Soluciones del 2018 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

LIVE

Español

Soluciones del 2018 AMC 8

Desplázate hacia abajo para ver las soluciones profesionales en video y soluciones escritas de LIVE by Po-Shen Loh, imprime las soluciones en PDF, consulta la clave de respuestas, o haz el examen cronometrado completo.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Un parque de diversiones tiene una colección de modelos a escala, con una razón de $1: 20,$ de edificios y otros lugares de interés de todo el país. La altura del Capitolio de Estados Unidos es de $289$ pies. ¿Cuál es la altura en pies de su réplica en este parque, redondeada al número entero más cercano?

An amusement park has a collection of scale models, with a ratio of $1: 20,$ of buildings and other sights from around the country. The height of the United States Capitol is $289$ feet. What is the height in feet of its replica at this park, rounded to the nearest whole number?

$14$

$15$

$16$

$18$

$20$

Conceptos:razón y proporción estimación

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Una escala $1:20$ significa que la altura de la réplica es la altura real dividida entre $20$ .

A $1:20$ scale means the replica height is the real height divided by $20$ .

Pista grande:

Después de dividir $289$ entre $20$ , redondea al pie entero más cercano.

After dividing $289$ by $20$ , round to the nearest whole foot.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

La réplica mide $\dfrac{289}{20}=14.45$ pies de altura, que se redondean a $14$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The replica is $\dfrac{289}{20}=14.45$ feet tall, which rounds to $14$ feet.

Thus, the correct answer is A.

2.

¿Cuál es el valor del producto $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)? \end{align*}$

What is the value of the product $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)? \end{align*}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{7}{2}$

$7$

$8$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Reescribe cada factor $1+\frac1n$ como $\frac{n+1}{n}$ .

Rewrite each factor $1+\frac1n$ as $\frac{n+1}{n}$ .

Pista grande:

El producto se simplifica en cascada después de reescribir las fracciones.

The product telescopes after the fractions are rewritten.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Primero observemos que un factor de la forma $1 + \frac{1}{n},$ se puede reescribir como $\frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.$ Por lo tanto, el producto dado se convierte en $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\\ &=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{5}{4} \cdot\dfrac{6}{5} \cdot\dfrac{7}{6}\\ &=7 \end{align*}$ Así, la respuesta correcta es D.

Let’s first note that if we are given an expression of the form $1 + \frac{1}{n},$ we can rewrite this as $\frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.$ With that in mind, we can rewrite the expression given to us in the problem, as shown below: $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\\ &=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{5}{4} \cdot\dfrac{6}{5} \cdot\dfrac{7}{6}\\ &=7 \end{align*}$ Thus, the correct answer is D.

3.

Los estudiantes Arn, Bob, Cyd, Dan, Eve y Fon están dispuestos en ese orden en un círculo. Empiezan a contar: primero Arn, luego Bob, y así sucesivamente. Cuando el número contiene un $7$ como dígito (como $47$ ) o es un múltiplo de $7,$ esa persona sale del círculo y el conteo continúa. ¿Quién es la última persona que queda en el círculo?

Students Arn, Bob, Cyd, Dan, Eve, and Fon are arranged in that order in a circle. They start counting: Arn first, then Bob, and so forth. When the number contains a $7$ as a digit (such as $47$ ) or is a multiple of $7$ that person leaves the circle and the counting continues. Who is the last one present in the circle?

$\text{Arn}$

$\text{Bob}$

$\text{Cyd}$

$\text{Dan}$

$\text{Eve}$

Conceptos:divisibilidad dígitos simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Simula únicamente los números que hacen que alguien salga.

Simulate only the numbers that cause someone to leave.

Pista grande:

Mantén el orden de conteo después de que cada persona sale; el siguiente número le corresponde a la siguiente persona que aún queda en el círculo.

Keep the counting order after each person leaves; the next number goes to the next person still in the circle.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Los primeros cinco números que eliminan a un jugador son $7,14,17,21,27.$ Si seguimos únicamente esos turnos, obtenemos:

Arn dice $7$ , Cyd dice $14$ , Fon dice $17$ , Bob dice $21$ y Eve dice $27$ .

Dan es el único estudiante que queda, así que D es la respuesta correcta.

The first five removal numbers are $7,14,17,21,27.$ Tracking only those turns gives:

Arn says $7$ , Cyd says $14$ , Fon says $17$ , Bob says $21$ , and Eve says $27$ .

Dan is the only student remaining, so D is the correct answer.

4.

La figura de doce lados que se muestra está dibujada sobre papel cuadriculado de $1 \text{ cm}\times 1 \text{ cm}$ . ¿Cuál es el área de la figura en $\text{cm}^2$ ?

The twelve-sided figure shown has been drawn on $1 \text{ cm}\times 1 \text{ cm}$ graph paper. What is the area of the figure in $\text{cm}^2?$

$12$

$12.5$

$13$

$13.5$

$14$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Encierra la figura en un rectángulo sencillo o divídela en un cuadrado central y triángulos pequeños.

Enclose the figure in an easy rectangle or split it into a central square and small triangles.

Pista grande:

Las partes inclinadas forman cuatro triángulos rectángulos congruentes de área $1$ .

The slanted parts form four congruent right triangles of area $1$ .

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Para hallar el área de la figura, separamos la forma compuesta en partes más fáciles de manejar, así:

Como ahora queda claro, hay un cuadrado central de $3 \times 3$ , rodeado por $4$ triángulos sombreados más pequeños.

El área del cuadrado es $3 \cdot 3 = 9.$ Cada uno de los otros triángulos tiene una base de $2$ y una altura de $1,$ así que su área es $\dfrac{bh}{2} = \dfrac{2\cdot 1}{2} =1 .$ Hay $4$ de estos triángulos, por lo que su área total es $1\cdot 4 = 4.$

Por lo tanto, el área total es $9+4 = 13.$

Así, la respuesta correcta es C.

To solve for the area of the figure, we separate the compound shape into parts that are easier to work with, as such:

As is now clear, there is the center $3 \times 3$ square, with $4$ smaller shaded triangles surrounding it.

The area of the square is $3 \cdot 3 = 9.$ The other triangles each have a base of $2$ and a height of $1,$ so their area is equal to $\dfrac{bh}{2} = \dfrac{2\cdot 1}{2} =1 .$ There are $4$ of these triangles, so their total area is $1\cdot 4 = 4.$

Therefore, the total area is $9+4 = 13.$

Thus, the correct answer is C.

