2025 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Problemas del 2025 AMC 8

¡Desplázate hacia abajo y presiona Iniciar para intentar el examen! O ve al PDF imprimible, la clave de respuestas, o las soluciones profesionales en video y soluciones escritas preparadas por LIVE by Po-Shen Loh.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

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La estrella de ocho puntas que se muestra en la figura de abajo es un patrón de acolchado muy popular. ¿Qué porcentaje de toda la cuadrícula de $4$ por $4$ cubre la estrella?

The eight-pointed star, shown in the figure below, is a popular quilting pattern. What percent of the entire $4$ -by- $4$ grid is covered by the star?

$40$

$50$

$60$

$75$

$80$

Respuesta: B

Conceptos:área simetría

Nivel de dificultad: 720

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay simetría, así que la fracción del cuarto superior izquierdo que está sombreada es igual a la fracción de todo el cuadrado que está sombreada.

Concéntrate en el cuarto superior izquierdo. Considera mover un solo triángulo. El área sombreada del problema es exactamente igual al área sombreada de este diagrama (y el cuarto superior izquierdo está resaltado en negrita):

Entonces resulta evidente que exactamente la mitad del cuarto superior izquierdo está sombreada, así que la respuesta es $50\%,$ que es la opción B.

There is symmetry, and so whatever fraction of the top-left quarter is shaded, is the same as the fraction of the entire square that is shaded.

Focus on the top-left quarter. Consider moving a single triangle. The shaded area in the problem is exactly the same as the shaded area in this diagram (and the top-left quarter is outlined in bold):

But then it is obvious that exactly half of the top-left quarter is shaded, and so the answer is $50\%,$ which is choice B.

La tabla de abajo muestra los jeroglíficos del antiguo Egipto que se usaban para representar distintos números.

Por ejemplo, el número $32$ se representaba así:

¿Qué número representa la siguiente combinación de jeroglíficos?

The table below shows the ancient Egyptian heiroglyphs that were used to represent different numbers.

For example, the number $32$ was represented by:

What number was represented by the following combination of heiroglyphs?

$1,423$

$10,423$

$14,023$

$14,203$

$14,230$

Respuesta: B

Conceptos:valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Solución en video:

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Solución escrita:

Solo tenemos que contar cuántos símbolos hay de cada tipo.

Hay $1$ símbolo que vale $10,000.$

Hay $4$ símbolos que valen $100$ cada uno.

Hay $2$ símbolos que valen $10$ cada uno.

Hay $3$ símbolos que valen $1$ cada uno.

Así que la respuesta es $10,423,$ que es la opción B.

We just need to count how many of each type of glyph there are.

There is $1$ glyph worth $10,000.$

There are $4$ glyphs worth $100$ each.

There are $2$ glyphs worth $10$ each.

There are $3$ glyphs worth $1$ each.

So, the answer is $10,423,$ which is choice B.

Buffalo Shuffle-o es un juego de cartas en el que todas las cartas se reparten de forma equitativa entre todos los jugadores al comienzo del juego. Cuando Annika y $3$ de sus amigos juegan Buffalo Shuffle-o, a cada jugador le reparten $15$ cartas. Supón que $2$ amigos más se unen en la siguiente partida. ¿Cuántas cartas le repartirán a cada jugador?

Buffalo Shuffle-o is a card game in which all the cards are distributed evenly among all players at the start of the game. When Annika and $3$ of her friends play Buffalo Shuffle-o, each player is dealt $15$ cards. Suppose $2$ more friends join the next game. How many cards will be dealt to each player?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 660

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Solución escrita:

Al principio hay $4$ personas en total (Annika más $3$ amigos), cada una con $15$ cartas, así que hay $4 \times 15 = 60$ cartas en total. Si se unen $2$ amigos más, habrá $6$ personas en total, así que a cada una le tocan $60 \div 6 = 10$ cartas, que es la opción C.

At the start, there are $4$ total people (Annika plus $3$ friends), each with $15$ cards, so there are $4 \times 15 = 60$ cards in total. If $2$ more friends join, there will be $6$ people in total, and so each should get $60 \div 6 = 10$ cards, which is choice C.

Lucius cuenta hacia atrás restando $7$ cada vez. Sus primeros tres números son $100,$ $93$ y $86.$ ¿Cuál es su $10$ .º número?

Lucius is counting backward by $7$ s. His first three numbers are $100,$ $93,$ and $86.$ What is his $10$ th number?

$30$

$37$

$42$

$44$

$47$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 720

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Solución escrita:

Hay $10 - 1 = 9$ intervalos entre su primer número $100$ y su $10$ .º número. Cada intervalo tiene tamaño $7.$

Así que restará en total $9 \times 7 = 63$ a $100,$ y queda una respuesta de $100 - 63 = 37,$ que es la opción B.

There will be $10 - 1 = 9$ gaps between his first number $100$ and his $10$ th number. Each gap has size $7.$

So, he will subtract a total of $9 \times 7 = 63$ from $100,$ leaving an answer of $100 - 63 = 37,$ which is choice B.

Betty conduce un camión para entregar paquetes en un vecindario cuyo mapa de calles se muestra abajo. Betty parte de la fábrica (marcada con $F$ ) y conduce hasta el punto $A,$ luego $B,$ luego $C,$ antes de regresar a $F.$ ¿Cuál es la distancia más corta, en cuadras, que puede recorrer para completar la ruta?

Betty drives a truck to deliver packages in a neighborhood whose street map is shown below. Betty starts at the factory (labeled $F$ ) and drives to location $A,$ then $B,$ then $C,$ before returning to $F.$ What is the shortest distance, in blocks, she can drive to complete the route?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica optimización

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

La idea clave es que, si se conduce de las coordenadas $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2),$ la distancia más corta es $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|.$ A menudo se le llama distancia de Manhattan. También es igual al número de cuadras horizontales entre los puntos, más el número de cuadras verticales entre los puntos.

