formar todas las cantidades desde $1$ hasta $99$ centavos. Por tanto, el mínimo es $10$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

At least four pennies are necessary to pay $4$ cents. After those four pennies, the next coin must be worth at most $5$ cents so that $5$ cents can be paid; a nickel is the best choice. Those five coins total only $9$ cents. The next coin must be worth at most $10$ cents, and even a dime brings the total to only $19$ cents. One more coin worth at most $20$ cents is therefore necessary, so at least seven coins are needed before quarters can be used without leaving a gap.

With only nine coins total, at most two coins could remain after those required seven. The first seven can total at most $4+5+10+10=29$ cents, and two more quarters would bring the total to only $79$ cents, so nine coins cannot pay every amount through $99$ cents.

Ten coins do work: four pennies, one nickel, two dimes, and three quarters can make every amount from $1$ through $99$ cents. Therefore the minimum is $10$ .

Therefore, the answer is B .

8.

Mientras Emily anda en bicicleta por un camino recto y largo, ve a Emerson patinando en la misma dirección $\frac{1}{2}$ milla por delante de ella. Después de rebasarlo, puede verlo por el espejo retrovisor hasta que él queda $\frac{1}{2}$ milla por detrás de ella. Emily anda a una velocidad constante de $12$ millas por hora, y Emerson patina a una velocidad constante de $8$ millas por hora. ¿Durante cuántos minutos puede Emily ver a Emerson?

As Emily is riding her bicycle on a long straight road, she spots Emerson skating in the same direction $\frac{1}{2}$ mile in front of her. After she passes him, she can see him in her rear view mirror until he is $\frac{1}{2}$ mile behind her. Emily rides at a constant rate of $12$ miles per hour, and Emerson skates at a constant rate of $8$ miles per hour. For how many minutes can Emily see Emerson?

$\ 6$

$\ 8$

$\ 12$

$\ 15$

$\ 16$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Durante el intervalo visible, Emily le saca a Emerson un total de $1$ milla

During the visible interval Emily gains a total of $1$ mile on Emerson.

Pista grande:

Usa la velocidad de Emily relativa a la de Emerson

Use Emily’s speed relative to Emerson’s speed.

Solución:

Sea $d$ la distancia que Emily lleva por delante de Emerson. Emily ve a Emerson si $-\dfrac 12 \leq d \leq \frac 12.$ Supongamos que en $t= 0,$ donde $t$ está en horas, se tiene $d = -\frac 12.$ Entonces, $d = (12-8)t - \frac 12 .$ Como debemos hallar cuándo $d = \frac 12,$ buscamos el tiempo en que $\frac 12 = 4t - \frac 12 \implies 1 = 4t$ $\implies t = 0.25.$ Como transcurrieron $0.25$ horas, transcurrieron $60\cdot0.25 = 15$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Let $d$ be how far Emily is ahead of Emerson. Emily sees Emerson if $-\dfrac 12 \leq d \leq \frac 12.$ Suppose at $t= 0,$ where $t$ is in hours, that $d = -\frac 12.$ Then, $d = (12-8)t - \frac 12 .$ Since we must find where $d = \frac 12,$ we find the time where $\frac 12 = 4t - \frac 12 \implies 1 = 4t$ $\implies t = 0.25.$ Since $0.25$ hours passed, we know that $60\cdot0.25 = 15$ minutes passed.

Therefore, the answer is D .

9.

Ryan respondió correctamente el $80\%$ de los problemas en una prueba de $25$ problemas, el $90\%$ en una prueba de $40$ problemas y el $70\%$ en una prueba de $10$ problemas. ¿Qué porcentaje de todos los problemas respondió correctamente Ryan?

Ryan got $80\%$ of the problems correct on a $25$ -problem test, $90\%$ on a $40$ -problem test, and $70\%$ on a $10$ -problem test. What percent of all the problems did Ryan answer correctly?

$\ 63$

$\ 75$

$\ 80$

$\ 84$

$\ 86$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Divide el total de respuestas correctas entre el número total de problemas

Divide the total correct answers by the total number of problems.

Pista grande:

Convierte el porcentaje de cada prueba en un número de respuestas correctas

Convert each test percentage into a number of correct answers.

Solución:

En total había $25+40+10 = 75$ problemas.

En la primera prueba resolvió $0.8\cdot25 = 20$ problemas.