5.

¿Cuál es el valor de $\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}$

What is the value of $\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}$

$-1010$

$-1009$

$1008$

$1009$

$1010$

Conceptos:sucesión aritmética emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Empareja cada número impar positivo después de $1$ con el número par que está justo antes de él.

Pair each positive odd number after $1$ with the even number just before it.

Pista grande:

Cuenta cuántos $1$ quedan después de emparejar.

Count how many $1$ ’s remain after pairing.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Reordenando los términos, la expresión es $\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*}$ Cada término es igual a $1,$ y hay $\frac{2019-1}2+1 = 1010$ términos, así que la suma total es $1010\cdot1 = 1010.$

Así, E es la respuesta correcta.

Rearranging the terms, notice that the expression in the question is equal to: $\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*}$ Each term is equal to $1,$ and there are $\frac{2019-1}2+1 = 1010$ terms, so the total sum is $1010\cdot1 = 1010.$

Thus, E is the correct answer.

6.

En un viaje a la playa, Anh recorrió $50$ millas por la autopista y $10$ millas por un camino de acceso costero. Condujo tres veces más rápido en la autopista que en el camino costero. Si Anh pasó $30$ minutos conduciendo por el camino costero, ¿cuántos minutos duró todo su viaje?

On a trip to the beach, Anh traveled $50$ miles on the highway and $10$ miles on a coastal access road. He drove three times as fast on the highway as on the coastal road. If Anh spent $30$ minutes driving on the coastal road, how many minutes did his entire trip take?

$50$

$70$

$80$

$90$

$100$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Usa la información del camino costero para hallar la velocidad de Anh en ese camino.

Use the coastal-road information to find Anh’s coastal-road speed.

Pista grande:

La velocidad en la autopista es tres veces la del camino costero, así que el tiempo en la autopista se obtiene de las $50$ millas de autopista.

The highway speed is three times the coastal-road speed, so the highway time follows from the $50$ highway miles.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Anh recorrió $10$ millas por el camino costero en $30$ minutos. Por lo tanto, su velocidad en el camino costero (denotada $v_c$ ) es $\begin{align*}v_c&=\dfrac{10}{30}\\ &=\dfrac13.\end{align*}$ Esto es $\dfrac13$ de milla por minuto. Como conduce $3$ veces más rápido en la autopista (es decir, $v_h=3v_c$ ), su velocidad en la autopista es $3\cdot \dfrac13 = 1$ milla por minuto. Con estos datos, sabemos que Anh condujo $30$ minutos por el camino costero y recorrió $50$ millas a $1$ milla por minuto. Por tanto, tarda $50$ minutos en recorrer las $50$ millas de la autopista.

Así, el tiempo total de viaje es $50+30=80$ minutos.

Así, la respuesta correcta es C.

Anh drove $10$ miles on the coastal road in $30$ minutes. Therefore, his speed on the coastal road (notated as $v_c$ ) is $\begin{align*}v_c&=\dfrac{10}{30}\\ &=\dfrac13.\end{align*}$ This is $\dfrac13$ mile per minute. Since he drives $3$ times as fast on the highway (i.e. $v_h=3v_c$ ), his highway speed is $3\cdot \dfrac13 = 1$ mile per minute. Armed with these two facts, we know that Anh drove for $30$ minutes on the coastal road, and he drove $50$ miles at $1$ mile per minute. This means it takes $50$ minutes to drive the $50$ miles on the highway.

As such, the total travel time is $50+30=80$ minutes.

Thus, the correct answer is C.

7.

El número de $5$ dígitos $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ es divisible entre $9.$ ¿Cuál es el residuo cuando este número se divide entre $8$ ?

The $5$ -digit number $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ is divisible by $9.$ What is the remainder when this number is divided by $8?$

$1$

$3$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa la regla de divisibilidad entre $9$ para determinar $U$ .

Use the divisibility-by- $9$ rule to determine $U$ .

Pista grande:

Una vez que se conoce $U$ , solo importan los últimos tres dígitos para el residuo módulo $8$ .

Once $U$ is known, only the last three digits matter for the remainder modulo $8$ .

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Observa que un número es divisible entre $9$ si y solo si la suma de sus dígitos también es divisible entre $9.$

La suma de los dígitos del número de $5$ cifras del problema es $2+0+1+8+U= 11+U.$ Como $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ es divisible entre $9,$ $11+U$ también debe ser divisible entre $9.$ Además, como $U$ es un dígito, sabemos que $0\le U\le 9.$ Esto significa que $U$ solo puede ser $7.$

Ahora sabemos que el número de $5$ cifras en cuestión es $20187,$ y queremos hallar el residuo al dividir $20187$ entre $8.$ Para resolverlo, basta con hacer la división larga para ver que $20187=2523\cdot 8 + 3.$ Por lo tanto, el residuo es $3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Notice that a number is divisible by $9$ if and only if the sum of its digits is also divisible by $9.$

The sum of the digits of the $5$ -digit number in the problem is: $2+0+1+8+U= 11+U.$ As $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ is divisible by $9,$ $11+U$ must also be divisible by $9.$ Also, as $U$ is a digit, we know that $0\le U\le 9.$ This means that $U$ can only be $7.$

Now we know that the $5$ -digit number in question is $20187,$ and we want to find the remainder when we divide $20187$ by $8.$ To solve this, simply use long division to see that $20187=2523\cdot 8 + 3.$ Therefore, the remainder is $3.$

Thus, the correct answer is B.

8.

El señor Garcia preguntó a los integrantes de su clase de salud cuántos días de la semana pasada hicieron ejercicio durante al menos $30$ minutos. Los resultados se resumen en la siguiente gráfica de barras, donde las alturas de las barras representan el número de estudiantes.

¿Cuál fue el número medio de días de ejercicio de la semana pasada, redondeado a la centésima más cercana, que reportaron los estudiantes de la clase del señor Garcia?

Mr. Garcia asked the members of his health class how many days last week they exercised for at least $30$ minutes. The results are summarized in the following bar graph, where the heights of the bars represent the number of students.

What was the mean number of days of exercise last week, rounded to the nearest hundredth, reported by the students in Mr. Garcia’s class?

$3.50$

$3.57$

$4.36$

$4.50$

$5.00$

Conceptos:media interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Calcula el promedio ponderado a partir de las alturas de las barras.

Compute the weighted average from the bar heights.

Pista grande:

Primero halla el número total de estudiantes, luego halla el número total de días de ejercicio reportados.

