Question

¿Cuál es el valor de $\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}$

What is the value of $\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}$

$-1010$

$-1009$

$1008$

$1009$

$1010$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Empareja cada número impar positivo después de $1$ con el número par que está justo antes de él.

Pair each positive odd number after $1$ with the even number just before it.

Pista grande:

Cuenta cuántos $1$ quedan después de emparejar.

Count how many $1$ ’s remain after pairing.

Solución en video:

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Solución escrita:

Reordenando los términos, la expresión es $\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*}$ Cada término es igual a $1,$ y hay $\frac{2019-1}2+1 = 1010$ términos, así que la suma total es $1010\cdot1 = 1010.$

Así, E es la respuesta correcta.

Rearranging the terms, notice that the expression in the question is equal to: $\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*}$ Each term is equal to $1,$ and there are $\frac{2019-1}2+1 = 1010$ terms, so the total sum is $1010\cdot1 = 1010.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 5