Soluciones del 2011 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Margie compró $3$ manzanas a un costo de $50$ centavos por manzana. Pagó con un billete de $5$ dólares. ¿Cuánto cambio recibió Margie?

Margie bought $3$ apples at a cost of $50$ cents per apple. She paid with a $5$ -dollar bill. How much change did Margie receive?

$\$1.50$

$\$2.00$

$\$2.50$

$\$3.00$

$\$3.50$

Conceptos:dinero

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Resta el costo de las manzanas a cinco dólares.

Subtract the apple cost from five dollars.

Pista grande:

Primero halla el costo total de las manzanas.

Find the total cost of the apples first.

Solución:

Las manzanas cuestan en total $3 \cdot 50 = 150$ centavos, lo que equivale a $\$1.50.$ Esto significa que Margie recibió $\$5.00-\$1.50=\$3.50$ de cambio.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The apples cost a total of $3 \cdot 50 = 150$ cents, which equals $\$1.50.$ This means that Margie received $\$5.00-\$1.50=\$3.50$ in change.

Thus, E is the correct answer.

2.

El huerto rectangular de verduras de Karl mide $20$ pies por $45$ pies, y el de Makenna mide $25$ pies por $40$ pies. ¿Cuál huerto tiene mayor área?

Karl’s rectangular vegetable garden is $20$ feet by $45$ feet, and Makenna’s is $25$ feet by $40$ feet. Whose garden is larger in area?

El huerto de Karl es mayor en $100$ pies cuadrados.

Karl’s garden is larger by $100$ square feet.

El huerto de Karl es mayor en $25$ pies cuadrados.

Karl’s garden is larger by $25$ square feet.

Los huertos tienen el mismo tamaño.

The gardens are the same size.

El huerto de Makenna es mayor en $25$ pies cuadrados.

Makenna’s garden is larger by $25$ square feet.

El huerto de Makenna es mayor en $100$ pies cuadrados.

Makenna’s garden is larger by $100$ square feet.

Conceptos:área rectángulo

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Compara $20\cdot45$ con $25\cdot40$ .

Compare $20\cdot45$ with $25\cdot40$ .

Pista grande:

Calcula el área de cada rectángulo por separado.

Compute each rectangular area separately.

Solución:

El área del huerto de Karl es $20 \text{ft} \cdot 45 \text{ft} = 900 \text{ft}^2.$ El área del huerto de Makenna es $25 \text{ft} \cdot 40 \text{ft} = 1000 \text{ft}^2.$

La diferencia de estas áreas es $1000 \text{ft}^2 - 900 \text{ft}^2 = 100 \text{ft}^2.$ Por lo tanto, el huerto de Makenna es $100 \text{ft}^2$ mayor que el de Karl.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The area of Karl’s garden is $20 \text{ft} \cdot 45 \text{ft} = 900 \text{ft}^2.$ The area of Makenna’s garden is $25 \text{ft} \cdot 40 \text{ft} = 1000 \text{ft}^2.$

The difference of these areas is $1000 \text{ft}^2 - 900 \text{ft}^2 = 100 \text{ft}^2.$ Therefore, Makenna’s garden is $100 \text{ft}^2$ larger than Karl’s.

Thus, E is the correct answer.

3.

Extiende el patrón cuadrado de $8$ baldosas cuadradas sombreadas y $17$ baldosas cuadradas sin sombrear agregando un borde de baldosas sombreadas alrededor del cuadrado. ¿Cuál es la razón de baldosas sombreadas a baldosas sin sombrear en el patrón extendido?

Extend the square pattern of $8$ shaded and $17$ unshaded square tiles by attaching a border of shaded tiles around the square. What is the ratio of shaded tiles to unshaded tiles in the extended pattern?

$8:17$

$25:49$

$36:25$

$32:17$

$36:17$

Conceptos:razón y proporción conteo básico

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Un borde alrededor de un cuadrado de $5$ por $5$ agrega el anillo exterior de baldosas.

A border around a $5$ by $5$ square adds the outside ring of tiles.

Pista grande:

Las baldosas sin sombrear originales permanecen iguales.

The original unshaded tiles stay the same.

Solución:

El patrón original es un cuadrado de $5\times5$ . Al extenderlo una baldosa por cada lado se obtiene un cuadrado de $7\times7$ , de modo que el nuevo borde sombreado contiene $7^2-5^2=24$ baldosas. Junto con las $8$ baldosas sombreadas originales, hay $24+8=32$ baldosas sombreadas. Las $17$ baldosas originales sin sombrear no cambian, así que la razón de baldosas sombreadas a baldosas sin sombrear es $32:17.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The original pattern is a $5\times5$ square. Extending it by one tile on every side makes a $7\times7$ square, so the new shaded border contains $7^2-5^2=24$ tiles. Together with the original $8$ shaded tiles, there are $24+8=32$ shaded tiles. The original $17$ unshaded tiles do not change, so the ratio of shaded tiles to unshaded tiles is $32:17.$

Thus, D is the correct answer.