First find the total number of students, then find the total number of reported exercise days.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Las alturas de las barras correspondientes a $1,2,3,4,5,6,7$ días son $1,3,2,6,8,3,2$ , para un total de $25$ estudiantes.

El número total de días de ejercicio declarados es $\begin{aligned} &1\cdot1+2\cdot3+3\cdot2+4\cdot6\\ &\qquad+5\cdot8+6\cdot3+7\cdot2=109. \end{aligned}$

La media es $\frac{109}{25}=4.36$ días.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The bar heights for $1,2,3,4,5,6,7$ days are $1,3,2,6,8,3,2$ , for a total of $25$ students.

The total number of reported exercise days is $\begin{aligned} &1\cdot1+2\cdot3+3\cdot2+4\cdot6\\ &\qquad+5\cdot8+6\cdot3+7\cdot2=109. \end{aligned}$

The mean is $\frac{109}{25}=4.36$ days.

Thus, C is the correct answer.

9.

Tyler está colocando baldosas en el piso de su sala de estar de $12$ pies por $16$ pies. Planea poner baldosas cuadradas de un pie por un pie para formar un borde a lo largo de las orillas de la habitación y cubrir el resto del piso con baldosas cuadradas de dos pies por dos pies. ¿Cuántas baldosas usará?

Tyler is tiling the floor of his $12$ foot by $16$ foot living room. He plans to place one-foot by one-foot square tiles to form a border along the edges of the room and to fill in the rest of the floor with two-foot by two-foot square tiles. How many tiles will he use?

$48$

$87$

$91$

$96$

$120$

Conceptos:teselado área

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Cuenta primero las baldosas del borde de $1$ pie, con cuidado de no contar dos veces las esquinas.

Count the $1$ -foot border tiles first, being careful not to double-count the corners.

Pista grande:

Después de quitar un borde de $1$ pie, el rectángulo restante mide $10$ pies por $14$ pies.

After removing a $1$ -foot border, the remaining rectangle is $10$ feet by $14$ feet.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Observa que cada pie cuadrado del borde requiere una baldosa, lo que significa que el borde ocupará $16+12+16+12=56$ baldosas. Sin embargo, esto genera baldosas superpuestas en cada una de las cuatro esquinas, así que para corregirlo restamos $4.$ Por lo tanto, el borde necesita $56-4=52$ baldosas cuadradas de $1\times 1$ para cubrirse por completo.

Como quitamos un pie de cada lado por el borde, el rectángulo restante mide $10$ pies por $14$ pies. Este debe cubrirse por completo con baldosas de $2 \times 2$ , así que se necesitan $\dfrac{10\cdot14}{2\cdot2} = 35$ baldosas para cubrir esta área.

Como se necesitan $52$ baldosas cuadradas de $1\times 1$ para el borde, y $35$ baldosas cuadradas de $2\times 2$ para el área restante, se necesitan $52+35=87$ baldosas en total para cubrir todo el piso de la sala de Tyler.

Así, la respuesta correcta es B.

Note that each square foot of the border would require one tile, meaning that the border will take $16+12+16+12=56$ tiles. However, notice that this will cause overlapping tiles in each of the four corners, so to fix this, we subtract $4.$ Therefore, the border will take $56-4=52$ $1\times 1$ square tiles to completely tile.

Since we have removed one foot from each side due to the border, the remaining rectangle is $10$ feet by $14$ feet. This must be tiled completely by $2 \times 2$ tiles, so it will take $\dfrac{10\cdot14}{2\cdot2} = 35$ tiles in total to tile this area.

As it takes $52$ $1\times 1$ square tiles to tile the border, and $35$ $2\times 2$ square tiles to tile the remaining area, it will take $52+35=87$ tiles in total to fill in Tyler’s entire living room floor.

Thus, the correct answer is B.

10.

La media armónica de un conjunto de números distintos de cero es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números. ¿Cuál es la media armónica de $1,$ $2,$ y $4$ ?

The harmonic mean of a set of non-zero numbers is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers. What is the harmonic mean of $1,$ $2,$ and $4?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{7}{3}$

Conceptos:media armónica fracción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Promedia los recíprocos de $1,2,$ y $4$ .

Average the reciprocals of $1,2,$ and $4$ .

Pista grande:

La media armónica es el recíproco de ese promedio.

The harmonic mean is the reciprocal of that average.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Los recíprocos de $1$ , $2$ y $4$ son $\dfrac11$ , $\dfrac12$ y $\dfrac14$ , respectivamente. El promedio de estos recíprocos es $\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}$

Como la media armónica es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números (que acabamos de calcular como $\dfrac{7}{12}$ ), concluimos que la media armónica es $\dfrac{12}{7}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The reciprocals of $1$ , $2$ , and $4$ are $\dfrac11$ , $\dfrac12$ , and $\dfrac14$ , respectively. The average of these reciprocals is $\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}$

As the harmonic mean is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers (which we just calculated to be $\dfrac{7}{12}$ ), we conclude that the harmonic mean is $\dfrac{12}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Abby, Bridget y cuatro de sus compañeros se sentarán en dos filas de tres para una foto grupal, como se muestra. $\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}$ Si las posiciones de los asientos se asignan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que Abby y Bridget queden adyacentes en la misma fila o la misma columna?

Abby, Bridget, and four of their classmates will be seated in two rows of three for a group picture, as shown. $\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}$ If the seating positions are assigned randomly, what is the probability that Abby and Bridget are adjacent to each other in the same row or the same column?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Primero elige el asiento de Abby, luego cuenta cuántos asientos son adyacentes a él.

First choose Abby’s seat, then count how many seats are adjacent to it.

Pista grande:

Los asientos del centro y los asientos de las esquinas tienen distintas cantidades de asientos adyacentes.

Middle seats and corner seats have different numbers of adjacent seats.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Podemos dividir el problema en dos casos. En el caso $1,$ Abby está en uno de los dos asientos del centro, y en el caso $2,$ está en uno de los $4$ asientos exteriores.

Primero observa que hay una probabilidad de $\dfrac26 = \dfrac13$ de que el caso $1$ sea cierto (es decir, que Abby esté en uno de los dos asientos del centro). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en uno de los dos asientos junto a Abby en la misma fila, o en la misma columna que ella. Hay $3$ formas de lograrlo entre los $5$ asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es $\frac35$ . Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es $\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .$

Luego observa que hay una probabilidad de $\dfrac46 = \dfrac23$ de que el caso $2$ sea cierto (es decir, que Abby esté en los cuatro asientos exteriores). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en el único asiento junto a Abby en la misma fila, o en la misma columna que Abby. Hay $2$ formas de lograrlo entre los $5$ asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es $\frac25$ . Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es $\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .$

Por lo tanto, la probabilidad final de que ocurra cualquiera de estos casos es $\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .$

Así, C es la respuesta correcta.