En la segunda prueba resolvió $0.9\cdot40 = 36$ problemas.

En la tercera prueba resolvió $0.7\cdot10 = 7$ problemas.

Por lo tanto, resolvió un total de $20+36+7=63.$ Esto significa que la fracción que resolvió es $\dfrac{63}{75} = 84\%.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

There were a total of $25+40+10 = 75$ problems.

On the first test, he solved $0.8\cdot25 = 20$ problems.

On the second test, he solved $0.9\cdot40 = 36$ problems.

On the third test, he solved $0.7\cdot10 = 7$ problems.

Therefore, he solved a total of $20+36+7=63.$ This means the fraction he solved is $\dfrac{63}{75} = 84\%.$

Therefore, the answer is D .

10.

Seis círculos de pepperoni caben exactamente a lo largo del diámetro de una pizza de $12$ pulgadas cuando se colocan como se muestra. Si en total se colocan $24$ círculos de pepperoni sobre esta pizza sin superponerse, ¿qué fracción de la pizza queda cubierta por el pepperoni?

Six pepperoni circles will exactly fit across the diameter of a $12$ -inch pizza when placed as shown. If a total of $24$ circles of pepperoni are placed on this pizza without overlap, what fraction of the pizza is covered by pepperoni?

$\ \dfrac 12$

$\ \dfrac 23$

$\ \dfrac 34$

$\ \dfrac 56$

$\ \dfrac 78$

Conceptos:área del círculo razón de áreas escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

El área se escala con el cuadrado del diámetro, luego multiplica por $24$ círculos de pepperoni

Area scales with the square of the diameter, then multiply by $24$ pepperoni circles.

Pista grande:

Seis diámetros pequeños equivalen al diámetro de la pizza

Six small diameters equal the pizza diameter.

Solución:

Cada círculo tiene $\dfrac{1}{6}$ del diámetro del círculo grande, así que tiene $(\frac 16)^2 = \frac 1{36}$ del área total.

Como hay $24$ pepperonis, ocupan $24 \cdot \dfrac 1{36} = \frac 23$ del área.

Por lo tanto, la respuesta es B.

Each circle has $\dfrac{1}{6}$ the diameter of the large circle, so it has $(\frac 16)^2 = \frac 1{36}$ of the total area.

Since there are $24$ pepperoni, they take up $24 \cdot \dfrac 1{36} = \frac 23$ of the area.

Therefore, the answer is B .

11.

La copa de un árbol está $16$ pies más alta que la copa de otro árbol. Las alturas de los dos árboles están en la razón $3:4.$ ¿Cuántos pies mide el árbol más alto?

The top of one tree is $16$ feet higher than the top of another tree. The heights of the two trees are in the ratio $3:4.$ In feet, how tall is the taller tree?

$\ 48$

$\ 64$

$\ 80$

$\ 96$

$\ 112$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

El árbol más alto contiene cuatro de esas partes iguales

The taller tree has four of those equal parts.

Pista grande:

La razón $3:4$ significa que la diferencia de altura es una parte

The ratio $3:4$ means the height difference is one ratio part.

Solución:

Sean $b,$ $s$ las alturas del árbol más grande y del más pequeño respectivamente. Entonces, $b= s+16$ , y $s = 0.75b.$ Al sustituir, obtenemos $b = 0.75b + 16 \implies 0.25b = 16$ $\implies b = 64.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Let $b,$ $s$ be the heights of bigger and smaller trees respectively. Then, $b= s+16$ and $s = 0.75b.$ If we substitute, we get $b = 0.75b + 16 \implies 0.25b = 16$ $\implies b = 64.$

Thus, the answer is B .

12.

De las $500$ bolas en una bolsa grande, el $80\%$ son rojas y el resto azules. ¿Cuántas bolas rojas se deben quitar para que el $75\%$ de las bolas restantes sean rojas?

Of the $500$ balls in a large bag, $80\%$ are red and the rest are blue. How many of the red balls must be removed so that $75\%$ of the remaining balls are red?

$\ 25$

$\ 50$

$\ 75$

$\ 100$

$\ 150$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Si las bolas rojas son el $75\%$ , entonces las azules son el $25\%$ de la bolsa restante

If red balls are $75\%$ , then blue balls are $25\%$ of the remaining bag.

Pista grande:

La cantidad de bolas azules permanece fija

The number of blue balls stays fixed.