La distancia más corta de $F$ a $A$ es entonces $1 + 2 = 3.$

La distancia más corta de $A$ a $B$ es $7 + 3 = 10.$

La distancia más corta de $B$ a $C$ es $2 + 4 = 6.$

La distancia más corta de $C$ a $F$ es $4 + 1 = 5.$

Sumando todos estos números, obtenemos $3 + 10 + 6 + 5 = 24,$ que es la opción C.

Un pequeño atajo posible es notar que, al ir de $B$ a $C$ y luego a $F,$ la visita a $C$ queda convenientemente sobre una ruta más corta de $B$ a $F$ de todos modos, así que incluso podemos quitar del problema la exigencia de parar en $C.$

The key idea is that if driving from coordinates $(x_1, y_1)$ to $(x_2, y_2),$ then the shortest distance is $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|.$ This is often called the Manhattan distance. It is also equal to the number of horizontal blocks between the locations, plus the number of vertical blocks between the locations.

The shortest distance from $F$ to $A$ is then $1 + 2 = 3.$

The shortest distance from $A$ to $B$ is $7 + 3 = 10.$

The shortest distance from $B$ to $C$ is $2 + 4 = 6.$

The shortest distance from $C$ to $F$ is $4 + 1 = 5.$

Adding up all of these numbers, we get $3 + 10 + 6 + 5 = 24,$ which is choice C.

One small possible shortcut for the solution is to notice that when going from $B$ to $C$ to $F,$ the visit to $C$ is conveniently along a shortest path from $B$ to $F$ anyway, so we can even remove the requirement to stop at $C$ from the problem.

Sekou escribe los números $15,$ $16,$ $17,$ $18,$ $19.$ Después de borrar uno de los números, la suma de los cuatro números restantes es un múltiplo de $4.$ ¿Qué número borró?

Sekou writes the numbers $15,$ $16,$ $17,$ $18,$ $19.$ After he erases one of the numbers, the sum of the remaining four numbers is a multiple of $4.$ Which number did he erase?

$15$

$16$

$17$

$18$

$19$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Los residuos de los cinco números al dividir entre $4$ son: $3,$ $0,$ $1,$ $2,$ y $3.$ Así que la suma de los cinco números módulo $4$ es igual a $3 + 0 + 1 + 2 + 3 = 9,$ que tiene residuo $1$ módulo $4.$ Por lo tanto, para borrar un solo número y obtener una suma que sea $0$ módulo $4,$ debemos borrar el número que era $1$ módulo $4,$ que era $17.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

The remainders of the five numbers after dividing by $4$ are: $3,$ $0,$ $1,$ $2,$ and $3.$ So, the sum of all five numbers modulo $4$ is the same as $3 + 0 + 1 + 2 + 3 = 9$ which has remainder $1$ modulo $4.$ Therefore, in order to erase a single number and get a sum that is $0$ modulo $4,$ we must erase the number which was $1$ modulo $4,$ which was $17.$ Therefore, the answer is C.

En el examen más reciente de la clase del profesor Xochi:

• $5$ estudiantes obtuvieron una calificación de al menos $95\%,$

• $13$ estudiantes obtuvieron una calificación de al menos $90\%,$

• $27$ estudiantes obtuvieron una calificación de al menos $85\%,$ y

• $50$ estudiantes obtuvieron una calificación de al menos $80\%.$

¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación de al menos $80\%$ y menos de $90\%$ ?

On the most recent exam in Prof. Xochi's class,

• $5$ students earned a score of at least $95\%,$

• $13$ students earned a score of at least $90\%,$

• $27$ students earned a score of at least $85\%,$ and

• $50$ students earned a score of at least $80\%.$

How many students earned a score of at least $80\%$ and less than $90\%?$

$8$

$14$

$22$

$37$

$45$

Respuesta: D

Conceptos:interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Observa que la cantidad de estudiantes en cada categoría sigue aumentando, lo cual tiene sentido porque las categorías se vuelven más amplias.

Queremos incluir a los $50$ estudiantes que obtuvieron una calificación de al menos $80\%$ pero excluir a los $13$ estudiantes que obtuvieron una calificación de al menos $90\%.$ Así que la respuesta es $50 - 13 = 37,$ que es la opción D.

Notice that the numbers of students in each category keeps increasing, which makes sense because the categories are getting broader.

We want to include all $50$ of the students who earned a score of at least $80\%$ but exclude all $13$ of the students who earned a score of at least $90\%.$ So, the answer is $50 - 13 = 37,$ which is choice D.

Isaiah corta una caja cúbica de cartón por algunas de sus aristas para formar la figura plana que se muestra, que tiene un área de $18$ centímetros cuadrados. ¿Cuál era el volumen del cubo en centímetros cúbicos?

Isaiah cuts open a cardboard cube along some of its edges to form the flat shape shown, which has an area of $18$ square centimeters. What was the volume of the cube in cubic centimeters?

$3\sqrt{3}$

$6$

$9$

$6\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

Respuesta: A

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)área de superficie volumen

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Hay $6$ cuadrados, así que cada uno tiene área $18 \div 6 = 3.$ Entonces la longitud del lado del cubo es $\sqrt{3}.$ El volumen es $\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3},$ que es la opción A.

There are $6$ squares, so each has area $18 \div 6 = 3.$ Then the side length of the cube is $\sqrt{3}.$ The volume is $\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3},$ which is choice A.

Ningli mira los $6$ pares de números que están directamente enfrentados en un reloj. Calcula el promedio de cada par de números. ¿Cuál es el promedio de los $6$ números resultantes?

Ningli looks at the $6$ pairs of numbers directly across from each other on a clock. She takes the average of each pair of numbers. What is the average of the resulting $6$ numbers?

$5$

$6.5$

$8$

$9.5$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

La respuesta es igual al promedio de los $12$ números. Para entender por qué, en realidad es cierto en general que si un montón de números se divide en pares, se promedia cada par y luego se promedian todos esos promedios de pares, el resultado es el promedio de todos los números.

