Question

Cuatro números están escritos en una fila. El promedio de los dos primeros es $21,$ el promedio de los dos del medio es $26,$ y el promedio de los dos últimos es $30.$ ¿Cuál es el promedio del primero y el último de los números?

Four numbers are written in a row. The average of the first two is $21,$ the average of the middle two is $26,$ and the average of the last two is $30.$ What is the average of the first and last of the numbers?

$24$

$25$

$26$

$27$

$28$

Solución:

Sean los números $a,b,c,d$ en ese orden.

Como el promedio de $a$ y $b$ es $21,$ sabemos que su suma es $21\cdot2 = 42.$
Como el promedio de $c$ y $d$ es $30,$ sabemos que su suma es $30\cdot2 = 60.$
Como $a+b = 42$ y $c+d = 60 ,$ sabemos que $\begin{align*} a+b+c+d &= 42 + 60\\ &= 102 \end{align*}$

Ahora, siendo el promedio de $b$ y $c$ igual a $26,$ sabemos que su suma es $26\cdot2=52.$ Esto significa que $b+c = 52.$

Restando este resultado de la suma de todos los términos se obtiene $a+d =50.$
Como $\dfrac{a+d}{2}=25,$ nuestra respuesta es $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the numbers be $a,b,c,d$ in order.

Since the average of $a$ and $b$ is $21,$ we know their sum is $21\cdot2 = 42.$
Since the average of $c$ and $d$ is $30,$ we know their sum is $30\cdot2 = 60.$
Since $a+b = 42$ and $c+d = 60 ,$ we know $\begin{align*} a+b+c+d &= 42 + 60\\ &= 102 \end{align*}$

Now, with the average of $b$ and $c$ being $26,$ we know their sum is $26\cdot2=52.$ This means $b+c = 52.$

Subtracting this result from the sum of all the terms yields $a+d =50.$
Since $\dfrac{a+d}{2}=25,$ our answer is $25.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 8 Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años