Solución:

Si $r$ es el número de bolas rojas, entonces $r = 0.8\cdot500 = 400.$ Por lo tanto, si $b$ es el número de bolas azules, entonces $b = 500-400 = 100.$

Si después de quitar bolas hay un $75\%$ de bolas rojas, entonces hay un $25\%$ de bolas azules. La cantidad de azules no cambia, así que el número total de bolas es $\dfrac{100}{0.25} = 400.$ Esto significa que el número total de bolas disminuyó en $500-400 = 100.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

If $r$ is the number of red balls, then $r = 0.8\cdot500 = 400.$ Therefore, if $b$ is the number of blue balls, then $b = 500-400 = 100.$

If there are $75\%$ red balls after removing balls, then there are $25\%$ blue balls. This means the total number of balls is $\dfrac{100}{0.25} = 400.$ This means the total number of balls decreased by $500-400 = 100.$

Thus, the answer is D .

13.

Las longitudes de los lados de un triángulo en pulgadas son tres enteros consecutivos. La longitud del lado más corto es el $30\%$ del perímetro. ¿Cuál es la longitud del lado más largo?

The lengths of the sides of a triangle in inches are three consecutive integers. The length of the shortest side is $30\%$ of the perimeter. What is the length of the longest side?

$\ 7$

$\ 8$

$\ 9$

$\ 10$

$\ 11$

Conceptos:perímetro ecuación lineal porcentaje

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Usa la condición de que el lado más corto es el $30\%$ del perímetro

Use the condition that the shortest side is $30\%$ of the perimeter.

Pista grande:

Toma las longitudes de los lados como tres enteros consecutivos empezando por el más corto

Let the side lengths be three consecutive integers starting with the shortest.

Solución:

Sea $s$ la longitud más pequeña. Entonces, todas las longitudes de los lados son $s,$ $s+1,$ $s+2.$ Esto hace que el perímetro sea igual a $3s+3.$ Como $s = 0.3(3s+3),$ entonces $s = 0.9s + 0.9 .$ Esto da $0.1s = 0.9,$ así que $s = 9$ , lo que hace que la longitud del lado más largo sea $s + 2 = 11.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

Let $s$ be the smallest length. Then, all the side lengths are $s,$ $s+1,$ $s+2.$ This would make the perimeter equal to $3s+3.$ Since $s = 0.3(3s+3),$ then $s = 0.9s + 0.9 .$ This makes $0.1s = 0.9,$ so $s = 9$ which makes the longest side length $s + 2 = 11.$

Thus, the answer is E .

14.

¿Cuál es la suma de los factores primos de $2010$ ?

What is the sum of the prime factors of $2010?$

$\ 67$

$\ 75$

$\ 77$

$\ 201$

$\ 210$

Conceptos:factorización en primos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Después de quitar $2$ , $5$ y $3$ , el factor restante es primo

After removing $2$ , $5$ , and $3$ , the remaining factor is prime.

Pista grande:

Factoriza $2010$ usando la divisibilidad entre $10$ y entre $3$

Factor $2010$ using divisibility by $10$ and by $3$ .

Solución:

Primero, los primos $2,$ $5$ son factores de $2010$ porque es múltiplo de $10.$ Dividir $2010$ entre $10$ da $201.$ Luego, $3$ es factor de $201$ porque la suma de los dígitos de $201$ es múltiplo de $3.$ Dividir esto entre $3$ da el número primo $67.$ Esto significa que los factores primos son $2,$ $3,$ $5,$ $67,$ lo que hace que su suma sea $77.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

First, the primes $2,$ $5$ are factors of $2010$ since it is a multiple of $10.$ Dividing $2010$ by $10$ is $201.$ Then, $3$ is a factor of $201$ since the digit sum of $201$ is a multiple of $3.$ Dividing this by $3$ yields the prime number $67.$ This means the prime factors are $2,$ $3,$ $5,$ $67,$ which makes their sum $77.$

Thus, the correct answer is C .

15.

Un frasco contiene $5$ colores diferentes de gomitas. El $30\%$ son azules, el $20\%$ son marrones, el $15\%$ son rojas, el $10\%$ son amarillas, y las otras $30$ gomitas son verdes. Si la mitad de las gomitas azules se reemplazan por gomitas marrones, ¿cuántas gomitas serán marrones?

