Question

Sea $A$ el área del triángulo con lados de longitud $25, 25,$ y $30.$ Sea $B$ el área del triángulo con lados de longitud $25, 25,$ y $40.$ ¿Cuál es la relación entre $A$ y $B$ ?

Let $A$ be the area of the triangle with sides of length $25, 25,$ and $30.$ Let $B$ be the area of the triangle with sides of length $25, 25,$ and $40.$ What is the relationship between $A$ and $B?$

$A = \dfrac{9}{16}B$

$A = \dfrac{3}{4}B$

$A = B$

$A = \dfrac{4}{3}B$

$A = \dfrac{16}{9}B$

Solución:

Como estos triángulos son isósceles, podemos trazar alturas para crear dos triángulos rectángulos congruentes como se muestra en el diagrama.

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos que la altura del triángulo con área $A$ es igual a $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20.$ De manera similar, obtenemos que la altura del triángulo con área $B$ es igual a $\sqrt{25^2 - 20^2} = 15.$

Con estas alturas, podemos calcular las áreas de los triángulos. Obtenemos que $A = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 30 = 300.$ De manera similar, $B = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 40 = 300.$

Por lo tanto, $A = B.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since these triangles are isosceles, we can drop altitudes to create two congruent right triangles as shown in the diagram.

Using the Pythagorean theorem, we get that the altitude of the triangle with area $A$ equals $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20.$ Similarly, we get that the altitude of the triangle with area $B$ equals $\sqrt{25^2 - 20^2} = 15.$

With these altitudes, we can calculate the areas of the triangles. We get that $A = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 30 = 300.$ Similarly, $B = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 40 = 300.$

Therefore, $A = B.$

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 8 Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años