Question

Las letras $P,$ $Q$ y $R$ se colocan en una tabla de $20 \times 20$ según el patrón que se muestra abajo. ¿Cuántas $P,$ $Q$ y $R$ aparecerán en la tabla completa?

The letters $P,$ $Q,$ and $R$ are entered into a $20 \times 20$ table according to the pattern shown below. How many $P$ s, $Q$ s, and $R$ s will appear in the completed table?

$132$ $P$ , $134$ $Q$ , $134$ $R$

$132$ $P$ s, $134$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$133$ $P$ , $133$ $Q$ , $134$ $R$

$133$ $P$ s, $133$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$133$ $P$ , $134$ $Q$ , $133$ $R$

$133$ $P$ s, $134$ $Q$ s, $133$ $R$ s

$134$ $P$ , $132$ $Q$ , $134$ $R$

$134$ $P$ s, $132$ $Q$ s, $134$ $R$ s

$134$ $P$ , $133$ $Q$ , $133$ $R$

$134$ $P$ s, $133$ $Q$ s, $133$ $R$ s

Respuesta: C

Conceptos:reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

El patrón se repite cada $3$ entradas a lo largo de cada fila y columna

The pattern repeats every $3$ entries along each row and column

Pista grande:

Como $20=3\cdot6+2$ , dos letras aparecen una vez más en cada línea

Since $20=3\cdot6+2$ , two letters get one extra appearance in each line

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ las $2$ letras inferiores de cada columna aparecerán una vez más que la tercera letra.

Esto significa que la tercera letra de cada columna aparecerá $6$ veces, mientras que las otras $2$ aparecerán $7$ veces.

Entre las $20$ columnas, $P$ es la letra que aparece $6$ veces en $7$ columnas y aparece $7$ veces en las otras $13$ columnas. Lo mismo ocurre con $R.$

Por lo tanto, $P$ y $R$ aparecen $7\cdot6+13\cdot7=42+91=133$ veces cada una.

$Q$ aparecerá entonces $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ veces.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $20 = 3 \cdot 6 + 2,$ the bottom $2$ letters in each column will occur one more time than the third letter.

This means that the third letter in each column will occur $6$ times, whereas the other $2$ will appear $7$ times.

Across the $20$ columns, $P$ is the letter that appears $6$ times in $7$ columns and appears $7$ times in the other $13$ columns. The same is true of $R.$

Thus $P$ and $R$ each appear $7\cdot6+13\cdot7=42+91=133$ times.

$Q$ will therefore appear $\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*}$ times.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 16