A jar contains $5$ different colors of gum drops. $30\%$ are blue, $20\%$ are brown, $15\%$ are red, $10\%$ are yellow, and the other $30$ gum drops are green. If half of the blue gum drops are replaced by brown gum drops, how many gum drops will be brown?

$\ 35$

$\ 36$

$\ 42$

$\ 48$

$\ 64$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Usa la cantidad de verdes para hallar el total, luego pasa la mitad de la cantidad de azules a marrones

Use the green count to find the total, then move half the blue count to brown.

Pista grande:

Halla qué porcentaje del frasco es verde

Find what percent of the jar is green.

Solución:

Como tenemos porcentajes para todos los colores excepto el verde, el porcentaje de verde es $100\%$ menos la suma de los demás colores. Esto hace que el porcentaje de verde sea igual a $100\%-30\%-20\%-$ $15\%-10\% = 25\%$

Como sabemos que $30$ gomitas son el $25\%,$ sabemos que el número total de gomitas es $\dfrac { 30}{0.25} = 120.$

Esto significa que hay $0.2\cdot120 = 24$ gomitas marrones al inicio y $0.3\cdot120 = 36$ gomitas azules. Si la mitad de las gomitas azules se convierten en marrones, entonces se agregan $\dfrac{36}{2} = 18$ gomitas marrones más. Por lo tanto, tenemos $24+18= 42$ gomitas marrones.

Por lo tanto, la respuesta es C.

Since we have percentages for every color except green, the percent of green is $100\%$ minus the sum of the other colors. This would make the percent of green equal to $100\%-30\%-20\%-$ $15\%-10\% = 25\%$

Since we know $30$ gum drops is $25\%,$ we know that the total number of gum drops is $\dfrac { 30}{0.25} = 120.$

This means there are $0.2\cdot120 = 24$ brown gum drops to start and $0.3\cdot120 = 36$ blue gum drops. If half of the blue gum drops are turned to brown, then $\dfrac{36}{2} = 18$ more brown gum drops are added. Therefore, we have $24+18= 42$ brown gum drops.

Thus, the answer is C .

16.

Un cuadrado y un círculo tienen la misma área. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado del cuadrado y el radio del círculo?

A square and a circle have the same area. What is the ratio of the side length of the square to the radius of the circle?

$\ \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\ \sqrt{\pi}$

$\ \pi$

$\ 2\pi$

$\ \pi^{2}$

Conceptos:área del círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Plantea $s^2=\pi r^2$ y despeja $\frac{s}{r}$

Set $s^2=\pi r^2$ and solve for $\frac{s}{r}$ .

Pista grande:

Escribe el área del cuadrado y el área del círculo en términos del lado y del radio

Write the square area and circle area in terms of side length and radius.

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado y sea $r$ el radio del círculo. Entonces, como tienen la misma área, $s^2 = \pi r^2 .$ Esto significa que $(\dfrac sr)^2 = \pi,$ así que $\frac sr = \sqrt{ \pi} .$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Let $s$ be the side length of the square and let $r$ be the radius of the circle. Then, since they have the same areas, $s^2 = \pi r^2 .$ This means $(\dfrac sr)^2 = \pi,$ so $\frac sr = \sqrt{ \pi} .$

Thus, the answer is B .

17.

El diagrama muestra un octágono formado por $10$ cuadrados unitarios. La parte por debajo de $\overline{PQ}$ es un cuadrado unitario y un triángulo de base $5.$ Si $\overline{PQ}$ biseca el área del octágono, ¿cuál es la razón $\dfrac{XQ}{QY}$ ?

The diagram shows an octagon consisting of $10$ unit squares. The portion below $\overline{PQ}$ is a unit square and a triangle with base $5.$ If $\overline{PQ}$ bisects the area of the octagon, what is the ratio $\dfrac{XQ}{QY}?$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Por debajo de $PQ$ , resta el cuadrado unitario para obtener una ecuación del área del triángulo

Below $PQ$ , subtract the unit square to get a triangle area equation.

Pista grande:

La recta $PQ$ divide el octágono en dos áreas iguales

The line $PQ$ cuts the octagon into two equal areas.