Para ver por qué, considera un ejemplo más pequeño de $6$ números $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ y $f.$ El promedio de los promedios de pares es: $\frac{1}{3} \left( \frac{a+b}{2} + \frac{c+d}{2} + \frac{e+f}{2} \right)$ y eso es igual a $\frac{a+b+c+d+e+f}{6}.$ El mismo tipo de simplificación ocurre con $12$ números.

Como los $12$ números están igualmente espaciados (en progresión aritmética), la respuesta es igual al promedio del primer y el último número, que es $\frac{1+12}{2} = \frac{13}{2} = 6.5,$ o la opción B.

The answer is the same as the average of all $12$ numbers. To understand why this is the case, it is actually generally true that if a whole bunch of numbers is split up into pairs, and each pair is averaged, and then all those pair-averages are averaged, the answer is the average of all the numbers.

To see why this is true, consider a smaller example of $6$ numbers $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ and $f.$ The average of the pair-averages is: $\frac{1}{3} \left( \frac{a+b}{2} + \frac{c+d}{2} + \frac{e+f}{2} \right)$ and that is equal to $\frac{a+b+c+d+e+f}{6}.$ The same type of simplification happens with $12$ numbers.

Since the $12$ numbers are equally spaced (in an arithmetic progression), the answer is the same as the average of the first and last number, which is $\frac{1+12}{2} = \frac{13}{2} = 6.5,$ or choice B.

10.

En la figura de abajo, $ABCD$ es un rectángulo con lados de longitud $AB = 5$ pulgadas y $AD = 3$ pulgadas. El rectángulo $ABCD$ se gira $90^\circ$ en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto medio del lado $DC$ para obtener un segundo rectángulo. ¿Cuál es el área total, en pulgadas cuadradas, cubierta por los dos rectángulos superpuestos?

In the figure below, $ABCD$ is a rectangle with sides of length $AB = 5$ inches and $AD = 3$ inches. Rectangle $ABCD$ is rotated $90^\circ$ clockwise around the midpoint of side $DC$ to give a second rectangle. What is the total area, in square inches, covered by the two overlapping rectangles?

$21$

$22.25$

$23$

$23.75$

$25$

Respuesta: D

Conceptos:transformación área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1220

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Solución escrita:

La forma más fácil de resolver este problema es usando la fórmula de inclusión-exclusión. Es decir: suma las áreas de los dos rectángulos y luego resta el área superpuesta (cuadrada).

Cada rectángulo tiene área $5 \times 3 = 15.$

Su superposición es un cuadrado que tiene longitud de lado $2.5,$ así que su área es $2.5^2 = 6.25.$

Por lo tanto, el área total es $15 + 15 - 6.25 = 23.75,$ que es la opción D.

The easiest way to solve this problem is using the Inclusion-Exclusion formula. That is: add the areas of the two rectangles, and then subtract the overlapping (square) area.

Each rectangle has area $5 \times 3 = 15.$

Their overlap is a square that has side length $2.5,$ and so its area is $2.5^2 = 6.25.$

Therefore, the total area is $15 + 15 - 6.25 = 23.75,$ which is choice D.

11.

Un tetrominó consiste en cuatro cuadrados conectados por sus aristas. Hay cinco formas posibles de tetrominó: I, O, L, T y S, que se muestran abajo y que se pueden rotar o voltear. Se usan tres tetrominós para cubrir por completo un rectángulo de $3 \times 4$ . Al menos una de las piezas es una pieza S. ¿Cuáles son las otras dos piezas?

A tetromino consists of four squares connected along their edges. There are five possible tetromino shapes, I, O, L, T, and S, shown below, which can be rotated or flipped over. Three tetrominoes are used to completely cover a $3 \times 4$ rectangle. At least one of the tiles is an S tile. What are the other two tiles?

I y L

I and L

I y T

I and T

L y L

L and L

L y S

L and S

O y T

O and T

Respuesta: C

Conceptos:teselado análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

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Solución escrita:

Un poco de ensayo y error sugiere colocar el tetrominó S de una manera que no bloquee demasiado, así:

Entonces es fácil ver que el resto se puede dividir en dos tetrominós L, así que la respuesta es C.

A little trial-and-error suggests placing the S tetromino in a way that does not block too much, like this:

It is then easy to see that the remainder can be partitioned into two L tetrominoes, and so the answer is C.

12.

La región que se muestra abajo consta de $24$ cuadrados, cada uno con longitud de lado $1$ centímetro. ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, del círculo más grande que cabe dentro de la región, tocando posiblemente los bordes?

The region shown below consists of $24$ squares, each with side length $1$ centimeter. What is the area, in square centimeters, of the largest circle that can fit inside the region, possibly touching the boundaries?

$3\pi$

$4\pi$

$5\pi$

$6\pi$

$8\pi$

Respuesta: C

Conceptos:área del círculo Teorema de Pitágoras optimización

Nivel de dificultad: 1280

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Solución escrita:

Las esquinas de la región que están más cerca del centro son los $8$ puntos que se encuentran sobre este círculo:

Por el teorema de Pitágoras, cada uno de estos puntos está a esta distancia del centro: $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.$ Entonces el área del círculo es $\pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi,$ que es la opción C.

The corners of the region which are closest to the center are the $8$ points which lie on this circle:

By the Pythagorean Theorem, each of these points has this distance from the center: $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.$ The area of the circle is then $\pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi,$ which is choice C.

13.

Cada uno de los números pares $2,$ $4,$ $6,$ $\dots,$ $50$ se divide entre $7.$ Se anotan los residuos. ¿Qué histograma muestra el número de veces que aparece cada residuo?

Each of the even numbers $2,$ $4,$ $6,$ $\dots,$ $50$ is divided by $7.$ The remainders are recorded. Which histogram displays the number of times each remainder occurs?

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 1220

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Solución escrita:

Los residuos van en orden $2,$ $4,$ $6,$ $1,$ $3,$ $5,$ $0,$ y luego se repiten.