4.

Aquí hay una lista de las cantidades de peces que Tyler pescó en nueve salidas el verano pasado: $2,0,1,3,0,3,3,1,2.$ ¿Cuál afirmación sobre la media, la moda y la mediana de estos números es verdadera?

Here is a list of the numbers of fish that Tyler caught in nine outings last summer: $2,0,1,3,0,3,3,1,2.$ Which statement about the mean, mode, and median of these numbers is true?

mediana < media < moda

median < mean < mode

media < moda < mediana

mean < mode < median

media < mediana < moda

mean < median < mode

mediana < moda < media

median < mode < mean

moda < mediana < media

mode < median < mean

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

La media es el número total de peces dividido entre $9$ .

The mean is the total number of fish divided by $9$ .

Pista grande:

Ordena los nueve números antes de hallar la mediana y la moda.

Order the nine numbers before finding the median and mode.

Solución:

Para hallar estos valores más fácilmente, podemos obtener la siguiente lista ordenada: $0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.$

De esto, vemos que la moda es $3,$ la mediana es $2,$ y la media es $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}.$

Como $\dfrac{5}{3} < 2 < 3,$ obtenemos que:

media $<$ mediana $<$ moda.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

To find these values more easily, we can get the following ordered list: $0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.$

From this, we see that the mode is $3,$ the median is $2,$ and the mean is $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}.$

Since $\dfrac{5}{3} < 2 < 3,$ we get that:

mean $<$ median $<$ mode.

Thus, C is the correct answer.

5.

¿Qué hora era $2011$ minutos después del comienzo del $1$ de enero de $2011$ ?

What time was it $2011$ minutes after the beginning of January $1,$ $2011?$

$1$ de enero a las $9:31$ PM

January $1$ at $9:31$ PM

$1$ de enero a las $11:51$ PM

January $1$ at $11:51$ PM

$2$ de enero a las $3:11$ AM

January $2$ at $3:11$ AM

$2$ de enero a las $9:31$ AM

January $2$ at $9:31$ AM

$2$ de enero a las $6:01$ PM

January $2$ at $6:01$ PM

Conceptos:fecha y hora conversión de unidades

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Después de las primeras $24$ horas, el tiempo restante cae en el $2$ de enero.

After the first $24$ hours, the remaining time is on January $2.$

Pista grande:

Divide $2011$ minutos entre $60$ .

Divide $2011$ minutes by $60$ .

Solución:

El residuo cuando $2011$ se divide entre $60$ es $31.$ Esto significa que $2011 = 60 \cdot 33 + 31,$ lo que quiere decir que $2011$ minutos equivalen a $33$ horas y $31$ minutos.

Las $24$ horas nos llevan al $2$ de enero, así que estamos a $9$ horas y $31$ minutos del comienzo del $2$ de enero.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The remainder when $2011$ is divided by $60$ is $31.$ This means that $2011 = 60 \cdot 33 + 31,$ which means that $2011$ minutes is the same as $33$ hours and $31$ minutes.

$24$ hours takes us to January $2,$ so we get that we are $9$ hours and $31$ minutes into January $2.$

Thus, D is the correct answer.

6.

En un pueblo de $351$ adultos, cada adulto posee un automóvil, una motocicleta, o ambos. Si $331$ adultos poseen automóviles y $45$ adultos poseen motocicletas, ¿cuántos de los dueños de automóviles no poseen una motocicleta?

In a town of $351$ adults, every adult owns a car, a motorcycle, or both. If $331$ adults own cars and $45$ adults own motorcycles, how many of the car owners do not own a motorcycle?

$20$

$25$

$45$

$306$

$351$

Conceptos:inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Resta los dueños de motocicletas al total de adultos.

Subtract the motorcycle owners from the total adults.

Pista grande:

Los adultos sin motocicletas son exactamente los dueños de automóviles que no poseen una motocicleta.

The adults without motorcycles are exactly the car owners who do not own a motorcycle.

Solución:

Sabemos que $45$ personas poseen motocicletas, por lo que $351 - 45 = 306$ personas no poseen motocicletas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We know that $45$ people own motorcycles, so $351 - 45 = 306$ people do not own motorcycles.

Thus, D is the correct answer.

7.

Cada uno de los siguientes cuatro cuadrados grandes congruentes está subdividido en combinaciones de triángulos o rectángulos congruentes y está parcialmente sombreado. ¿Qué porcentaje del área total está parcialmente sombreado?

Each of the following four large congruent squares is subdivided into combinations of congruent triangles or rectangles and is partially shaded. What percent of the total area is partially shaded?