Solución:

Como $PQ$ biseca el área, el área bajo la recta es $5.$ Al quitar el cuadrado de la derecha, la parte inferior queda como un triángulo de base $5$ con área $4.$ Sea la base de este triángulo $PZ.$

Que el área sea $4$ significa $\dfrac{(PZ)(ZQ)}{2}=\frac{5(ZQ)}{2} = 4$ $\implies ZQ = 1.6.$

Por lo tanto, $QY = QZ-1 = 0.6$ y $XQ = 2-QZ = 0.4.$ Esto hace que $\dfrac{XQ}{QY} = \dfrac {0.4}{0.6} = \dfrac 23.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Since $PQ$ bisects the area, the area under the line is $5.$ Removing the square on the right makes the bottom a triangle of base $5$ with area $4.$ Let the base of this triangle be $PZ.$

The area being $4$ means $\dfrac{(PZ)(ZQ)}{2}=\frac{5(ZQ)}{2} = 4$ $\implies ZQ = 1.6.$

Therefore, $QY = QZ-1 = 0.6$ and $XQ = 2-QZ = 0.4.$ This would make $\dfrac{XQ}{QY} = \dfrac {0.4}{0.6} = \dfrac 23.$

Thus, the answer is D .

18.

Una ventana decorativa está formada por un rectángulo con semicírculos en cada extremo. La razón de $AD$ a $AB$ es $3:2,$ y $AB=30$ pulgadas. ¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo y las áreas combinadas de los semicírculos?

A decorative window is made up of a rectangle with semicircles on either end. The ratio of $AD$ to $AB$ is $3:2,$ and $AB=30$ inches. What is the ratio of the area of the rectangle to the combined areas of the semicircles?

$\ 2:3$

$\ 3:2$

$\ 6:\pi$

$\ 9:\pi$

$\ 30 :\pi$

Conceptos:área del círculo rectángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Usa la razón $AD:AB=3:2$ para expresar la altura del rectángulo en términos de $AB$

Use the ratio $AD:AB=3:2$ to express the rectangle height in terms of $AB$ .

Pista grande:

Los dos semicírculos se combinan en un círculo completo

The two semicircles combine to one full circle.

Solución:

Al combinar los semicírculos se forma un círculo de diámetro $d=30.$ Esto hace que el radio sea igual a $\dfrac{d}{2}.$ Por lo tanto, el área combinada de los semicírculos es $(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi = \dfrac{\pi d^2}{4}.$

El lado $AD = \dfrac 32 d$ porque $AD:AB=3:2$ y $AB=d.$ Por lo tanto, el área del rectángulo es $\dfrac 32 d^2.$ La razón entre el área del rectángulo y el área de los semicírculos es $\dfrac{\dfrac 32 d^2}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{6}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

Combining the semicircles would make a circle of diameter $d=30.$ This would make the radius equal to $\dfrac{d}{2}.$ Therefore, the combined area of the semicircles is $(\dfrac{d}{2})^2 \cdot \pi = \dfrac{\pi d^2}{4}.$

Side $AD = \dfrac 32 d$ because $AD:AB=3:2$ and $AB=d.$ The area of the rectangle is therefore $\dfrac 32 d^2.$ The ratio of the area of the rectangle to the area of the semicircles is $\dfrac{\dfrac 32 d^2}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{6}{\pi}.$

Thus, the answer is C .

19.

Los dos círculos de la figura tienen el mismo centro $C.$ La cuerda $\overline{AD}$ es tangente al círculo interior en $B,$ $AC$ mide $10,$ y la cuerda $\overline{AD}$ tiene longitud $16.$ ¿Cuál es el área entre los dos círculos?

The two circles pictured have the same center $C.$ Chord $\overline{AD}$ is tangent to the inner circle at $B,$ $AC$ is $10,$ and chord $\overline{AD}$ has length $16.$ What is the area between the two circles?

$\ 36 \pi$

$\ 49 \pi$

$\ 64 \pi$

$\ 81 \pi$

$\ 100 \pi$

Conceptos:área del círculo cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

La mitad de la cuerda, el radio interior y el radio exterior forman un triángulo rectángulo

Half the chord, the inner radius, and the outer radius form a right triangle.

Pista grande:

El radio hacia un punto de tangencia es perpendicular a la cuerda

The radius to a tangent point is perpendicular to the chord.