We can split the problem into two cases. In case $1,$ Abby is in one of the middle two seats, and in case $2,$ she is in one of the outer $4$ seats.

Firstly notice that there is a $\dfrac26 = \dfrac13$ probability of case $1$ being true (i.e. Abby is in the middle two seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must be in either of the two seats beside Abby in the same row, or she is in the same column as her. There are $3$ ways to make this happen out of a possible $5$ open seats, so there is a $\frac35$ chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is $\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .$

Next, notice that there is a $\dfrac46 = \dfrac23$ probability of case $2$ being true (i.e. Abby is in the outer four seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must either be in the single seat next to Abby in the same row, or she is in the same column as Abby. There are $2$ ways to make this happen out of a possible $5$ open seats, so there is a $\frac25$ chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is $\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .$

Therefore, the final probability of either of these cases happening is $\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .$

Thus, C is the correct answer.

12.

El reloj del auto de Sri, que no es preciso, se adelanta a una tasa constante. Un día, al empezar a comprar, nota que el reloj de su auto y su reloj de pulsera (que sí es preciso) marcan ambos las $12{:}00$ del mediodía. Cuando termina de comprar, su reloj de pulsera marca las $12{:}30$ y el reloj del auto marca las $12{:}35.$ Más tarde ese día, Sri pierde su reloj de pulsera. Mira el reloj del auto y marca las $7{:}00.$ ¿Cuál es la hora real?

The clock in Sri’s car, which is not accurate, gains time at a constant rate. One day as he begins shopping he notes that his car clock and his watch (which is accurate) both say $12{:}00$ noon. When he is done shopping, his watch says $12{:}30$ and his car clock says $12{:}35.$ Later that day, Sri loses his watch. He looks at his car clock and it says $7{:}00.$ What is the actual time?

$5:50$

$6:00$

$6:30$

$6:55$

$8:10$

Conceptos:reloj razón y proporción

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Compara cuánto tiempo se adelanta el reloj del auto con cuánto tiempo real transcurre.

Compare how much time the car clock gains to how much real time passes.

Pista grande:

Los $35$ minutos del reloj del auto corresponden a $30$ minutos reales.

The car clock’s $35$ minutes correspond to $30$ actual minutes.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Empezando desde las $12:00$ del mediodía, después de que transcurren $30$ minutos reales, el reloj del auto se adelantó $35$ minutos.

Por lo tanto, por cada minuto que se adelanta el reloj del auto, transcurren $\frac {30}{35} = \frac 67$ minutos de tiempo real. Desde las $12:00$ hasta las $7:00,$ el reloj del auto se adelanta $7\cdot 60 = 420$ minutos, y por lo tanto han transcurrido $420 \cdot \frac67 = 360$ minutos, es decir, $6$ horas de tiempo real. Si empezamos a las $12:00$ y pasan $6$ horas, la hora es $6:00 .$

Así, B es la respuesta correcta.

Starting from $12:00$ noon, after $30$ minutes of time elapsed, the car clock went $35$ minutes ahead.

Therefore, for every minute the car clock goes ahead, $\frac {30}{35} = \frac 67$ minutes of actual time pass by. From the time $12:00$ to $7:00,$ the car clock goes ahead $7\cdot 60 = 420$ minutes, and therefore, $420 \cdot \frac67 = 360$ minutes, or $6$ hours, of actual time have passed by. If we start at $12:00$ and $6$ hours pass by, the time is $6:00 .$

Thus, B is the correct answer.

13.

Laila hizo cinco exámenes de matemáticas, cada uno con un máximo de $100$ puntos. La calificación de Laila en cada examen fue un entero entre $0$ y $100,$ inclusive. Laila obtuvo la misma calificación en los primeros cuatro exámenes, y obtuvo una calificación mayor en el último examen. Su calificación promedio en los cinco exámenes fue $82.$ ¿Cuántos valores son posibles para la calificación de Laila en el último examen?

Laila took five math tests, each worth a maximum of $100$ points. Laila’s score on each test was an integer between $0$ and $100,$ inclusive. Laila received the same score on the first four tests, and she received a higher score on the last test. Her average score on the five tests was $82.$ How many values are possible for Laila’s score on the last test?

$4$

$5$

$9$

$10$

$18$

Conceptos:media aritmética modular

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Sea $f$ la calificación repetida y $l$ la calificación del último examen.

Let the repeated score be $f$ and the last test score be $l$ .

Pista grande:

Usa $4f+l=410$ y el hecho de que $l$ es mayor que el promedio.

Use $4f+l=410$ and the fact that $l$ is larger than the average.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Como el promedio de los cinco exámenes es $82,$ la suma de sus calificaciones es $5\cdot82 = 410 .$

Sea $f$ la calificación de cada uno de los primeros $4$ exámenes y $l$ la del último.

Sabemos que $f < l \leq 100$ y $4f + l = 410.$ Como $410 = 4f + l < 5l ,$ se sigue que $\frac{410}{5} = 82 < l .$

Además, como $4f + l = 410 ,$ al dividir $410$ entre $4$ se obtiene residuo $2$ . Por ello, $l$ al dividirse entre $4$ también debe dejar residuo $2$ , pues $4f$ es divisible entre $4.$ Es decir, $l \equiv 2 \mod 4 .$ Como $82 < l \leq 100$ y $l \equiv 2 \mod 4,$ las únicas posibilidades para $l$ son $86,90,94,98.$ Esto da las cuatro soluciones $\begin{align*} (f,l) =& (81,86);\\ &(80,90);\\ &(79,94);\\ &(78,98) \end{align*}$ Por tanto, hay $4$ soluciones y A es la respuesta correcta.

Since the average score on the five tests is $82,$ the total score of those five tests must be $5\cdot82 = 410 .$

Now, let $f$ be the score on the first $4$ tests and let $l$ be the score for the last test.