Todas las opciones de respuesta tienen $3$ barras de altura $3$ y $4$ barras de altura $4.$

Así que debemos elegir la opción donde las barras más altas están sobre los primeros residuos que aparecen en nuestro orden, que son $2,$ $4,$ $6,$ y $1.$ Esa es la opción A.

The remainders go in order $2,$ $4,$ $6,$ $1,$ $3,$ $5,$ $0,$ and then repeat.

All of the answer choices have $3$ bars of height $3$ and $4$ bars of height $4.$

So, we should pick the answer choice where the taller bars are on the first remainders to appear in our order, which are $2,$ $4,$ $6,$ and $1.$ That is option A.

14.

Se inserta un número $N$ en la lista $2,$ $6,$ $7,$ $7,$ $28.$ Ahora la media es el doble de la mediana. ¿Cuánto vale $N$ ?

A number $N$ is inserted into the list $2,$ $6,$ $7,$ $7,$ $28.$ The mean is now twice as great as the median. What is $N?$

$7$

$14$

$20$

$28$

$34$

Respuesta: E

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1170

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Solución escrita:

Después de insertar $N$ en la lista, habrá $6$ números en total. Eso es par, así que la mediana será el promedio de los dos números centrales.

Todas las opciones de respuesta son al menos $7,$ así que, cuando se insertan en la lista, los dos números centrales serán $7$ y $7.$ Es conveniente que la mediana siempre sea $7,$ sin importar qué opción se elija.

La media pasa a ser el doble de la mediana, que es $2 \times 7 = 14.$

Para tener un total de $6$ números con media $14,$ su suma debe llegar a ser $6 \times 14 = 84.$

La suma de los $5$ números originales es $2 + 6 + 7 + 7 + 28 = 50,$ así que la respuesta es $84 - 50 = 34,$ que es la opción E.

After inserting $N$ into the list, there will be $6$ total numbers. That is even, so the median will be the average of the middle two numbers.

All of the answer choices are at least $7,$ so when they are inserted into the list, the middle two numbers will be $7$ and $7.$ It is convenient that the median will always be $7,$ no matter which answer choice is picked.

The mean becomes twice the median, which is $2 \times 7 = 14.$

To have a total of $6$ numbers with mean $14,$ their sum must become $6 \times 14 = 84.$

The sum of the original $5$ numbers is $2 + 6 + 7 + 7 + 28 = 50,$ so the answer is $84 - 50 = 34,$ which is choice E.

15.

Kei dibuja una cuadrícula de $6$ por $6$ . Colorea $13$ de los cuadrados unitarios de plateado y los cuadrados restantes de dorado. Luego Kei dobla la cuadrícula por la mitad verticalmente, formando pares de cuadrados unitarios superpuestos. Sean $m$ y $M$ el menor y el mayor número posible de pares dorado-con-dorado, respectivamente. ¿Cuál es el valor de $m+M$ ?

Kei draws a $6$ -by- $6$ grid. He colors $13$ of the unit squares silver and the remaining squares gold. Kei then folds the grid in half vertically, forming pairs of overlapping unit squares. Let $m$ and $M$ equal the least and greatest possible number of gold-on-gold pairs, respectively. What is the value of $m+M?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Respuesta: C

Conceptos:emparejamiento y agrupación argumento extremal

Nivel de dificultad: 1480

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Solución escrita:

El número de cuadrados dorados es $6 \times 6 - 13 = 36 - 13 = 23.$ Los $36$ cuadrados en total se superponen en $18$ pares.

Para minimizar el número de pares con dos cuadrados dorados, primero se deben repartir los cuadrados dorados entre todos los pares. Eso usa $18$ de ellos. Los $23 - 18 = 5$ cuadrados dorados restantes se emparejan y crean un total de $m = 5$ pares dorado-con-dorado.

Para maximizar el número de pares con dos cuadrados dorados, primero se deben emparejar tanto como sea posible los $23$ cuadrados dorados. Eso se puede hacer para crear $M = 11$ pares, con $1$ cuadrado dorado sobrante, porque $23 \div 2$ es $11$ con residuo $1.$

La respuesta es $m + M = 5 + 11 = 16,$ que es la opción C.

The number of gold squares is $6 \times 6 - 13 = 36 - 13 = 23.$ The $36$ total squares overlap as $18$ pairs.

To minimize the number of pairs with two gold squares, the gold squares should first be spread out across all pairs. That uses up $18$ of them. The remaining $23 - 18 = 5$ gold squares double-up and create a total of $m = 5$ gold-on-gold pairs.

To maximize the number of pairs with two gold squares, the $23$ gold squares should first be paired up as much as possible. That can be done to create $M = 11$ pairs, with $1$ gold square left over, because $23 \div 2$ is $11$ with a remainder of $1.$

The answer is $m + M = 5 + 11 = 16,$ which is choice C.

16.

Se eligen cinco enteros distintos del $1$ al $10$ , y cinco enteros distintos del $11$ al $20$ . No hay dos números que difieran en exactamente $10.$ ¿Cuál es la suma de los diez números elegidos?

Five distinct integers from $1$ to $10$ are chosen, and five distinct integers from $11$ to $20$ are chosen. No two numbers differ by exactly $10.$ What is the sum of the ten chosen numbers?

$95$

$100$

$105$

$110$

$115$

Respuesta: C

Conceptos:biyección emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1650

Solución en video:

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Solución escrita:

Llama rango inferior a los enteros del $1$ al $10$ inclusive, y llama rango superior a los enteros del $11$ al $20$ inclusive.

Cada uno de los $5$ números distintos elegidos del rango inferior bloquea el número del rango superior que es exactamente $10$ mayor que él. Solo hay $10$ números en el rango superior, así que solo quedan $10 - 5 = 5$ números aún no bloqueados.

Necesitamos elegir $5$ números distintos del rango superior, así que los números elegidos del rango superior son precisamente los que aún no están bloqueados. Cada uno de ellos es exactamente $10$ mayor que un número no elegido del rango inferior.

Así que la suma de los $5$ números distintos elegidos del rango superior es exactamente $5 \times 10 = 50$ mayor que la suma de los $5$ números no elegidos del rango inferior.