$12 \dfrac{1}{2}$

$20$

$25$

$33 \dfrac{1}{3}$

$37 \dfrac{1}{2}$

Conceptos:área fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Las cuatro piezas sombreadas se combinan para formar exactamente un cuadrado grande.

The four shaded pieces combine to exactly one large square.

Pista grande:

Expresa cada parte sombreada como una fracción de un cuadrado grande.

Express each shaded part as a fraction of one large square.

Solución:

Las regiones sombreadas de arriba a la izquierda y de abajo a la derecha son cada una un cuarto de cada cuadrado. La de arriba a la derecha es un octavo, y la de abajo a la izquierda es tres octavos. Su área combinada es $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} = 1.$

Por lo tanto, las regiones sombreadas combinadas equivalen al área de un cuadrado, así que son el $25 \%$ del área total.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The top left and the bottom right shaded regions are both a quarter of each square. The top right is one-eighth, and the bottom left is three-eighths. Their combined area is $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} = 1.$

Therefore, the shaded regions combined equal the area of one square, so they are $25 \%$ of the total area.

Thus, C is the correct answer.

8.

La bolsa A contiene tres fichas etiquetadas $1,$ $3,$ y $5.$ La bolsa B contiene tres fichas etiquetadas $2,$ $4,$ y $6.$ Si se saca una ficha de cada bolsa, ¿cuántos valores diferentes son posibles para la suma de los dos números en las fichas?

Bag A contains three chips labeled $1,$ $3,$ and $5.$ Bag B contains three chips labeled $2,$ $4,$ and $6.$ If one chip is drawn from each bag, how many different values are possible for the sum of the two numbers on the chips?

$4$

$5$

$6$

$7$

$9$

Conceptos:conteo básico enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Todas las sumas son impares y van de $3$ a $11$ .

All sums are odd and range from $3$ through $11$ .

Pista grande:

Enumera las sumas posibles de las dos bolsas.

List the possible sums from the two bags.

Solución:

La tabla muestra los nueve resultados. Las sumas distintas son $3,5,7,9,$ y $11$ , por lo que hay $5$ valores posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The table shows all nine outcomes. The distinct sums are $3,5,7,9,$ and $11$ , so there are $5$ possible values.

Thus, B is the correct answer.

9.

Carmen hace un largo paseo en bicicleta por una carretera montañosa. La gráfica indica las millas recorridas durante el tiempo de su paseo. ¿Cuál es la velocidad promedio de Carmen durante todo su paseo en millas por hora?

Carmen takes a long bike ride on a hilly highway. The graph indicates the miles traveled during the time of her ride. What is Carmen’s average speed for her entire ride in miles per hour?

$2$

$2.5$

$4$

$4.5$

$5$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Lee la distancia final y el total de horas en la gráfica.

Read the final distance and total hours from the graph.

Pista grande:

La velocidad promedio es la distancia total dividida entre el tiempo total.

Average speed is total distance divided by total time.

Solución:

Carmen recorre $35$ millas en $7$ horas, por lo que su velocidad promedio es $\frac{35}{7} = 5$ millas por hora.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Carmen travels $35$ miles in $7$ hours, so her average speed is $\frac{35}{7} = 5$ miles per hour.

Thus, E is the correct answer.

10.

La tarifa de taxi en Gotham City es de $\$2.40$ por la primera $\dfrac{1}{2}$ milla y el millaje adicional se cobra a razón de $\$0.20$ por cada $0.1$ milla adicional. Planeas dar al conductor una propina de $\$2$ . ¿Cuántas millas puedes recorrer con $\$10$ ?

The taxi fare in Gotham City is $\$2.40$ for the first $\dfrac{1}{2}$ mile and additional mileage charged at the rate $\$0.20$ for each additional $0.1$ mile. You plan to give the driver a $\$2$ tip. How many miles can you ride for $\$10$ ?

$3.0$

$3.25$

$3.3$

$3.5$

$3.75$

Conceptos:tasa dinero

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

La tarifa restante compra distancia adicional a $20$ centavos por décima de milla.

The remaining fare buys extra distance at $20$ cents per tenth of a mile.

Pista grande:

Aparta primero la propina y la tarifa de la primera media milla.

Set aside the tip and the first half-mile fare first.

Solución:

Hay una propina fija de $\$2$ , así que podemos restarla del total, quedando $\$8.$ Esto es mayor que $\$2.40,$ por lo que podemos restarlo y agregar $\dfrac{1}{2}$ milla a la distancia total.

