Question

Se eligen cinco enteros distintos del $1$ al $10$ , y cinco enteros distintos del $11$ al $20$ . No hay dos números que difieran en exactamente $10.$ ¿Cuál es la suma de los diez números elegidos?

Five distinct integers from $1$ to $10$ are chosen, and five distinct integers from $11$ to $20$ are chosen. No two numbers differ by exactly $10.$ What is the sum of the ten chosen numbers?

$95$

$100$

$105$

$110$

$115$

Solución en video:

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Solución escrita:

Llama rango inferior a los enteros del $1$ al $10$ inclusive, y llama rango superior a los enteros del $11$ al $20$ inclusive.

Cada uno de los $5$ números distintos elegidos del rango inferior bloquea el número del rango superior que es exactamente $10$ mayor que él. Solo hay $10$ números en el rango superior, así que solo quedan $10 - 5 = 5$ números aún no bloqueados.

Necesitamos elegir $5$ números distintos del rango superior, así que los números elegidos del rango superior son precisamente los que aún no están bloqueados. Cada uno de ellos es exactamente $10$ mayor que un número no elegido del rango inferior.

Así que la suma de los $5$ números distintos elegidos del rango superior es exactamente $5 \times 10 = 50$ mayor que la suma de los $5$ números no elegidos del rango inferior.

Por lo tanto, la suma de los $10$ números elegidos es igual a $50$ más la suma de todos los números elegidos y no elegidos del rango inferior $1 + 2 + \dots + 10.$

La suma de los números del $1$ al $10$ es $\frac{10 (10+1)}{2} = 55,$ así que la respuesta es $50 + 55 = 105,$ o la opción C.

Call the integers from $1$ to $10$ inclusive the lower range, and call the integers from $11$ to $20$ inclusive the higher range.

Each of the $5$ distinct numbers chosen from the lower range blocks out the number in the higher range that is exactly $10$ more than itself. There are only $10$ numbers in the higher range, so there are only $10 - 5 = 5$ numbers not yet blocked.

We need to choose $5$ distinct numbers from the higher range, so the numbers chosen from the higher range are precisely those which are not yet blocked. They are each exactly $10$ more than a not-chosen number in the lower range.

So, the sum of the $5$ distinct numbers chosen from the higher range is exactly $5 \times 10 = 50$ more than the sum of the $5$ not-chosen numbers in the lower range.

The sum of all $10$ chosen numbers is therefore equal to $50$ plus the sum of all chosen and not-chosen numbers in the lower range $1 + 2 + \dots + 10.$

The sum of the numbers from $1$ to $10$ is $\frac{10 (10+1)}{2} = 55,$ so the answer is $50 + 55 = 105,$ or choice C.

2025 AMC 8 Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años