Por lo tanto, la suma de los $10$ números elegidos es igual a $50$ más la suma de todos los números elegidos y no elegidos del rango inferior $1 + 2 + \dots + 10.$

La suma de los números del $1$ al $10$ es $\frac{10 (10+1)}{2} = 55,$ así que la respuesta es $50 + 55 = 105,$ o la opción C.

Call the integers from $1$ to $10$ inclusive the lower range, and call the integers from $11$ to $20$ inclusive the higher range.

Each of the $5$ distinct numbers chosen from the lower range blocks out the number in the higher range that is exactly $10$ more than itself. There are only $10$ numbers in the higher range, so there are only $10 - 5 = 5$ numbers not yet blocked.

We need to choose $5$ distinct numbers from the higher range, so the numbers chosen from the higher range are precisely those which are not yet blocked. They are each exactly $10$ more than a not-chosen number in the lower range.

So, the sum of the $5$ distinct numbers chosen from the higher range is exactly $5 \times 10 = 50$ more than the sum of the $5$ not-chosen numbers in the lower range.

The sum of all $10$ chosen numbers is therefore equal to $50$ plus the sum of all chosen and not-chosen numbers in the lower range $1 + 2 + \dots + 10.$

The sum of the numbers from $1$ to $10$ is $\frac{10 (10+1)}{2} = 55,$ so the answer is $50 + 55 = 105,$ or choice C.

17.

En la tierra de Markovia, hay tres ciudades: $A,$ $B,$ y $C.$ Hay $100$ personas que viven en $A,$ $120$ que viven en $B,$ y $160$ que viven en $C.$ Todos trabajan en una de las tres ciudades, y una persona puede trabajar en la misma ciudad donde vive. En la figura de abajo, una flecha que apunta de una ciudad a otra está etiquetada con la fracción de personas que viven en la primera ciudad y trabajan en la segunda. (Por ejemplo, $\frac{1}{4}$ de las personas que viven en $A$ trabajan en $B.$ ) ¿Cuántas personas trabajan en $A$ ?

In the land of Markovia, there are three cities: $A,$ $B,$ and $C.$ There are $100$ people who live in $A,$ $120$ who live in $B,$ and $160$ who live in $C.$ Everyone works in one of the three cities, and a person may work in the same city where they live. In the figure below, an arrow pointing from one city to another is labeled with the fraction of people living in the first city who work in the second city. (For example, $\frac{1}{4}$ of the people who live in $A$ work in $B.$ ) How many people work in $A?$

$55$

$60$

$85$

$115$

$160$

Respuesta: D

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 1340

Solución en video:

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Solución escrita:

El número de personas que viven en $A$ y trabajan en $A$ es $100 - 100 \times \frac{1}{4} - 100 \times \frac{1}{5}$ que es $100 - 25 - 20 = 55.$ El número de personas que viven en $B$ y trabajan en $A$ es $120 \times \frac{1}{3} = 40$ El número de personas que viven en $C$ y trabajan en $A$ es $160 \times \frac{1}{8} = 20$ Así que la respuesta es $55 + 40 + 20 = 115,$ que es la opción D.

The number of people who live in $A$ and work in $A$ is $100 - 100 \times \frac{1}{4} - 100 \times \frac{1}{5}$ which is $100 - 25 - 20 = 55.$ The number of people who live in $B$ and work in $A$ is $120 \times \frac{1}{3} = 40$ The number of people who live in $C$ and work in $A$ is $160 \times \frac{1}{8} = 20$ So, the answer is $55 + 40 + 20 = 115,$ which is choice D.

18.

El círculo que se muestra abajo a la izquierda tiene un radio de $1$ unidad. La región entre el círculo y el cuadrado inscrito está sombreada. En el círculo que se muestra a la derecha, una cuarta parte de la región entre el círculo y el cuadrado inscrito está sombreada. Las regiones sombreadas de los dos círculos tienen la misma área. ¿Cuál es el radio $R,$ en unidades, del círculo de la derecha?

The circle shown below on the left has a radius of $1$ unit. The region between the circle and the inscribed square is shaded. In the circle shown on the right, one quarter of the region between the circle and the inscribed square is shaded. The shaded regions in the two circles have the same area. What is the radius $R,$ in units, of the circle on the right?

$\sqrt{2}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$4$

$4\sqrt{2}$

Respuesta: B

Conceptos:semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1310

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Solución escrita:

El diagrama de la derecha es semejante al de la izquierda, pero las áreas correspondientes del diagrama de la derecha son $4$ veces las áreas de la izquierda. Así que cada longitud de la derecha es $\sqrt{4} = 2$ veces la longitud correspondiente de la izquierda. Esto da $R = 2,$ que es la opción B.

The diagram on the right is similar to the diagram on the left, but the corresponding areas in the diagram on the right are $4$ times the areas on the left. So, each length on the right is $\sqrt{4} = 2$ times the corresponding length on the left. This gives $R = 2,$ which is choice B.

19.

Dos pueblos, $A$ y $B,$ están conectados por una carretera recta de $15$ millas de largo. Al viajar del pueblo $A$ al pueblo $B,$ el límite de velocidad cambia cada $5$ millas: de $25$ a $40$ y a $20$ millas por hora (mph). Dos autos, uno en el pueblo $A$ y otro en el pueblo $B,$ empiezan a moverse uno hacia el otro al mismo tiempo. Conducen exactamente al límite de velocidad en cada tramo de la carretera. ¿A qué distancia del pueblo $A,$ en millas, se encontrarán los dos autos?

Two towns, $A$ and $B,$ are connected by a straight road, $15$ miles long. Traveling from town $A$ to town $B,$ the speed limit changes every $5$ miles: from $25$ to $40$ to $20$ miles per hour (mph). Two cars, one at town $A$ and one at town $B,$ start moving toward each other at the same time. They drive at exactly the speed limit in each portion of the road. How far from town $A,$ in miles, will the two cars meet?