Ahora tenemos $\$5.60$ para usar en millas adicionales. $\$0.20$ por $0.1$ milla es lo mismo que $\$2$ por $1$ milla. Eso significa que se puede recorrer $\frac{5.60}{2} = 2.8$ millas más con este dinero. Esto deja un total de $2.8 + \dfrac{1}{2} = 3.3$ millas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There is a guaranteed $\$2$ tip, so we can subtract that from the total, leaving $\$8.$ This is greater than $\$2.40,$ so we can subtract that and add $\dfrac{1}{2}$ miles to the total distance.

We now have $\$5.60$ to use for additional miles. $\$0.20$ per $0.1$ mile is the same as $\$2$ for $1$ mile. That means one can ride for $\frac{5.60}{2} = 2.8$ more miles with this much money. This leaves a total of $2.8 + \dfrac{1}{2} = 3.3$ miles.

Thus, C is the correct answer.

11.

La gráfica muestra el número de minutos estudiados por Asha (barra izquierda) y Sasha (barra derecha) en una semana. En promedio, ¿cuántos minutos más por día estudió Sasha que Asha?

The graph shows the number of minutes studied by both Asha (left bar) and Sasha (right bar) in one week. On the average, how many more minutes per day did Sasha study than Asha?

$6$

$8$

$9$

$10$

$12$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas media

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Promedia las cinco diferencias diarias en lugar de promediar a cada persona por separado.

Average the five daily differences instead of averaging each person separately.

Pista grande:

Compara a Sasha y Asha día por día.

Compare Sasha and Asha day by day.

Solución:

Podemos calcular la diferencia en minutos promedio observando las diferencias por día.

Comenzando con el lunes, las diferencias entre Sasha y Asha son $10,$ $-10,$ $20,$ $30,$ y $-20.$ Esto da un total de $30$ minutos. Por lo tanto, la diferencia promedio es $30 \div 5 = 6.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can calculate the difference in average minutes by looking at the differences per day.

Starting with Monday, the differences between Sasha and Asha are $10,$ $-10,$ $20,$ $30,$ and $-20.$ This is a total of $30$ minutes. Therefore, the average difference is $30 \div 5 = 6.$

Thus, A is the correct answer.

12.

Angie, Bridget, Carlos y Diego se sientan al azar alrededor de una mesa cuadrada, una persona por lado. ¿Cuál es la probabilidad de que Angie y Carlos queden sentados uno frente al otro?

Angie, Bridget, Carlos, and Diego are seated at random around a square table, one person to a side. What is the probability that Angie and Carlos are seated opposite each other?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:probabilidad básica arreglos circulares

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Carlos tiene tres asientos posibles, solo uno frente a Angie.

Carlos has three possible seats, only one opposite Angie.

Pista grande:

Fija a Angie en un asiento por simetría.

Fix Angie in one seat by symmetry.

Solución:

Supongamos que el asiento de Angie ya está elegido. Carlos tiene igual probabilidad de estar en cualquiera de los otros $3$ asientos. Sin embargo, solo uno de ellos está frente a Angie. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Consider that Angie’s seat is chosen. Carlos has an equal probability of being in any of the other $3$ seats. Only one of them is opposite Angie, however. Therefore, the probability is $\dfrac{1}{3}.$

Thus, B is the correct answer.

13.

Dos cuadrados congruentes, $ABCD$ y $PQRS,$ tienen longitud de lado $15.$ Se superponen para formar el rectángulo $AQRD$ de $15$ por $25$ que se muestra. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo $AQRD$ está sombreado?

Two congruent squares, $ABCD$ and $PQRS,$ have side length $15.$ They overlap to form the $15$ by $25$ rectangle $AQRD$ shown. What percent of the area of rectangle $AQRD$ is shaded?

$15$

$18$

$20$

$24$

$25$

Conceptos:área porcentaje

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Compara el área del rectángulo sombreado con el área del rectángulo $15$ por $25$ .

Compare the shaded rectangle area with the area of the $15$ by $25$ rectangle.

Pista grande:

La superposición es un rectángulo cuyo ancho es la suma de dos longitudes de lado menos $25$ .

The overlap is a rectangle whose width is the sum of two side lengths minus $25$ .

Solución:

Obtenemos que $\begin{align*} SC &= DC + SR - DR \\ &= 15 + 15 - 25 \\ &= 5. \end{align*}$

Esto significa que el área de $PBSC$ es $5 \cdot 15 = 75.$ El área de $AQRD$ es $25 \cdot 15 = 375.$

$\dfrac{75}{375} = \dfrac{1}{5},$ lo que es $20 \%.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We get that $\begin{align*} SC &= DC + SR - DR \\ &= 15 + 15 - 25 \\ &= 5. \end{align*}$

This means that the area of $PBSC$ is $5 \cdot 15 = 75.$ The area of $AQRD$ is $25 \cdot 15 = 375.$

$\dfrac{75}{375} = \dfrac{1}{5},$ which is $20 \%.$

Thus, C is the correct answer.

14.

