Question

En la figura de abajo, elige el punto $D$ sobre $\overline{BC}$ de modo que $\triangle ACD$ y $\triangle ABD$ tengan perímetros iguales. ¿Cuál es el área de $\triangle ABD$ ?

In the figure below, choose point $D$ on $\overline{BC}$ so that $\triangle ACD$ and $\triangle ABD$ have equal perimeters. What is the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$\dfrac{12}{5}$

$\dfrac{5}{2}$

Solución en video:

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Solución escrita:

La única manera de dividir $\overline{BC}$ en dos partes de modo que los dos triángulos tengan el mismo perímetro es si $\overline{CD} = 3$ y $\overline{BD} = 2.$

$\triangle ACD$ y $\triangle ABD$ tienen las mismas alturas, así que sus áreas son proporcionales a sus bases. Esto significa que el área de $\triangle ABD$ es $\dfrac{2}{5}$ del área de $\triangle ABC,$ que es $\dfrac{2}{5} \cdot 3 \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{12}{5}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The only way to split $\overline{BC}$ into two parts such that the two triangles have the same perimeter is if $\overline{CD} = 3$ and $\overline{BD} = 2.$

$\triangle ACD$ and $\triangle ABD$ have the same altitudes, so their areas are proportional to their bases. This means that the area of $\triangle ABD$ is $\dfrac{2}{5}$ the area of $\triangle ABC,$ which is $\dfrac{2}{5} \cdot 3 \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{12}{5}.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años