$7.75$

$8$

$8.25$

$8.5$

$8.75$

Respuesta: D

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1650

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Solución escrita:

Piensa en la carretera como si tuviera tres tramos: izquierdo, central y derecho. Cada tramo mide $5$ millas de largo.

El auto que sale de $A$ llega al tramo central en $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ horas.

El auto que sale de $B$ llega al tramo central en $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ horas. Para entonces, el auto que sale de $A$ ya ha recorrido el tramo central durante $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$ horas. Durante este tiempo, ese auto que sale de $A$ ha recorrido $40 \times \frac{1}{20} = 2$ millas en el tramo central.

Eso deja $5 - 2 = 3$ millas entre los dos autos en el tramo central.

En ese momento, el auto que sale de $A$ está a $5 + 2 = 7$ millas de $A.$

Como los autos conducen a la misma velocidad de $40$ mph en el tramo central, se encuentran después de que cada uno recorre $1.5$ millas más. Esto lleva al auto que sale de $A$ una distancia total de $7 + 1.5 = 8.5$ millas, que es la opción D.

Think of the road as having three sections: left, middle, and right. Each section is $5$ miles long.

The car from $A$ reaches the middle section in $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ hours.

The car from $B$ reaches the middle section in $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ hours. By that time, the car from $A$ has already driven in the middle section for $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$ hours. During this time, that car from $A$ has traveled $40 \times \frac{1}{20} = 2$ miles in the middle section.

That leaves $5 - 2 = 3$ miles between the two cars in the middle section.

At that moment, the car from $A$ is $5 + 2 = 7$ miles from $A.$

Since the cars drive at the same speed of $40$ mph in the middle section, they meet after each driving $1.5$ more miles. This takes the car from $A$ a total distance of $7 + 1.5 = 8.5$ miles, which is choice D.

20.

Sarika, Dev y Rajiv comparten un bloque grande de queso. Se turnan para cortar la mitad de lo que queda y comérsela: primero Sarika come la mitad del queso, luego Dev come la mitad de la mitad restante, luego Rajiv come la mitad de lo que queda, luego le toca de nuevo a Sarika, y así sucesivamente. Se detienen cuando el queso es demasiado pequeño para verse. ¿Aproximadamente qué fracción del bloque original de queso come Sarika en total?

Sarika, Dev, and Rajiv are sharing a large block of cheese. They take turns cutting off half of what remains and eating it: first Sarika eats half of the cheese, then Dev eats half of the remaining half, then Rajiv eats half of what remains, then back to Sarika, and so on. They stop when the cheese is too small to see. About what fraction of the original block of cheese does Sarika eat in total?

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{8}$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1580

Solución en video:

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Solución escrita:

Sarika obtiene $\frac{1}{2}$ del queso en el primer paso.

Luego Dev obtiene $\frac{1}{2^2}$ del queso.

Luego Rajiv obtiene $\frac{1}{2^3}$ del queso.

Después Sarika obtiene otro $\frac{1}{2^4}$ del queso.

Este patrón continúa. Al final, Sarika obtiene $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^7} + \dots$ que es la suma de una serie geométrica infinita con primer término $a = \frac{1}{2}$ y razón común $r = \frac{1}{2^3}.$ Esa suma es $\frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}} = \frac{4}{7}$ que es la opción A.

Sarika gets $\frac{1}{2}$ of the cheese in the first step.

Then Dev gets $\frac{1}{2^2}$ of the cheese.

Then Rajiv gets $\frac{1}{2^3}$ of the cheese.

Sarika then gets another $\frac{1}{2^4}$ of the cheese.

This pattern continues. Ultimately, Sarika gets $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^7} + \dots$ which is the sum of an infinite geometric series with first term $a = \frac{1}{2}$ and common ratio $r = \frac{1}{2^3}.$ That sum is $\frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}} = \frac{4}{7}$ which is choice A.

21.

La escuela Konigsberg ha asignado los grados $1$ al $7$ a las cápsulas $A$ a $G,$ un grado por cápsula. Algunas de las cápsulas están conectadas por pasillos, como se muestra en la figura de abajo. La escuela notó que cada par de cápsulas conectadas tiene asignados grados que difieren en $2$ o más niveles de grado. (Por ejemplo, los grados $1$ y $2$ no estarán en cápsulas conectadas directamente por un pasillo.) ¿Cuál es la suma de los niveles de grado asignados a las cápsulas $C,$ $E$ y $F$ ?

The Konigsberg School has assigned grades $1$ through $7$ to pods $A$ through $G,$ one grade per pod. Some of the pods are connected by walkways, as shown in the figure below. The school noticed that each pair of connected pods has been assigned grades differing by $2$ or more grade levels. (For example, grades $1$ and $2$ will not be in pods directly connected by a walkway.) What is the sum of the grade levels assigned to pods $C,$ $E,$ and $F?$

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Respuesta: A

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos deducción lógica

Nivel de dificultad: 1840

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Solución escrita:

Las cápsulas $A,$ $B,$ $C$ y $F$ están todas conectadas entre sí por pares. Cuatro números del $1$ al $7$ que estén todos separados por al menos $2$ deben ser $\{1,3,5,7\}$ . Por lo tanto $D,$ $E$ y $G$ reciben los grados pares $\{2,4,6\}$ .

La cápsula $G$ está conectada con $A$ y $F$ . Si $G=4$ , entonces $A$ y $F$ tendrían que ser $1$ y $7$ , dejando $B$ y $C$ como $3$ y $5$ . Pero entonces $E$ , que está conectada con $C$ y $F$ , no puede ser ninguno de los grados pares restantes sin quedar a solo $1$ de distancia de alguno de ellos. Así que $G$ no puede ser $4$ .

Si $G=2$ , entonces $A$ y $F$ deben ser $5$ y $7$ . Si $F=5$ , entonces $E$ no puede ser $4$ ni $6$ , así que $F=7$ . Además, $C$ no puede ser $3$ , porque entonces $E$ tampoco podría ser $4$ ni $6$ . Por lo tanto $C=1$ y $E=4$ , lo que da $C+E+F=1+4+7=12$ .