Hay $270$ estudiantes en Colfax Middle School, donde la razón de niños a niñas es $5 : 4.$ Hay $180$ estudiantes en Winthrop Middle School, donde la razón de niños a niñas es $4 : 5.$ Las dos escuelas realizan un baile y todos los estudiantes de ambas escuelas asisten. ¿Qué fracción de los estudiantes en el baile son niñas?

There are $270$ students at Colfax Middle School, where the ratio of boys to girls is $5 : 4.$ There are $180$ students at Winthrop Middle School, where the ratio of boys to girls is $4 : 5.$ The two schools hold a dance and all students from both schools attend. What fraction of the students at the dance are girls?

$\dfrac{7}{18}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{22}{45}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{23}{45}$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Luego divide el número total de niñas entre $270+180$ .

Then divide the total number of girls by $270+180$ .

Pista grande:

Halla el número de niñas en cada escuela a partir de su razón.

Find the number of girls at each school from its ratio.

Solución:

El número total de niñas es $\dfrac{4}{9} \cdot 270 + \dfrac{5}{9} \cdot 180 =$ $120 + 100 = 220.$

Hay $270 + 180 = 450$ estudiantes en total, así que la fracción de niñas es $\dfrac{220}{450} = \dfrac{22}{45}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The total number of girls is $\dfrac{4}{9} \cdot 270 + \dfrac{5}{9} \cdot 180 =$ $120 + 100 = 220.$

There are $270 + 180 = 450$ students total, so the fraction of girls is $\dfrac{220}{450} = \dfrac{22}{45}.$

Thus, C is the correct answer.

15.

¿Cuántos dígitos tiene el producto $4^5 \cdot 5^{10}$ ?

How many digits are in the product $4^5 \cdot 5^{10}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$15$

Conceptos:exponente dígitos

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Empareja $2^{10}$ con $5^{10}$ para obtener $10^{10}$ .

Pair $2^{10}$ with $5^{10}$ to make $10^{10}$ .

Pista grande:

Reescribe $4^5$ como una potencia de $2$ .

Rewrite $4^5$ as a power of $2$ .

Solución:

Para hallar el número de dígitos, podemos intentar expresar este número en términos de potencias de $10.$

Obtenemos que $\begin{align*} 4^5 \cdot 5^{10} &= 2^{10} \cdot 5^{10} \\ &= 10^{10}. \end{align*}$

Esto muestra que el número buscado es $1$ seguido de $10$ ceros, para un total de $11$ dígitos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To find the number of digits, we can try to express this number in terms of powers of $10.$

We get that $\begin{align*} 4^5 \cdot 5^{10} &= 2^{10} \cdot 5^{10} \\ &= 10^{10}. \end{align*}$

This shows that the desired number is $1$ followed by $10$ zeros, for a total of $11$ digits.

Thus, D is the correct answer.

16.

Sea $A$ el área del triángulo con lados de longitud $25,$ $25,$ y $30.$ Sea $B$ el área del triángulo con lados de longitud $25,$ $25,$ y $40.$ ¿Cuál es la relación entre $A$ y $B$ ?

Let $A$ be the area of the triangle with sides of length $25,$ $25,$ and $30.$ Let $B$ be the area of the triangle with sides of length $25,$ $25,$ and $40.$ What is the relationship between $A$ and $B?$

$A = \dfrac{9}{16}B$

$A = \dfrac{3}{4}B$

$A = B$

$A = \dfrac{4}{3}B$

$A = \dfrac{16}{9}B$

Conceptos:triángulo isósceles área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Los dos triángulos rectángulos usan los catetos $15,20,25$ en papeles opuestos.

The two right triangles use legs $15,20,25$ in opposite roles.

Pista grande:

Traza una altura en cada triángulo isósceles.

Drop an altitude in each isosceles triangle.

Solución:

Como estos triángulos son isósceles, la altura mostrada desde el vértice de cada uno biseca la base y forma dos triángulos rectángulos congruentes.

Por el teorema de Pitágoras, la altura del triángulo de área $A$ es $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20.$ De manera similar, la altura del triángulo de área $B$ es $\sqrt{25^2 - 20^2} = 15.$

Con estas alturas, podemos calcular las áreas de los triángulos. Obtenemos que $A = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 30 = 300.$ De manera similar, $B = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 40 = 300.$

Por lo tanto, $A = B.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since these triangles are isosceles, the altitude shown from the apex of each triangle bisects its base and creates two congruent right triangles.

Using the Pythagorean theorem, we get that the altitude of the triangle with area $A$ equals $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20.$ Similarly, we get that the altitude of the triangle with area $B$ equals $\sqrt{25^2 - 20^2} = 15.$

With these altitudes, we can calculate the areas of the triangles. We get that $A = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 30 = 300.$ Similarly, $B = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 40 = 300.$

Therefore, $A = B.$

Thus, C is the correct answer.

