Question

Minh escribe los números del $1$ al $81$ en las celdas de una cuadrícula $9 \times 9$ en algún orden. Calcula el producto de los números de cada fila y de cada columna. ¿Cuál es el menor número de filas y columnas que podrían tener un producto divisible por $3$ ?

Minh enters the numbers $1$ through $81$ into the cells of a $9 \times 9$ grid in some order. She calculates the product of the numbers in each row and column. What is the least number of rows and columns that could have a product divisible by $3?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $27$ múltiplos de $3$ del $1$ al $81$ . Una fila o columna tiene producto divisible por $3$ exactamente cuando contiene al menos uno de estos múltiplos.

Supón que $r$ filas y $c$ columnas tienen productos divisibles por $3$ . Cada múltiplo de $3$ debe estar en una de esas $r$ filas y también en una de esas $c$ columnas, pues de lo contrario crearía otra fila o columna marcada. Así, los $27$ múltiplos deben caber en las $rc$ celdas de intersección. Si $r+c\le10$ , entonces $rc\le25$ , que es demasiado pequeño. Por lo tanto, se necesitan al menos $11$ filas y columnas.

Esto se puede lograr colocando $25$ múltiplos de $3$ en un bloque de $5\times5$ , y luego colocando los $2$ múltiplos restantes en una sexta columna dentro de dos de esas mismas filas. Entonces quedan marcadas exactamente $5$ filas y $6$ columnas, para un total de $11$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are $27$ multiples of $3$ from $1$ through $81$ . A row or column has product divisible by $3$ exactly when it contains at least one of these multiples.

Suppose $r$ rows and $c$ columns have products divisible by $3$ . Every multiple of $3$ must lie in one of those $r$ rows and also in one of those $c$ columns, or else it would create another marked row or column. Thus the $27$ multiples must fit in the $rc$ intersection cells. If $r+c\le10$ , then $rc\le25$ , which is too small. So at least $11$ rows and columns are needed.

This can be done by placing $25$ multiples of $3$ in a $5\times5$ block, then placing the remaining $2$ multiples in a sixth column within two of those same rows. Then exactly $5$ rows and $6$ columns are marked, for a total of $11$ .

Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años