Question

Las letras P, Q y R se colocan en una tabla de $20 \times 20$ según el patrón que se muestra abajo. ¿Cuántas P, Q y R aparecerán en la tabla completa?

The letters P, Q, and R are entered into a $20 \times 20$ table according to the pattern shown below. How many Ps, Qs, and Rs will appear in the completed table?

$132$ P, $134$ Q, $134$ R

$132$ Ps, $134$ Qs, $134$ Rs

$133$ P, $133$ Q, $134$ R

$133$ Ps, $133$ Qs, $134$ Rs

$133$ P, $134$ Q, $133$ R

$133$ Ps, $134$ Qs, $133$ Rs

$134$ P, $132$ Q, $134$ R

$134$ Ps, $132$ Qs, $134$ Rs

$134$ P, $133$ Q, $133$ R

$134$ Ps, $133$ Qs, $133$ Rs

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ las $2$ letras inferiores de cada columna aparecerán una vez más que la tercera letra.

Esto significa que la tercera letra de cada columna aparecerá $6$ veces, mientras que las otras $2$ aparecerán $7$ veces.

Con el mismo análisis, podemos ver que $R$ y $P$ aparecen en la tercera fila $7$ veces, mientras que $Q$ solo aparece $6$ veces.

Por lo tanto, en $20 - 7 = 13$ columnas, $P$ y $R$ aparecen $7$ veces, para un total de $13 \cdot 7 = 91$ veces.

También aparecen $6$ veces en $7$ columnas, añadiendo $6 \cdot 7 = 42$ apariciones al total. Esto nos da un total de $91 + 42 = 133$ apariciones para $P$ y $R.$

$Q$ aparecerá por lo tanto $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ veces.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ the bottom $2$ letters in each column will occur one more time than the third letter.

This means that the third letter in each column will occur $6$ times, whereas the other $2$ will appear $7$ times.

Using the same analysis, we can see that $R$ and $P$ appear in the third row $7$ times, whereas $Q$ only appears $6$ times.

Therefore, in $20 - 7 = 13$ columns, $P$ and $R$ appear $7$ times, for a total of $13 \cdot 7 = 91$ times.

They also appear $6$ times in $7$ columns, adding $6 \cdot 7 = 42$ appearances to the total. This gives us a total of $91 + 42 = 133$ appearances for $P$ and $R.$

$Q$ will therefore appear $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ times.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años