17.

Sean $w,$ $x,$ $y,$ y $z$ números enteros no negativos. Si $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588,$ ¿a qué es igual $2w + 3x + 5y + 7z$ entonces?

Let $w,$ $x,$ $y,$ and $z$ be whole numbers. If $2^w \cdot 3^x \cdot 5^y \cdot 7^z = 588,$ then what does $2w + 3x + 5y + 7z$ equal?

$21$

$25$

$27$

$35$

$56$

Conceptos:factorización en primos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Iguala los exponentes de $2$ , $3$ , $5$ , y $7$ .

Match the exponents of $2$ , $3$ , $5$ , and $7$ .

Pista grande:

Factoriza en primos $588$ .

Prime-factorize $588$ .

Solución:

Para hallar los exponentes buscados, observa que todas las bases son números primos. Esto significa que hallar la factorización en primos será útil.

Obtenemos que $588 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2.$

A partir de esto, está claro que $w = 2,$ $x = 1,$ $y = 0,$ y $z = 2$ ( $y = 0$ ya que eso hace que el término $5^y$ sea igual a $1$ ).

Por lo tanto, $\begin{gather*} 2w + 3x + 5y + 7z \\ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 2 \\ = 21. \end{gather*}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

To find the desired exponents, note that all the bases are prime numbers. This means that finding the prime factorization will be helpful.

We get that $588 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2.$

From this, it is clear that $w = 2,$ $x = 1,$ $y = 0,$ and $z = 2$ ( $y = 0$ since that makes the $5^y$ term equal $1$ ).

Therefore, $\begin{gather*} 2w + 3x + 5y + 7z \\ = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 2 \\ = 21. \end{gather*}$

Thus, A is the correct answer.

18.

Un dado justo de seis caras se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer número que salga sea mayor o igual que el segundo número?

A fair six-sided die is rolled twice. What is the probability that the first number that comes up is greater than or equal to the second number?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{5}{6}$

Conceptos:dados (probabilidad)simetría

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Por simetría, la mitad de los lanzamientos desiguales tienen el primer lanzamiento mayor.

By symmetry, half of the unequal rolls have the first roll larger.

Pista grande:

Separa los lanzamientos iguales de los desiguales.

Separate the equal rolls from the unequal rolls.

Solución:

Hay $3$ resultados posibles al lanzar un dado dos veces: el primer número es mayor que el segundo, ambos números son iguales, o el primer número es menor que el segundo. El primer y el tercer resultado tienen la misma probabilidad ya que son simétricos.

El segundo resultado tiene una probabilidad de $\dfrac{1}{6}$ de ocurrir, ya que el primer número puede ser cualquiera, y el segundo número debe ser igual al primero. Los otros dos resultados tienen una probabilidad combinada de $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}.$ Esto significa que cada resultado tiene una probabilidad de $\dfrac{5}{6} \div 2 = \dfrac{5}{12}$ de ocurrir.

La probabilidad buscada es el primer resultado más el segundo resultado, para una probabilidad total de $\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are $3$ possible outcomes when rolling a die twice: the first number is greater than the second, both numbers are equal, or the first number is less than the second number. The first and third outcomes have the same probability since they are symmetric.

The second outcome has a $\dfrac{1}{6}$ chance of happening, since the first number can be anything, and the second number must equal the first number. The other two outcomes have a combined probability of $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}.$ This means that each outcome has a $\dfrac{5}{6} \div 2 = \dfrac{5}{12}$ chance of happening.

The desired probability is the first outcome plus the second outcome, for a total probability of $\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12}.$

Thus, D is the correct answer.

19.

¿Cuántos rectángulos hay en esta figura?

How many rectangles are in this figure?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Cuenta sistemáticamente todos los rectángulos de una sola región y de varias regiones.

Count all single-region and multi-region rectangles systematically.

Pista grande:

Divide la figura en pequeñas regiones etiquetadas.

Break the figure into labeled small regions.

Solución:

Podemos dividir la figura en estas regiones para facilitar el conteo de los rectángulos.

Los rectángulos en esta figura son $b,$ $c,$ $d,$ $ab,$ $bc,$ $cd,$ $cf,$ $de,$ $abcd,$ $cdef,$ y $bcfg.$ Estos forman $11$ rectángulos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can split the figure into these regions to make it easier to count the rectangles.

The rectangles in this figure are $b,$ $c,$ $d,$ $ab,$ $bc,$ $cd,$ $cf,$ $de,$ $abcd,$ $cdef,$ and $bcfg.$ These form $11$ rectangles.

Thus, D is the correct answer.

20.

El cuadrilátero $ABCD$ es un trapecio, $AD = 15,$ $AB = 50,$ $BC = 20,$ y la altura es $12.$ ¿Cuál es el área del trapecio?