We know that $f < l \leq 100$ and $4f + l = 410.$ And as $410 = 4f + l < 5l ,$ we know $\frac{410}{5} = 82 < l .$

Also, since $4f + l = 410 ,$ and dividing $410$ by $4$ gives us a remainder of $2,$ we know that dividing $l$ by $4$ must leave a remainder of $2$ as $4f$ will leave no remainder when divided by $4.$ Equivalently: $l \equiv 2 \mod 4 .$ Since $82 < l \leq 100$ and $l \equiv 2 \mod 4,$ the only options for $l$ are $86,90,94,98.$ This yields four distinct solutions as follows: $\begin{align*} (f,l) =& (81,86);\\ &(80,90);\\ &(79,94);\\ &(78,98) \end{align*}$ Therefore, there are $4$ solutions, and A is the correct answer.

14.

Sea $N$ el mayor número de cinco dígitos cuyos dígitos tienen un producto de $120.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Let $N$ be the greatest five-digit number whose digits have a product of $120.$ What is the sum of the digits of $N?$

$15$

$16$

$17$

$18$

$20$

Conceptos:dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Para maximizar el número de cinco dígitos, maximiza los dígitos de izquierda a derecha.

To maximize the five-digit number, maximize the digits from left to right.

Pista grande:

Cada dígito elegido debe dividir el producto restante que se requiere.

Each chosen digit must divide the remaining required product.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Para formar el mayor número posible de $5$ dígitos, debemos maximizar el primer dígito (el dígito de las decenas de millar).

El mayor número estrictamente menor que $10$ que divide a $120$ es $8,$ así que el primer dígito debe ser $8.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $15.$

De manera similar, ahora debemos maximizar el segundo dígito.

El mayor número menor que $10$ que divide a $15$ es $5,$ así que el segundo dígito es $5.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $3.$

Luego debemos maximizar el tercer dígito.

El mayor número menor que $10$ que divide a $3$ es $3,$ así que el tercer dígito es $3.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $1.$ Esto significa que los dígitos $4$ y $5$ son $1.$

Así, $N = 85311,$ por lo que la suma de los dígitos es $8+5+3+1+1=18$

Así, D es la respuesta correcta.

To make the largest possible $5$ digit number, we must maximize the first digit (the digit in the ten-thousands place).

The largest number that is strictly less than $10$ and divides $120$ is $8,$ so the first digit must be $8.$ Therefore, the product of the remaining number is $15.$

Similarly, we must now maximize the second digit.

The largest number that is less than $10$ and divides $15$ is $5,$ so the second digit is $5.$ Therefore, the product of the remaining number is $3.$

We must then maximize the third digit.

The largest number that is less than $10$ and divides $3$ is $3,$ so the third digit is $3.$ Therefore, the product of the remaining number is $1.$ This means the $4$ th and $5$ th digits are $1.$

This makes $N = 85311,$ so the sum of the digits is $8+5+3+1+1=18$

Thus, D is the correct answer.

15.

En el diagrama de abajo, un diámetro de cada uno de los dos círculos más pequeños es un radio del círculo más grande. Si los dos círculos más pequeños tienen un área combinada de $1$ unidad cuadrada, ¿cuál es el área de la región sombreada, en unidades cuadradas?

In the diagram below, a diameter of each of the two smaller circles is a radius of the larger circle. If the two smaller circles have a combined area of $1$ square unit, then what is the area of the shaded region, in square units?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

Conceptos:área del círculo escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Compara el radio de un círculo pequeño con el radio del círculo grande.

Compare the radius of a smaller circle to the radius of the larger circle.

Pista grande:

El área se escala según el cuadrado del factor de escala.

Area scales by the square of the scale factor.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea $A$ el área del círculo grande.

Como el diámetro de cada uno de los dos círculos pequeños es precisamente el radio del círculo grande, el radio de cada círculo pequeño es la mitad del radio del círculo grande.

Simbólicamente, si dejamos que $r_l$ sea el radio del círculo grande y $r_s$ el radio de cada círculo pequeño, entonces $r_s = \dfrac12 r_l$ Como el área del círculo grande es igual a $A=\pi r_l^2,$ el área de cada círculo pequeño es $\begin{align*}\pi r_s^2 &= \pi \left(\dfrac12 r_l\right)^2 \\&= \dfrac14 (\pi r_l^2)\\&=\dfrac14 A.\end{align*}$ Como el área combinada de dos de estos círculos pequeños es igual a $1$ unidad cuadrada, se sigue que $2\cdot \dfrac14 A=1$ unidad cuadrada, lo que implica que $A=2$ unidades cuadradas.

Como el área de la región sombreada es igual al área del círculo grande $(A)$ menos el área combinada de los dos círculos pequeños $(1),$ el área de la región sombreada es $A - 1=2-1=1$ unidad cuadrada.

Así, la respuesta correcta es D

Let $A$ be the area of the large circle.

Since the diameter of each of the two smaller circles is itself the radius of the larger circle, the radius of each smaller circle is half that of the larger circle.

Symbolically, if we allow $r_l$ to be the radius of the large circle and $r_s$ to be the radius of each of the smaller circles: $r_s = \dfrac12 r_l$ As the area of the larger circle is equal to $A=\pi r_l^2,$ the area of the smaller circles are equal to $\begin{align*}\pi r_s^2 &= \pi \left(\dfrac12 r_l\right)^2 \\&= \dfrac14 (\pi r_l^2)\\&=\dfrac14 A.\end{align*}$ As the area of two of these smaller circles combined is equal to $1$ square unit, then it follows that $2\cdot \dfrac14 A=1$ square unit, implying that $A=2$ square units.

As the area of the shaded region is equal to the area of the larger circle $(A)$ minus the combined area of the two smaller circles $(1),$ the area of the shaded region is $A - 1=2-1=1$ square unit.

Thus, the correct answer is D

16.

El profesor Chang tiene nueve libros de idiomas distintos alineados en un estante: dos de árabe, tres de alemán y cuatro de español. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los nueve libros en el estante manteniendo juntos los libros de árabe y manteniendo juntos los libros de español?

Professor Chang has nine different language books lined up on a bookshelf: two Arabic, three German, and four Spanish. How many ways are there to arrange the nine books on the shelf keeping the Arabic books together and keeping the Spanish books together?

$1440$

$2880$

$5760$

$182{,}440$

$362{,}880$

Conceptos:permutaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Trata los dos libros de árabe como un bloque y los cuatro libros de español como otro bloque.

Treat the two Arabic books as one block and the four Spanish books as one block.

Pista grande:

Ordena los cinco objetos, luego ordena los libros dentro de los bloques de árabe y de español.

Arrange the five objects, then arrange the books within the Arabic and Spanish blocks.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Como mantenemos juntos los libros de árabe y juntos los libros de español, podemos ver cada grupo como un solo bloque.