El caso $G=6$ es simétrico, y da $C=7,$ $E=4,$ y $F=1$ . La misma suma es $12$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Pods $A,$ $B,$ $C,$ and $F$ are all pairwise connected. Four numbers from $1$ through $7$ that are all at least $2$ apart must be $\{1,3,5,7\}$ . Thus $D,$ $E,$ and $G$ get the even grades $\{2,4,6\}$ .

Pod $G$ is connected to $A$ and $F$ . If $G=4$ , then $A$ and $F$ would have to be $1$ and $7$ , leaving $B$ and $C$ as $3$ and $5$ . But then $E$ , which is connected to $C$ and $F$ , cannot be either remaining even grade without being only $1$ away from one of them. So $G$ cannot be $4$ .

If $G=2$ , then $A$ and $F$ must be $5$ and $7$ . If $F=5$ , then $E$ cannot be $4$ or $6$ , so $F=7$ . Also, $C$ cannot be $3$ , since then $E$ again cannot be $4$ or $6$ . Therefore $C=1$ and $E=4$ , giving $C+E+F=1+4+7=12$ .

The case $G=6$ is symmetric, giving $C=7,$ $E=4,$ and $F=1$ . The same sum is $12$ .

Thus, A is the correct answer.

22.

Un salón de clases tiene una fila de $35$ ganchos para abrigos. A Paulina le gusta que los abrigos estén igualmente espaciados, de modo que haya el mismo número de ganchos vacíos antes del primer abrigo, después del último abrigo y entre cada abrigo y el siguiente. Supón que hay al menos $1$ abrigo y al menos $1$ gancho vacío. ¿Cuántos números diferentes de abrigos pueden satisfacer el patrón de Paulina?

A classroom has a row of $35$ coat hooks. Paulina likes coats to be equally spaced, so that there is the same number of empty hooks before the first coat, after the last coat, and between every coat and the next one. Suppose there is at least $1$ coat and at least $1$ empty hook. How many different numbers of coats can satisfy Paulina's pattern?

$2$

$4$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de factores biyección

Nivel de dificultad: 1710

Solución en video:

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Solución escrita:

Imagina agregar un gancho adicional con un abrigo después del último abrigo. Ahora habrá $36$ ganchos para abrigos, y un patrón que se repite, donde cada bloque del patrón tiene un montón de ganchos vacíos seguidos de un abrigo. Sea $b$ el número de elementos de cada bloque. Sea $d$ el número de bloques. Observa que $d$ es exactamente uno más que el número de abrigos, porque agregamos un abrigo adicional al final.

Entonces tenemos $bd = 36.$

La restricción sobre $b$ es que $b \geq 2$ , porque cada bloque tiene al menos un gancho vacío y termina con un abrigo.

La restricción sobre $d$ es que $d \geq 2$ , porque antes había al menos un abrigo y agregamos un abrigo adicional al final.

Así que solo tenemos que averiguar de cuántas maneras se puede factorizar $36$ como producto de dos enteros que sean al menos $2.$

El número de maneras de factorizar $36$ como producto de dos enteros positivos es exactamente igual al número de divisores de $36.$ Hay una fórmula para eso: como $36 = 2^2 \times 3^2$ , el número de divisores de $36$ es $(2+1)(2+1) = 9.$

De estas factorizaciones, exactamente dos quedan descalificadas: $1 \times 36$ y $36 \times 1.$ Así que la respuesta es $9 - 2 = 7,$ que es la opción D.

Imagine adding an extra coat hook with a coat on it after the last coat. Now, there will be $36$ coat hooks, and a repeating pattern, where each block of the pattern has a bunch of empty hooks followed by a coat. Let $b$ be the number of items in each block. Let $d$ be the number of blocks. Note that $d$ is exactly one more than the number of coats, because we added an extra coat at the end.

We then have $bd = 36.$

The constraint on $b$ is that $b \geq 2$ because each block has at least one empty hook, and ends with a coat.

The constraint on $d$ is that $d \geq 2$ because there was at least one coat before, and we added one extra coat at the end.

So, we just need to find out how many ways there are to factorize $36$ into the product of two integers that are at least $2.$

The number of ways to factorize $36$ into the product of two positive integers is exactly equal to the number of factors of $36.$ There is a formula for that: since $36 = 2^2 \times 3^2$ , the number of factors of $36$ is $(2+1)(2+1) = 9.$

Out of these factorizations, exactly two are disqualified: $1 \times 36$ and $36 \times 1.$ So, the answer is $9 - 2 = 7,$ which is choice D.

23.

¿Cuántos números de cuatro dígitos tienen las tres propiedades siguientes?

(I) El dígito de las decenas y el dígito de las unidades son ambos $9.$

(II) El número es $1$ menos que un cuadrado perfecto.

(III) El número es el producto de exactamente dos números primos.

How many four-digit numbers have all three of the following properties?

(I) The tens digit and ones digit are both $9.$

(II) The number is $1$ less than a perfect square.

(III) The number is the product of exactly two prime numbers.

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados primo

Nivel de dificultad: 1770

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Solución escrita:

El número tiene la forma $XX99,$ así que el cuadrado perfecto que es $1$ mayor termina en $00,$ por lo que es el cuadrado de un número que termina en $0.$ Supón que ese cuadrado es $a^2.$

Para que $a^2 - 1$ sea un número de $4$ dígitos que termina en $99$ , las únicas posibilidades para $a$ son $\{40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\}.$

Como $a^2 - 1 = (a-1)(a+1),$ también necesitamos que tanto $a-1$ como $a+1$ sean primos. Entonces buscamos pares de números primos que estén justo alrededor de $\{40, 50, \dots, 100\}.$

Revisando todas las posibilidades, las únicas que funcionan son $59$ y $61$ , así que hay exactamente $1$ forma de hacerlo. La respuesta es B.

