Question

Si $n$ es un entero positivo par, la notación de doble factorial $n!!$ representa el producto de todos los enteros pares de $2$ a $n.$ Por ejemplo:

$8!! = 2 \times 4 \times 6 \times 8$

¿Cuál es la cifra de las unidades de la siguiente suma?

$2!! + 4!! + \cdots + 2022!!$

If $n$ is an even positive integer, the double factorial notation $n!!$ represents the product of all the even integers from $2$ to $n.$ For example:

$8!! = 2 \times 4 \times 6 \times 8$

What is the units digit of the following sum?

$2!! + 4!! + \cdots + 2022!!$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Solución:

Si tomamos $n!!$ para un $n$ par que sea mayor o igual que $10,$ entonces $10$ es uno de los números por los que multiplicamos. Como $10$ es un factor de $n!!,$ sabemos que la cifra de las unidades de $10$ es $0,$ lo que significa que no afecta nuestro resultado.

Esto significa que basta con calcular la cifra de las unidades de $2!!+4!!+6!!+8!!,$ que es equivalente a: $\begin{align*} &2+ 2(4)+2(4)(6)\\ &+2(4)(6)(8)\\ &= 2+8+48+384\\ &= 442 \end{align*}$ La cifra de las unidades es por lo tanto $2$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If we take $n!!$ for an even $n$ that is greater or equal to $10,$ then $10$ is one of the numbers we multiply by. Since $10$ is a factor of $n!!,$ we know that the units digit of $10$ is $0,$ which means that it doesn't affect our result.

This means it suffices to compute the units digit of $2!!+4!!+6!!+8!!,$ which is equivalent to: $\begin{align*} &2+ 2(4)+2(4)(6)\\ &+2(4)(6)(8)\\ &= 2+8+48+384\\ &= 442 \end{align*}$ The units digit therefore is $2$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 8 Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años