Solución:

El área entre los dos círculos es el área del círculo mayor menos el área del círculo menor, es decir, $(AC)^2\pi - (CB)^2 \pi$ $= \pi(AC^2 - CB^2).$ Por el teorema de Pitágoras, obtenemos $AC^2 - CB^2 = AB^2.$ Por lo tanto, necesitamos hallar $AB^2 \pi.$

Como $AB$ es la mitad de $AD,$ obtenemos $AB = 8.$ Esto hace que $AB^2 \pi = 64 \pi.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

The area between the two circles is the area of the larger circle minus the area of the smaller circle. This would be $(AC)^2\pi - (CB)^2 \pi$ $= \pi(AC^2 - CB^2).$ By the Pythagorean Theorem, we can get $AC^2 - CB^2 = AB^2.$ Therefore, we need to find $AB^2 \pi.$

Since $AB$ is half of $AD,$ we get $AB = 8.$ This makes $AB^2 \pi = 64 \pi.$

Thus, the answer is C .

20.

En una habitación, $\frac{2}{5}$ de las personas usan guantes, y $\frac{3}{4}$ de las personas usan sombrero. ¿Cuál es el número mínimo de personas en la habitación que usan tanto sombrero como guantes?

In a room, $\frac{2}{5}$ of the people are wearing gloves, and $\frac{3}{4}$ of the people are wearing hats. What is the minimum number of people in the room wearing both a hat and gloves?

$\ 3$

$\ 5$

$\ 8$

$\ 15$

$\ 20$

Conceptos:inclusión-exclusión mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Minimiza el solapamiento haciendo que, si es posible, cada persona quede contada en al menos uno de los dos grupos

Minimize overlap by making everyone counted by at least one of the two groups if possible.

Pista grande:

El número total de personas debe hacer que ambas fracciones den números enteros

The total number of people must make both fractions whole numbers.

Solución:

Como en nuestra habitación $\dfrac 25$ de las personas usan guantes, el número de personas debe ser múltiplo de $5.$ Como $\dfrac 34$ de las personas usan sombrero, el número de personas debe ser múltiplo de $4.$ Por lo tanto, el número de personas en la habitación debe ser múltiplo de $20.$

Ahora, también podemos usar la siguiente fórmula por el principio de inclusión-exclusión: Fracción de personas que usan ambos = Fracción de personas que usan guantes + Fracción de personas que usan sombrero - Fracción de personas que usan alguno de los dos.

Esto hace que nuestra fracción buscada sea igual a $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34 -$ la fracción de personas que usan alguno de los dos. Si queremos minimizar el número que usa ambos, maximizamos la fracción de personas que usan alguno, hasta $1.$ Por lo tanto, la fracción de personas que usan ambos es $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34- 1 = \dfrac 3{20}.$

Como nuestro número es un múltiplo (positivo) de $20,$ tenemos que el número de personas que usan ambos es $3$ si elegimos tener solo $20$ personas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since our room has $\dfrac 25$ of the people wearing gloves, the number of people must be a multiple of $5.$ Since our room has $\dfrac 34$ of the people wearing hats, the number of people must be a multiple of $4.$ Therefore, the people in the room must be a multiple of $20.$

Now, we can also use the following formula by the principle of inclusion exclusion: Fraction of people wearing both = Fraction of people wearing gloves + Fraction of people wearing hats - Fraction of people wearing either.

This makes our desired fraction equal to $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34 -$ Fraction of people who wear either. If we wish to minimize the number who wear both, we maximize the fraction of people who wear either, up to $1.$ Therefore, the fraction of people that wear both is $\dfrac{2}{5} + \dfrac 34- 1 = \dfrac 3{20}.$

Since our number is a (positive) multiple of $20,$ we have the number of people wearing both as $3$ if we choose to have just $20$ people.

Therefore, A is the correct answer.

21.

Hui es una lectora ávida. Compró un ejemplar del éxito de ventas Las matemáticas son bellas. El primer día, Hui leyó $\frac{1}{5}$ de las páginas y $12$ más, y el segundo día leyó $\frac{1}{4}$ de las páginas restantes y $15$ páginas. El tercer día leyó $\frac{1}{3}$ de las páginas restantes y $18$ páginas. Luego se dio cuenta de que solo quedaban $62$ páginas por leer, que leyó al día siguiente. ¿Cuántas páginas tiene este libro?