Quadrilateral $ABCD$ is a trapezoid, $AD = 15,$ $AB = 50,$ $BC = 20,$ and the altitude is $12.$ What is the area of the trapezoid?

$600$

$650$

$700$

$750$

$800$

Conceptos:trapecio Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Usa triángulos rectángulos $9$ - $12$ - $15$ y $12$ - $16$ - $20$ .

Use $9$ - $12$ - $15$ and $12$ - $16$ - $20$ right triangles.

Pista grande:

Traza perpendiculares desde los vértices superiores hasta la base.

Drop perpendiculars from the top vertices to the base.

Solución:

Podemos trazar las siguientes alturas para hallar el área más fácilmente.

Por el teorema de Pitágoras, $DE = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ y $FC = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16.$

También sabemos que $EF = AB = 50,$ así que $DC = DE + EF + FC = 75.$

Entonces el área de $ABCD$ es $\dfrac{1}{2} \cdot (DC + 50) \cdot 12 = 6 \cdot 125$ $= 750.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can drop the following altitudes to more easily find the area.

We can use the Pythagorean Theorem to get that $DE = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ and $FC = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16.$

We also know that $EF = AB = 50,$ so $DC = DE + EF + FC = 75.$

Then the area of $ABCD$ is $\dfrac{1}{2} \cdot (DC + 50) \cdot 12 = 6 \cdot 125$ $= 750.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Los estudiantes adivinan que la edad de Norb es $24,$ $28,$ $30,$ $32,$ $36,$ $38,$ $41,$ $44,$ $47,$ y $49.$ Norb dice: “Al menos la mitad de ustedes adivinó demasiado bajo, dos de ustedes se equivocaron por uno, y mi edad es un número primo.” ¿Cuántos años tiene Norb?

Students guess that Norb’s age is $24,$ $28,$ $30,$ $32,$ $36,$ $38,$ $41,$ $44,$ $47,$ and $49.$ Norb says, “At least half of you guessed too low, two of you are off by one, and my age is a prime number.” How old is Norb?

$29$

$31$

$37$

$43$

$48$

Conceptos:deducción lógica primo

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Las dos suposiciones que fallan por uno obligan a que la edad de Norb esté cerca de $37$ o $48$ .

The two guesses off by one force Norb near either $37$ or $48$ .

Pista grande:

Que al menos la mitad sea demasiado baja coloca a Norb por encima de la quinta suposición de la lista.

At least half too low puts Norb above the fifth listed guess.

Solución:

La primera parte del enunciado significa que la edad de Norb es mayor que $36.$

La segunda parte significa que la edad de Norb está entre $36$ y $38$ o entre $47$ y $49.$

Como $37$ es primo y $48$ no lo es, la edad de Norb es $37.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The first part of the statement means that Norb’s age is greater than $36.$

The second part means that Norb’s age is either between $36$ and $38$ or between $47$ and $49.$

Since $37$ is prime and $48$ is not, Norb’s age is $37.$

Thus, C is the correct answer.

22.

¿Cuál es el dígito de las decenas de $7^{2011}$ ?

What is the tens digit of $7^{2011}?$

$0$

$1$

$3$

$4$

$7$

Conceptos:aritmética modular exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Los dos últimos dígitos de las potencias de $7$ se repiten cada $4$ potencias.

The last two digits of powers of $7$ repeat every $4$ powers.

Pista grande:

Trabaja módulo $100$ , ya que el dígito de las decenas depende de los dos últimos dígitos.

Work modulo $100$ , since the tens digit depends on the last two digits.

Solución:

Para hallar el dígito de las decenas, basta con seguir las potencias de $7$ módulo $100$ . Como $7^4=2401\equiv1\pmod{100}$ , los dos últimos dígitos se repiten cada cuatro potencias.

Como $2011=4\cdot502+3$ , tenemos $\begin{aligned}7^{2011}&\equiv7^3=343\\&\equiv43\pmod{100}\end{aligned}$ Por lo tanto, el dígito de las decenas es $4$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To find the tens digit, it is enough to track powers of $7$ modulo $100$ . Since $7^4=2401\equiv1\pmod{100}$ , the last two digits repeat every four powers.

Because $2011=4\cdot502+3$ , we have $\begin{aligned}7^{2011}&\equiv7^3=343\\&\equiv43\pmod{100}\end{aligned}$ Thus the tens digit is $4$ .

Thus, D is the correct answer.

23.

¿Cuántos enteros positivos de $4$ dígitos tienen cuatro dígitos diferentes, donde el dígito inicial no es cero, el entero es múltiplo de $5,$ y $5$ es el dígito mayor?

How many $4$ -digit positive integers have four different digits, where the leading digit is not zero, the integer is a multiple of $5,$ and $5$ is the largest digit?