Así, hay $5$ objetos en el estante: tres libros de alemán, una colección de libros de árabe y una colección de libros de español. Hay $5!$ maneras de ordenar los $5$ objetos. Como ya tenemos los libros juntos, hay $2!$ maneras de ordenar los libros de árabe y $4!$ maneras de ordenar los libros de español. Por lo tanto, el número total de maneras de ordenar los libros es $\begin{align*}5! \cdot 4! \cdot 2! &= 120 \cdot 24 \cdot 2 \\&= 5760 \end{align*}$

Así, la respuesta correcta es C.

Since we are keeping the Arabic books together and the Spanish books together, we can look at each group as a single block.

As such, there are $5$ objects on the bookshelf: three German books, one collection of Arabic books, and one collection of Spanish books. There are $5!$ ways to order the $5$ objects. As we already have the books together, there are $2!$ ways of ordering the Arabic books and $4!$ ways of ordering the Spanish books. Therefore, the total ways to order the books is $\begin{align*}5! \cdot 4! \cdot 2! &= 120 \cdot 24 \cdot 2 \\&= 5760 \end{align*}$

Thus, the correct answer is C.

17.

Bella empieza a caminar desde su casa hacia la casa de su amiga Ella. Al mismo tiempo, Ella empieza a andar en bicicleta hacia la casa de Bella. Cada una mantiene una velocidad constante, y Ella anda $5$ veces más rápido de lo que Bella camina. La distancia entre sus casas es de $2$ millas, es decir, $10{,}560$ pies, y Bella cubre $2 \tfrac{1}{2}$ pies con cada paso. ¿Cuántos pasos dará Bella para cuando se encuentre con Ella?

Bella begins to walk from her house toward her friend Ella’s house. At the same time, Ella begins to ride her bicycle toward Bella’s house. They each maintain a constant speed, and Ella rides $5$ times as fast as Bella walks. The distance between their houses is $2$ miles, which is $10{,}560$ feet, and Bella covers $2 \tfrac{1}{2}$ feet with each step. How many steps will Bella take by the time she meets Ella?

$704$

$845$

$1056$

$1760$

$3520$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Como Ella es $5$ veces más rápida que Bella, divide la distancia en la razón $1:5$ .

Since Ella is $5$ times as fast as Bella, split the distance in the ratio $1:5$ .

Pista grande:

Después de hallar la distancia que camina Bella en pies, divide entre $2\frac12$ pies por paso.

After finding Bella’s walking distance in feet, divide by $2\frac12$ feet per step.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Como por cada pie que camina Bella, Ella recorre $5$ pies, sabemos que Bella caminará $\frac16$ de la distancia entre las dos casas, así que camina $\dfrac16 \cdot 10560=1760$ pies. Como camina $2.5$ pies por paso, da $\dfrac{1760}{2.5} = 704$ pasos para cuando se encuentra con Ella.

Así, A es la respuesta correcta.

Since for every foot Bella walks, Ella rides $5$ feet, we know that Bella will walk $\frac16$ of the distance between the two houses, and so she walks $\dfrac16 \cdot 10560=1760$ feet. Since she walks $2.5$ feet per step, she takes $\dfrac{1760}{2.5} = 704$ steps by the time she meets Ella.

Thus, A is the correct answer.

18.

¿Cuántos factores positivos tiene $23{,}232$ ?

How many positive factors does $23{,}232$ have?

$9$

$12$

$28$

$36$

$42$

Conceptos:factorización en primos conteo de factores

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Descompón $23,232$ en factores primos.

Prime-factorize $23,232$ .

Pista grande:

Si $n=p^a q^b r^c$ , entonces su número de factores positivos es $(a+1)(b+1)(c+1)$ .

If $n=p^a q^b r^c$ , then its number of positive factors is $(a+1)(b+1)(c+1)$ .

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

La factorización prima es $23{,}232=2^6\cdot3\cdot11^2.$ Para formar un divisor, el exponente puede elegirse de $0$ a $6$ para el factor $2$ , de $0$ a $1$ para el factor $3$ , y de $0$ a $2$ para el factor $11$ . Por lo tanto, el número de divisores positivos es $(6+1)(1+1)(2+1)=42.$

Así, E es la respuesta correcta.

The prime factorization is $23{,}232=2^6\cdot3\cdot11^2.$ A divisor may use any exponent from $0$ through $6$ on $2$ , from $0$ through $1$ on $3$ , and from $0$ through $2$ on $11$ . Therefore, the number of positive divisors is $(6+1)(1+1)(2+1)=42.$

Thus, E is the correct answer.

19.

En una pirámide de signos, una celda recibe un “+” si las dos celdas debajo de ella tienen el mismo signo, y recibe un “-” si las dos celdas debajo de ella tienen signos diferentes. El diagrama de abajo ilustra una pirámide de signos con cuatro niveles. ¿Cuántas maneras posibles hay de llenar las cuatro celdas de la fila inferior para producir un “+” en la cima de la pirámide?

In a sign pyramid a cell gets a “+” if the two cells below it have the same sign, and it gets a “-” if the two cells below it have different signs. The diagram below illustrates a sign pyramid with four levels. How many possible ways are there to fill the four cells in the bottom row to produce a “+” at the top of the pyramid?

$2$

$4$

$8$

$12$

$16$

Conceptos:paridad principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Si conoces una celda inferior y la celda encima de un par, la otra celda inferior queda determinada.

If you know one lower cell and the cell above a pair, the other lower cell is forced.

Pista grande:

Trabaja de arriba hacia abajo, contando cuántas opciones aparecen en cada nueva fila.

Work downward from the top, counting how many choices appear at each new row.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Supongamos que tenemos dos celdas y la celda encima de ellas. Si nos dan la celda inferior izquierda y la celda superior, siempre podemos hallar la celda inferior derecha como sigue:

Si la celda superior es $+,$ entonces la celda inferior derecha debe ser igual a la celda inferior izquierda, y si la celda superior es $-,$ la celda inferior derecha debe ser la opuesta a la celda inferior izquierda.

Ahora, supongamos que nos dan una fila. Luego, supongamos que elegimos un valor para la celda que está debajo y a la izquierda de la celda más a la izquierda de nuestra fila dada. Entonces podemos determinar inductivamente toda la fila de abajo hallando primero la celda inferior derecha de la celda más a la izquierda de nuestra fila, y usando esa celda recién hallada como referencia inferior izquierda para la segunda celda desde la izquierda de la fila dada, para hallar su celda inferior derecha correspondiente. El proceso continúa hasta que la fila debajo de la fila dada queda completamente resuelta.