Hui is an avid reader. She bought a copy of the bestseller Math is Beautiful. On the first day, Hui read $\frac{1}{5}$ of the pages plus $12$ more, and on the second day she read $\frac{1}{4}$ of the remaining pages plus $15$ pages. On the third day she read $\frac{1}{3}$ of the remaining pages plus $18$ pages. She then realized that there were only $62$ pages left to read, which she read the next day. How many pages are in this book?

$\ 120$

$\ 180$

$\ 240$

$\ 300$

$\ 360$

Conceptos:fracción trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Deshaz primero las páginas adicionales, luego deshaz la fracción leída cada día

Undo the extra pages first, then undo the fraction read each day.

Pista grande:

Trabaja hacia atrás desde las $62$ páginas que quedaron después del tercer día

Work backward from the $62$ pages left after the third day.

Solución:

Las páginas que quedan después del tercer día son $62.$ Antes de leer las últimas $18$ páginas, le quedaban $80$ páginas. Esto es $\dfrac 23$ de las páginas restantes, así que le quedaban $120$ páginas antes del tercer día.

Antes de leer las $15$ páginas, le quedaban $120+15=135$ páginas. Esto es $\dfrac 34$ de las páginas restantes, así que le quedaban $180$ páginas antes del segundo día.

Antes de leer las $12$ páginas, le quedaban $180+12=192$ páginas. Esto es $\dfrac 45$ de las páginas restantes, así que le quedaban $240$ páginas antes del primer día, lo que hace que el libro tenga $240$ páginas.

Por lo tanto, la respuesta es C.

The pages left after the third day is $62.$ Before reading the last $18$ pages, she had $80$ pages left. This is $\dfrac 23$ of the pages remaining, so she had $120$ pages left before the third day.

Before reading the $15$ pages, she had $120+15=135$ pages left. This is $\dfrac 34$ of the pages remaining, so she had $180$ pages left before the second day.

Before reading the $12$ pages, she had $180+12=192$ pages left. This is $\dfrac 45$ of the pages remaining, so she had $240$ pages left before the first day, making the book $240$ pages.

Thus, the answer is C .

22.

El dígito de las centenas de un número de tres cifras es $2$ más que el dígito de las unidades. Se invierten los dígitos del número de tres cifras, y el resultado se resta del número original de tres cifras. ¿Cuál es el dígito de las unidades del resultado?

The hundreds digit of a three-digit number is $2$ more than the units digit. The digits of the three-digit number are reversed, and the result is subtracted from the original three-digit number. What is the units digit of the result?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

El dígito de las decenas se cancela cuando se resta el número invertido

The tens digit cancels when the reversed number is subtracted.

Pista grande:

Representa el número original con el dígito de las centenas dos más que el de las unidades

Represent the original number with hundreds digit two more than the units digit.

Solución:

Sea $u,$ el dígito de las unidades y sea $t$ el dígito de las decenas. Entonces, el dígito de las centenas es $u+2.$ El número original es $100(u+2) +10t+u$ $=101u+200+10t$ y el número invertido es $100u +10t+(u+2)$ $=101u+2+10t.$ Por lo tanto, la diferencia es $(101u+10t+200)-$ $(101u+10t+2)=198.$ Así, el dígito de las unidades es $8.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

Let the units digit be $u,$ and let the tens digit be $t.$ This makes the hundreds digit be $u+2.$ This makes the number equal to $100(u+2) +10t+u$ $=101u+200+10t$ and the reversed number is $100u +10t+(u+2)$ $=101u+2+10t.$ This makes the difference equal to $(101u+10t+200)-$ $(101u+10t+2)=198.$ This makes the units digit $8.$

Therefore, the answer is E .

23.

Los semicírculos $POQ$ y $ROS$ pasan por el centro del círculo $O.$ ¿Cuál es la razón entre las áreas combinadas de los dos semicírculos y el área del círculo $O$ ?

Semicircles $POQ$ and $ROS$ pass through the center of circle $O.$ What is the ratio of the combined areas of the two semicircles to the area of circle $O?$

$\dfrac{\sqrt 2}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{\pi}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt 2}{2}$

Conceptos:área del círculo Teorema de Pitágoras razón de áreas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Los dos semicírculos juntos tienen el área de un círculo de radio $1$

The two semicircles together have the area of one circle of radius $1$ .

Pista grande:

Halla el radio del círculo $O$ a partir de las coordenadas

Find the radius of circle $O$ from the coordinates.