$24$

$48$

$60$

$84$

$108$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Trata los dos posibles dígitos de las unidades como casos separados.

Handle the two possible units digits as separate cases.

Pista grande:

Un múltiplo de $5$ debe terminar en $0$ o $5$ .

A multiple of $5$ must end in $0$ or $5$ .

Solución:

Para que un número sea divisible entre $5,$ el dígito de las unidades debe ser $0$ o $5.$

Si el dígito de las unidades es $0,$ uno de los otros tres dígitos debe ser $5.$ Los dos dígitos restantes deben elegirse de $\{1, 2, 3, 4\}.$ Hay $6$ maneras de elegir el par, y hay $6$ maneras de ordenar los tres dígitos, para un total de $6 \cdot 6 = 36$ números.

Si el dígito de las unidades es $5,$ hay $4$ maneras de elegir el dígito de los millares. Hay $4 \cdot 3 = 12$ maneras de elegir los otros $2$ dígitos. Esto deja un total de $4 \cdot 12 = 48$ números para este caso.

Combinando ambos casos, obtenemos que el número total de tales enteros es $36 + 48 = 84.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For a number to be divisible by $5,$ the units digit must be either $0$ or $5.$

If the units digit is $0,$ one of the other three digits must be $5.$ The remaining two digits must be chosen from $\{1, 2, 3, 4\}.$ There are $6$ ways to choose the pair, and there are $6$ ways to arrange the three digits for a total of $6 \cdot 6 = 36$ numbers.

If the units digit is $5,$ there are $4$ ways to choose the thousands digit. There are $4 \cdot 3 = 12$ ways to choose the other $2$ digits. This leaves a total of $4 \cdot 12 = 48$ numbers for this case.

Combining both cases, we get the total number of such integers is $36 + 48 = 84.$

Thus, D is the correct answer.

24.

¿De cuántas maneras se puede escribir $10001$ como la suma de dos primos?

In how many ways can $10001$ be written as the sum of two primes?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:paridad primo

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Comprueba si $10001-2$ es primo.

Check whether $10001-2$ is prime.

Pista grande:

Una suma impar de dos primos debe incluir el único primo par.

An odd sum of two primes must include the only even prime.

Solución:

Para que dos números sumen un número impar, uno de ellos debe ser impar y el otro par. Así, el único primo par es $2,$ por lo que el otro número tiene que ser $9999.$ Sin embargo, $9999$ no es primo, así que $10001$ no se puede escribir como la suma de dos primos.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

For two numbers to add to an odd number, one of them must be odd and the other even. Thus the only even prime is $2,$ so the other number is forced to be $9999.$ $9999$ is not prime, however, so $10001$ cannot be written as the sum of two primes.

Thus, A is the correct answer.

25.

Un círculo con radio $1$ está inscrito en un cuadrado y circunscrito a otro cuadrado como se muestra. ¿Cuál fracción está más cerca de la razón del área sombreada del círculo al área sombreada entre los dos cuadrados?

A circle with radius $1$ is inscribed in a square and circumscribed about another square as shown. Which fraction is closest to the ratio of the circle’s shaded area to the shaded area between the two squares?

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

Conceptos:área del círculo cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

La razón buscada es $\frac{\pi-2}{2}$ , luego compárala con las opciones.

The desired ratio is $\frac{\pi-2}{2}$ , then compare to the choices.

Pista grande:

Halla el área del círculo y las áreas de ambos cuadrados.

Find the circle area and both square areas.

Solución:

El área sombreada del círculo es igual al área del círculo menos el área del cuadrado más pequeño. La longitud del lado del cuadrado interior se puede calcular usando el teorema de Pitágoras para obtener $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

Por lo tanto, el área del cuadrado interior es $\sqrt{2}^2 = 2.$ El área sombreada del círculo es entonces $1^2\pi - 2 = \pi - 2.$

El área del cuadrado exterior es $2^2 = 4,$ así que el área sombreada entre los dos cuadrados es $4 - 2 = 2.$

La fracción buscada es $\dfrac{\pi - 2}{2} \approx \dfrac{3.14 - 2}{2} \approx \dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The circle’s shaded area is equal to the area of the circle minus the area of the smaller square. The side length of the inner square can be calculated using the Pythagorean Theorem to get $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

Therefore, the area of the inner square is $\sqrt{2}^2 = 2.$ The circle’s shaded area is then $1^2\pi - 2 = \pi - 2.$

The area of the outside square is $2^2 = 4,$ so the shaded area between the two squares is $4 - 2 = 2.$

The desired fraction is $\dfrac{\pi - 2}{2} \approx \dfrac{3.14 - 2}{2} \approx \dfrac{1}{2}.$

Thus, A is the correct answer.