Por lo tanto, como sabemos que la fila superior tiene una celda con $+,$ tenemos $2$ opciones para la fila de abajo, dependiendo de nuestra elección de la celda inferior izquierda. De igual modo, tenemos $2$ opciones para la tercera fila, y así $2$ opciones para la cuarta fila. Esto da $2\cdot2\cdot2=8$ opciones totales para la fila inferior de la pirámide de signos.

Así, la respuesta correcta es C.

Suppose we have two cells and the cell above them. If we are given the bottom left cell and the top cell, we can always find the bottom right cell as follows:

If the top cell is $+,$ then the bottom right cell must be the same as the bottom left cell, and if the top cell is $-,$ the bottom right cell must be the opposite of the bottom left cell.

Now, suppose we are given a row. Then, suppose we choose a value for the cell below and to the left of the leftmost cell in our given row. We then can inductively determine the entire row below our given by first finding the bottom-right cell of the leftmost cell in our row, and using that newly found cell as the bottom-left reference for the second to the left cell in the given row to find its bottom-right counterpart. The process continues on until the row below the given row is fully solved.

Therefore, since we know that the top row has a cell labelled $+,$ we have $2$ choices for the row below, depending on our choice of the bottom-left cell. Similarly, we have $2$ choices for the third row, and thus $2$ choices for the fourth row. This makes $2\cdot2\cdot2=8$ total choices for the bottom row of the sign pyramid.

Thus, the correct answer is C.

20.

En $\triangle ABC,$ un punto $E$ está en $\overline{AB}$ con $AE=1$ y $EB=2.$ El punto $D$ está en $\overline{AC}$ de modo que $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ y el punto $F$ está en $\overline{BC}$ de modo que $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ ¿Cuál es la razón del área de $CDEF$ al área de $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC,$ a point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE=1$ and $EB=2.$ Point $D$ is on $\overline{AC}$ so that $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ and point $F$ is on $\overline{BC}$ so that $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ What is the ratio of the area of $CDEF$ to the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Usa la semejanza que se obtiene de las dos condiciones de rectas paralelas.

Use similarity from the two parallel-line conditions.

Pista grande:

Compara las áreas de los dos triángulos pequeños de las esquinas con el área de $\triangle ABC$ .

Compare the areas of the two small corner triangles to the area of $\triangle ABC$ .

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Denotemos el área de $\triangle ABC$ por $t.$ Como $DE \parallel BC$ y $FE \parallel CA ,$ se deduce que $ADE \sim ABC$ y $EFB \sim ABC.$ Como $AE = \dfrac{AB}3,$ el área de $ADE$ es $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Como $EB = \dfrac{2AB}3,$ el área de $EFB$ es $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Para hallar el área de $CDEF,$ restamos del área de $ABC =t$ las áreas de $ADE$ y $EFB.$ Esto equivale a $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Por tanto, la razón entre las áreas de $CDEF$ y $ABC$ es $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Así, A es la respuesta correcta.

Let the area of $\triangle ABC$ be equal to $t.$ Since $DE \parallel BC$ and $FE \parallel CA ,$ we can deduce that $ADE \sim ABC$ and $EFB \sim ABC.$ Since $AE = \dfrac{AB}3,$ the area of $ADE$ is equal to $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Since $EB = \dfrac{2AB}3,$ the area of $EFB$ is equal to $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Finally, to find the area of $CDEF,$ we take the area of $ABC =t$ and subtract the areas of $ADE$ and $EFB.$ This is equivalent to the expression $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Therefore, the ratio of the area of $CDEF$ and $ABC$ is $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Thus, A is the correct answer.

21.

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos tienen residuo $2$ al dividirse entre $6,$ residuo $5$ al dividirse entre $9,$ y residuo $7$ al dividirse entre $11$ ?

How many positive three-digit integers have a remainder of $2$ when divided by $6,$ a remainder of $5$ when divided by $9,$ and a remainder of $7$ when divided by $11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:Teorema chino del resto mínimo común múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Cada condición de residuo dice que el número es $4$ menos que un múltiplo del divisor.

Each remainder condition says the number is $4$ less than a multiple of the divisor.

Pista grande:

Cuenta los números de tres dígitos de la forma $198k-4$ .

Count three-digit numbers of the form $198k-4$ .

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Cada residuo pedido es $4$ menos que su divisor, así que $x+4$ debe ser divisible por $6,9,$ y $11$ . Por consiguiente, $x+4$ es múltiplo de $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198.$

Para un número $x$ de tres cifras, tenemos $104\le x+4\le1003$ . Los múltiplos de $198$ en este intervalo son $198,396,594,792,990$ , lo que da $5$ enteros posibles.

Así, E es la respuesta correcta.

Each required remainder is $4$ less than its divisor, so $x+4$ must be divisible by $6,9,$ and $11$ . Hence $x+4$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198.$

For a three-digit $x$ , we have $104\le x+4\le1003$ . The multiples of $198$ in this interval are $198,396,594,792,990$ , giving $5$ possible integers.

Thus, E is the correct answer.

22.

El punto $E$ es el punto medio del lado $\overline{CD}$ en el cuadrado $ABCD,$ y $\overline{BE}$ corta a la diagonal $\overline{AC}$ en $F.$ El área del cuadrilátero $AFED$ es $45.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Point $E$ is the midpoint of side $\overline{CD}$ in square $ABCD,$ and $\overline{BE}$ meets diagonal $\overline{AC}$ at $F.$ The area of quadrilateral $AFED$ is $45.$ What is the area of $ABCD?$

$100$

$108$

$120$

$135$

$144$

Conceptos:semejanza cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado.

Let the square have side length $s$ .

Pista grande:

Halla el triángulo pequeño que se recorta de $\triangle ACD$ , luego réstalo de la mitad del cuadrado.

Find the small triangle cut from $\triangle ACD$ , then subtract it from half the square.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado, y sea $H$ el pie de la perpendicular desde $F$ hasta $\overline{BC}.$ Los triángulos rectángulos $CAB$ y $CFH$ son semejantes, por lo que $CH=FH.$ Además, los triángulos $BFH$ y $BEC$ son semejantes, y por ello $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$ Como $EC=\frac{s}{2},$ $BC=s,$ y $BH=s-CH=s-FH,$ obtenemos $\frac{2FH}{s}=1-\frac{FH}{s},$ y entonces $FH=CH=\frac{s}{3}.$

Así, el triángulo $EFC$ tiene base $EC=\frac{s}{2}$ y altura $CH=\frac{s}{3},$ por lo que su área es $\frac{s^2}{12}.$ Por consiguiente, $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$ Como esta área es $45$ , se obtiene $s^2=108$ , que es el área del cuadrado.

