Question

Betty conduce un camión para entregar paquetes en un vecindario cuyo mapa de calles se muestra abajo. Betty parte de la fábrica (marcada con $F$ ) y conduce hasta el punto $A,$ luego $B,$ luego $C,$ antes de regresar a $F.$ ¿Cuál es la distancia más corta, en cuadras, que puede recorrer para completar la ruta?

Betty drives a truck to deliver packages in a neighborhood whose street map is shown below. Betty starts at the factory (labeled $F$ ) and drives to location $A,$ then $B,$ then $C,$ before returning to $F.$ What is the shortest distance, in blocks, she can drive to complete the route?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

Solución en video:

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Solución escrita:

La idea clave es que, si se conduce de las coordenadas $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2),$ la distancia más corta es $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|.$ A menudo se le llama distancia de Manhattan. También es igual al número de cuadras horizontales entre los puntos, más el número de cuadras verticales entre los puntos.

La distancia más corta de $F$ a $A$ es entonces $1 + 2 = 3.$

La distancia más corta de $A$ a $B$ es $7 + 3 = 10.$

La distancia más corta de $B$ a $C$ es $2 + 4 = 6.$

La distancia más corta de $C$ a $F$ es $4 + 1 = 5.$

Sumando todos estos números, obtenemos $3 + 10 + 6 + 5 = 24,$ que es la opción C.

Un pequeño atajo posible es notar que, al ir de $B$ a $C$ y luego a $F,$ la visita a $C$ queda convenientemente sobre una ruta más corta de $B$ a $F$ de todos modos, así que incluso podemos quitar del problema la exigencia de parar en $C.$

The key idea is that if driving from coordinates $(x_1, y_1)$ to $(x_2, y_2),$ then the shortest distance is $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|.$ This is often called the Manhattan distance. It is also equal to the number of horizontal blocks between the locations, plus the number of vertical blocks between the locations.

The shortest distance from $F$ to $A$ is then $1 + 2 = 3.$

The shortest distance from $A$ to $B$ is $7 + 3 = 10.$

The shortest distance from $B$ to $C$ is $2 + 4 = 6.$

The shortest distance from $C$ to $F$ is $4 + 1 = 5.$

Adding up all of these numbers, we get $3 + 10 + 6 + 5 = 24,$ which is choice C.

One small possible shortcut for the solution is to notice that when going from $B$ to $C$ to $F,$ the visit to $C$ is conveniently along a shortest path from $B$ to $F$ anyway, so we can even remove the requirement to stop at $C$ from the problem.

2025 AMC 8 Problema 5

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 5 en otros años