The number has the form $XX99,$ and so the perfect square that is $1$ more ends in $00,$ and so it is the square of a number ending in $0.$ Suppose that square is $a^2.$

In order for $a^2 - 1$ to be a $4$ -digit number ending in $99$ , the only possibilities for $a$ are $\{40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\}.$

Since $a^2 - 1 = (a-1)(a+1),$ we also need both $a-1$ and $a+1$ to be prime. We are then looking for pairs of prime numbers that are right around $\{40, 50, \dots, 100\}.$

Going through all the possibilities, the only ones that work are $59$ and $61$ , and so there is exactly $1$ way to do this. The answer is B.

24.

En el trapecio $ABCD,$ los ángulos $B$ y $C$ miden $60^\circ$ y $AB = DC.$ Todas las longitudes de los lados son enteros positivos y el perímetro de $ABCD$ es $30$ unidades. ¿Cuántos trapecios no congruentes satisfacen todas estas condiciones?

In trapezoid $ABCD,$ angles $B$ and $C$ measure $60^\circ$ and $AB = DC.$ The side lengths are all positive integers and the perimeter of $ABCD$ is $30$ units. How many non-congruent trapezoids satisfy all of these conditions?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:trapecio triángulo equilátero Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1840

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Solución escrita:

Traza una recta que pase por $A$ y sea paralela a la recta $CD,$ y observa que algunas longitudes son automáticamente iguales entre sí:

Eso se debe a que $\angle AEB = \angle DCB = 60^\circ,$ así que el triángulo $ABE$ es equilátero. Todas las longitudes marcadas con $x$ siempre son iguales.

Además, $ADCE$ es un paralelogramo (no necesariamente un rombo), así que las longitudes restantes marcadas con $y$ siempre son iguales entre sí, pero no necesariamente iguales a $x.$

El perímetro es $3x + 2y,$ pero también se supone que es $30.$

El problema entonces se reduce a contar cuántas soluciones en enteros positivos tiene la ecuación $3x + 2y = 30.$

Al considerar enteros positivos para $x,$ observa que precisamente los enteros pares dan una solución entera para $y,$ porque $30 - 3x$ es el número par $2y.$

Y, una vez que llegamos a $x = 10,$ el $y$ que satisface la ecuación es $y = \frac{30 - 3 \times 10}{2} = 0,$ que no es un entero positivo.

Así que los valores que funcionan para $x$ son los enteros pares positivos menores que $10,$ o $\{2, 4, 6, 8\}.$ Hay $4$ opciones, lo que da la respuesta E.

Draw a line through $A$ parallel to line $CD,$ and observe that some lengths are automatically equal to each other:

That is because $\angle AEB = \angle DCB = 60^\circ,$ and so triangle $ABE$ is equilateral. All lengths labeled $x$ are always equal.

Also, $ADCE$ is a parallelogram (not necessarily a rhombus), so the remaining lengths labeled $y$ are always equal to each other, but not necessarily equal to $x.$

The perimeter is $3x + 2y,$ but it is also supposed to be $30.$

The problem then amounts to counting how many positive integer solutions there are to the equation $3x + 2y = 30.$

As we consider positive integers for $x,$ observe that it is precisely the even integers which give an integer solution for $y,$ because $30 - 3x$ is the even number $2y.$

And, once we get to $x = 10,$ the $y$ that satisfies the equation is $y = \frac{30 - 3 \times 10}{2} = 0,$ which is not a positive integer.

So, the values that work for $x$ are the positive even integers less than $10,$ or $\{2, 4, 6, 8\}.$ There are $4$ options, which gives the answer of E.

25.

Makayla encuentra todas las maneras posibles de trazar un camino en una cuadrícula con forma de rombo de $5 \times 5$ . Cada camino empieza en la parte inferior de la cuadrícula y termina en la parte superior, moviéndose siempre una unidad hacia el noreste o el noroeste. Ella calcula el área de la región entre cada camino y el lado derecho de la cuadrícula. En las figuras de abajo se muestran dos ejemplos. ¿Cuál es la suma de las áreas determinadas por todos los caminos posibles?

Makayla finds all the possible ways to draw a path in a $5 \times 5$ diamond-shaped grid. Each path starts at the bottom of the grid and ends at the top, always moving one unit northeast or northwest. She computes the area of the region between each path and the right side of the grid. Two examples are shown in the figures below. What is the sum of the areas determined by all possible paths?

$2520$

$3150$

$3840$

$4730$

$5050$

Respuesta: B

Conceptos:caminos reticulares simetría combinaciones

Nivel de dificultad: 1930

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $X$ la respuesta.

Por simetría, si la pregunta pidiera la suma de las áreas entre cada camino y el lado izquierdo de la cuadrícula, la respuesta sería exactamente la misma $X.$

Pero si esa respuesta se suma a la respuesta original, eso es exactamente lo mismo que la suma, sobre todos los caminos, de la suma de las áreas a la izquierda y a la derecha.

Para cada camino, esa suma de áreas es exactamente $25.$

El número de caminos es igual al número de maneras de reordenar $LLLLLRRRRR,$ donde $L$ representa Izquierda y $R$ representa Derecha, a medida que el camino sube. El número de reordenamientos es $10$ sobre $5$ , denotado $\binom{10}{5}.$

Así que $2X = 25 \times \binom{10}{5}.$ Dividiendo entre $2,$ obtenemos que $X$ es igual a $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{25}{2},$ que es 3150, o la opción B.

Let $X$ be the answer.

By symmetry, if the question asked for the sum of areas between each path and the left side of the grid, then the answer would be exactly the same $X.$

But if that answer is added to the original answer, that is exactly the same as the sum over all paths, of the sum of areas to the left and to the right.

For each path, that sum of areas is exactly $25.$

The number of paths is equal to the number of ways to rearrange $LLLLLRRRRR,$ where $L$ stands for Left and $R$ stands for Right, as the path walks up. The number of rearrangements is $10$ choose $5,$ denoted $\binom{10}{5}.$

So, $2X = 25 \times \binom{10}{5}.$ Dividing by $2,$ we get that $X$ equals $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{25}{2},$ which is 3150, or choice B.