Solución:

El área de cada uno de los semicírculos es $\pi \dfrac {r^2}{2} .$ Cada uno de ellos tiene radio $1,$ así que su área combinada es $\pi \frac{1}{2} + \pi \frac 12 = \pi.$

Luego, el radio del círculo mayor es igual a la longitud de $OQ,$ que es igual a $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2.$ Su área es $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi.$

Esto significa que la razón es $\dfrac{\pi}{2\pi} = \frac 12.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

The area of each of the semicircles is $\pi \dfrac {r^2}{2} .$ Each of them has a radius of $1,$ so their combined area is $\pi \frac{1}{2} + \pi \frac 12 = \pi.$

Next, the radius of the larger circle is equal to the length of $OQ,$ which is equal to $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt 2.$ Its area is $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi.$

This means the ratio is $\dfrac{\pi}{2\pi} = \frac 12.$

Thus, the answer is B .

24.

¿Cuál es el ordenamiento correcto de los tres números, $10^8,$ $5^{12},$ y $2^{24}$ ?

What is the correct ordering of the three numbers, $10^8,$ $5^{12},$ and $2^{24}?$

2^{24} < 10^8 < 5^{12}

2^{24} < 5^{12} < 10^8

5^{12} < 2^{24} < 10^8

10^8 < 5^{12} < 2^{24}

10^8 < 2^{24} < 5^{12}

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Compara $2^{24}$ , $10^8=(2\cdot5)^8$ y $5^{12}$

Compare $2^{24}$ , $10^8=(2\cdot5)^8$ , and $5^{12}$ .

Pista grande:

Reescribe las potencias para que tengan factores de octava potencia comparables

Rewrite the powers so they have comparable eighth-power factors.

Solución:

Primero, obtenemos $2^{24} = (2^8)(4^8) < (2^8)(5^8) = 10^8.$

Luego, obtenemos $10^8 = (2^8)(5^8) =$ $(4^4)(5^8) < (5^4)(5^8) = 5^{12}.$ Esto significa que $2^{24} < 10^8 < 5^{12} .$

Por lo tanto, la respuesta es A.

First, we get $2^{24} = (2^8)(4^8) < (2^8)(5^8) = 10^8.$

Next, we get $10^8 = (2^8)(5^8) =$ $(4^4)(5^8) < (5^4)(5^8) = 5^{12}.$ This means $2^{24} < 10^8 < 5^{12} .$

Thus, the answer is A .

25.

Todos los días en la escuela, Jo sube un tramo de $6$ escalones. Jo puede subir los escalones de $1,$ $2,$ o $3$ a la vez. Por ejemplo, Jo podría subir $3,$ luego $1,$ luego $2.$ ¿De cuántas maneras puede Jo subir los escalones?

Every day at school, Jo climbs a flight of $6$ stairs. Jo can take the stairs $1,$ $2,$ or $3$ at a time. For example, Jo could climb $3,$ then $1,$ then $2.$ In how many ways can Jo climb the stairs?

$\ 13$

$\ 18$

$\ 20$

$\ 22$

$\ 24$

Conceptos:particiones y composiciones conteo recursivo

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

El primer paso puede ser de $1$ , $2$ o $3$ escalones, lo que da una recurrencia

The first step can be $1$ , $2$ , or $3$ stairs, giving a recurrence.

Pista grande:

Sea $w_n$ el número de maneras de subir $n$ escalones

Let $w_n$ be the number of ways to climb $n$ stairs.

Solución:

Sea $w_n$ el número de maneras de subir $n$ escalones. Para $n\ge4$ , el primer paso puede ser de $1$ , $2$ o $3$ escalones, así que $w_n=w_{n-1}+w_{n-2}+w_{n-3}$ .

Tenemos $w_1=1$ , $w_2=2$ y $w_3=4$ . Por lo tanto $w_4=4+2+1=7$ , $w_5=7+4+2=13$ y $w_6=13+7+4=24$ .

Por lo tanto, la respuesta es E.

Let $w_n$ be the number of ways to climb $n$ stairs. For $n\ge4$ , the first step can be $1$ , $2$ , or $3$ stairs, so $w_n=w_{n-1}+w_{n-2}+w_{n-3}$ .

We have $w_1=1$ , $w_2=2$ , and $w_3=4$ . Therefore $w_4=4+2+1=7$ , $w_5=7+4+2=13$ , and $w_6=13+7+4=24$ .

Thus, the answer is E .