Let the square have side length $s,$ and let $H$ be the foot of the perpendicular from $F$ to $\overline{BC}.$ The right triangles $CAB$ and $CFH$ are similar, so $CH=FH.$ Also, triangles $BFH$ and $BEC$ are similar, giving $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$ Since $EC=\frac{s}{2},$ $BC=s,$ and $BH=s-CH=s-FH,$ this becomes $\frac{2FH}{s}=1-\frac{FH}{s},$ so $FH=CH=\frac{s}{3}.$

Thus triangle $EFC$ has base $EC=\frac{s}{2}$ and height $CH=\frac{s}{3},$ so its area is $\frac{s^2}{12}.$ Therefore $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$ Since this area is $45$ , we get $s^2=108$ , the area of the square.

23.

A partir de un octágono regular, se forma un triángulo conectando tres vértices del octágono elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los lados del triángulo sea también un lado del octágono?

From a regular octagon, a triangle is formed by connecting three randomly chosen vertices of the octagon. What is the probability that at least one of the sides of the triangle is also a side of the octagon?

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{5}{42}$

$\dfrac{11}{14}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{6}{7}$

Conceptos:conteo complementario estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa conteo complementario: cuenta los triángulos que no tienen vértices elegidos adyacentes.

Use complementary counting: count triangles with no adjacent chosen vertices.

Pista grande:

Después de fijar un vértice, cuenta los espacios positivos alrededor del octágono entre los vértices elegidos.

After fixing one vertex, count the positive gaps around the octagon between the chosen vertices.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Contemos el complemento: los triángulos sin dos vértices elegidos adyacentes. A partir de un vértice elegido, sean $x,y,z$ las cantidades positivas de vértices no elegidos en los tres espacios. Entonces $x+y+z=5$ , que tiene $\binom42=6$ soluciones positivas.

Hay $8$ opciones para el vértice inicial, y cada triángulo se cuenta desde cada uno de sus $3$ vértices, por lo que el complemento contiene $\frac{8\cdot6}{3}=16$ triángulos. De los $\binom83=56$ triángulos totales, la probabilidad pedida es $1-\frac{16}{56}=\frac{5}{7}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Count the complement: triangles with no two chosen vertices adjacent. Starting at a chosen vertex, let $x,y,z$ be the positive numbers of unchosen vertices in the three gaps. Then $x+y+z=5$ , which has $\binom42=6$ positive solutions.

There are $8$ choices for the starting vertex, and each triangle is counted from each of its $3$ vertices, so the complement contains $\frac{8\cdot6}{3}=16$ triangles. Out of $\binom83=56$ total triangles, the desired probability is $1-\frac{16}{56}=\frac{5}{7}.$

Thus, D is the correct answer.

24.

En el cubo $ABCDEFGH$ con vértices opuestos $C$ y $E,$ $J$ e $I$ son los puntos medios de las aristas $\overline{FB}$ y $\overline{HD},$ respectivamente. Sea $R$ la razón del área de la sección transversal $EJCI$ al área de una de las caras del cubo. ¿Cuánto vale $R^2$ ?

In the cube $ABCDEFGH$ with opposite vertices $C$ and $E,$ $J$ and $I$ are the midpoints of edges $\overline{FB}$ and $\overline{HD},$ respectively. Let $R$ be the ratio of the area of the cross-section $EJCI$ to the area of one of the faces of the cube. What is $R^2?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{25}{16}$

$\dfrac{9}{4}$

Conceptos:geometría del cubo rombo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

El cuadrilátero $EJCI$ es un rombo, así que usa sus diagonales.

The quadrilateral $EJCI$ is a rhombus, so use its diagonals.

Pista grande:

Expresa las diagonales $IJ$ y $CE$ en términos de la longitud del lado del cubo.

Express the diagonals $IJ$ and $CE$ in terms of the cube side length.

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea $s$ la longitud de una arista del cubo. Como cada lado de la sección transversal tiene la misma longitud, concluimos que $EJCI$ es un rombo. Su área es $\frac12 IJ\cdot CE,$ la mitad del producto de sus diagonales. Por el teorema de Pitágoras, $IJ=FH=s\sqrt{2}.$ Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, $\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}$ Por lo tanto, $\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}$ Así, $R^2=\dfrac32,$ y la respuesta correcta es C.

Allow $s$ to represent the length of an edge of the cube. Noting that each side of the cross section is equal in length, we conclude that $EJCI$ is a rhombus. The area of this rhombus can be calculated as $\frac12 IJ\cdot CE,$ as the area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals. Using the Pythagorean Theorem: $IJ=FH=s\sqrt{2}.$ Similarly, using the Pythagorean Theorem again lets us see that: $\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}$ Therefore, $\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}$ Thus, $R^2=\dfrac32,$ and the correct answer is C.

25.

¿Cuántos cubos perfectos hay entre $2^8+1$ y $2^{18}+1,$ inclusive?

How many perfect cubes lie between $2^8+1$ and $2^{18}+1,$ inclusive?

$4$

$9$

$10$

$57$

$58$

Conceptos:potencia perfecta conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Un cubo perfecto en el intervalo tiene la forma $n^3$ .

A perfect cube in the interval has the form $n^3$ .

Pista grande:

Compara los límites con $6^3,7^3,64^3,$ y $65^3$ .

Compare the bounds to $6^3,7^3,64^3,$ and $65^3$ .

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Como $6^3=216<257$ y $257<343=7^3$ , el menor cubo del intervalo es $7^3$ . Además, $64^3=2^{18}<2^{18}+1<65^3$ , así que el mayor cubo es $64^3$ .

Por tanto, las raíces cúbicas enteras son $7,8,\ldots,64$ , un total de $64-7+1=58$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Because $6^3=216<257$ and $257<343=7^3$ , the smallest cube in the interval is $7^3$ . Also, $64^3=2^{18}<2^{18}+1<65^3$ , so the largest cube is $64^3$ .

The integer cube roots are therefore $7,8,\ldots,64$ , a total of $64-7+1=58$ .

Thus, E is the correct answer.