Soluciones del 2018 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2018 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Un parque de diversiones tiene una colección de modelos a escala, con una razón de $1: 20,$ de edificios y otros lugares de interés de todo el país. La altura del Capitolio de Estados Unidos es de $289$ pies. ¿Cuál es la altura en pies de su réplica en este parque, redondeada al número entero más cercano?

An amusement park has a collection of scale models, with a ratio of $1: 20,$ of buildings and other sights from around the country. The height of the United States Capitol is $289$ feet. What is the height in feet of its replica at this park, rounded to the nearest whole number?

$14$

$15$

$16$

$18$

$20$

Conceptos:razón y proporción estimación

Nivel de dificultad: 370

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea la altura de la réplica igual a $h.$ Como la razón del modelo a escala respecto al mundo real es $1:20,$ sabemos que $h:289 = 1:20$ Por lo tanto: $\begin{align*} \dfrac{h}{289}&= \dfrac{1}{20} \\ h&=\dfrac{289}{20} \\ h&=14.45 \approx 14\end{align*}$ Así, la respuesta correcta es A.

Let the height of the replica be $h.$ Since the ratio of the scale model to the real world is $1:20,$ we know that $h:289 = 1:20$ Therefore: $\begin{align*} \dfrac{h}{289}&= \dfrac{1}{20} \\ h&=\dfrac{289}{20} \\ h&=14.45 \approx 14\end{align*}$ Thus, the correct answer is A.

2.

¿Cuál es el valor del producto $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)? \end{align*}$

What is the value of the product $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)? \end{align*}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{7}{2}$

$7$

$8$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 660

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Solución escrita:

Primero notemos que si tenemos una expresión de la forma $1 + \frac{1}{n},$ podemos reescribirla como $\frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.$ Con esto en mente, podemos reescribir la expresión dada en el problema, como se muestra a continuación: $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\\ &=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{5}{4} \cdot\dfrac{6}{5} \cdot\dfrac{7}{6}\\ &=7 \end{align*}$ Así, la respuesta correcta es D.

Let's first note that if we are given an expression of the form $1 + \frac{1}{n},$ we can rewrite this as $\frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.$ With that in mind, we can rewrite the expression given to us in the problem, as shown below: $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\\ &=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{5}{4} \cdot\dfrac{6}{5} \cdot\dfrac{7}{6}\\ &=7 \end{align*}$ Thus, the correct answer is D.

3.

Los estudiantes Arn, Bob, Cyd, Dan, Eve y Fon están dispuestos en ese orden en un círculo. Empiezan a contar: primero Arn, luego Bob, y así sucesivamente. Cuando el número contiene un 7 como dígito (como 47) o es un múltiplo de 7, esa persona sale del círculo y el conteo continúa. ¿Quién es la última persona que queda en el círculo?

Students Arn, Bob, Cyd, Dan, Eve, and Fon are arranged in that order in a circle. They start counting: Arn first, then Bob, and so forth. When the number contains a 7 as a digit (such as 47) or is a multiple of 7 that person leaves the circle and the counting continues. Who is the last one present in the circle?

$\text{Arn}$

$\text{Bob}$

$\text{Cyd}$

$\text{Dan}$

$\text{Eve}$

Conceptos:divisibilidad dígitos simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Observa que los primeros 5 números que contienen un $7$ como dígito o son múltiplos de $7$ son $7,14,17,21,27.$ Cualquier jugador que caiga en uno de estos números debe salir del círculo.

Con esto en mente, empecemos a contar. Al inicio tenemos a las $6$ personas, comenzando con $A$ (Arn). Después de que todos dicen un número, $A$ debe decir $7,$ así que sale del círculo.

Ahora el círculo tiene $5$ integrantes: $B$ (Bob), $C$ (Cyd), $D$ (Dan), $E$ (Eve) y $F$ (Fon), y $B$ reinicia su conteo en $8.$ Todos en el círculo cuentan sin incidentes, y da la vuelta de modo que Bob dice $13.$ Sin embargo, esto deja a Cyd diciendo $14,$ y sale del círculo.

Ahora el círculo tiene $4$ integrantes: $B,D,E,F$ , y $D$ continúa el conteo en $15.$ $E$ dice $16,$ y $F$ dice $17,$ por lo que sale del círculo.

Ahora el círculo tiene $3$ integrantes: $B,D,E$ , y $B$ continúa el conteo en $18.$ El conteo da la vuelta, y $B$ dice $21,$ por lo que sale del círculo.

Ahora el círculo tiene $2$ integrantes: $D,E$ , y $D$ empieza en $22.$ Van de un lado a otro, con $D$ diciendo números pares y $E$ diciendo números impares. Así, con el tiempo $E$ debe decir $27,$ y por lo tanto sale del círculo. Esto hace que $D$ (Dan) sea el último que queda en el círculo.

Así, D es la respuesta correcta.

Notice that the first 5 numbers that contains a $7$ as its digit or are a multiple of $7$ are $7,14,17,21,27.$ Any player who lands on one of these numbers must leave the circle.

With this in mind, let's start counting. Initially, we have all $6$ people, starting with $A$ (Arn). After everyone says a number, $A$ must say $7,$ so he leaves the circle.

The circle now has $5$ members: $B$ (Bob), $C$ (Cyd), $D$ (Dan), $E$ (Eve), and $F$ (Fon) -- with $B$ restarting his counting at $8.$ Everyone in the circle counts without incident, and it loops around such that Bob says $13.$ However, this leaves Cyd to say $14,$ and he leaves the circle.

The circle now has $4$ members: $B,D,E,F$ -- with $D$ continuing the counting at $15.$ $E$ says $16,$ and $F$ says $17,$ and therefore leaves the circle.

The circle now has $3$ members: $B,D,E$ -- with $B$ continuing the counting at $18.$ The counting loops around, and $B$ says $21,$ and therefore leaves the circle.

The circle now has $2$ members: $D,E$ -- with $D$ starting at $22.$ They go back and forth, with $D$ saying even numbers and $E$ saying odd numbers. As such, eventually, $E$ must say $27,$ and as such, leaves the circle. This makes $D$ -- Dan -- the last one left in the circle.

Thus, D is the correct answer.

4.

La figura de doce lados que se muestra está dibujada sobre papel cuadriculado de $1 \text{ cm}\times 1 \text{ cm}$ . ¿Cuál es el área de la figura en $\text{cm}^2$ ?

The twelve-sided figure shown has been drawn on $1 \text{ cm}\times 1 \text{ cm}$ graph paper. What is the area of the figure in $\text{cm}^2?$

$12$

$12.5$

$13$

$13.5$

$14$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Para hallar el área de la figura, separamos la forma compuesta en partes más fáciles de manejar, así:

Como ahora queda claro, hay un cuadrado central de $3 \times 3$ , rodeado por $4$ triángulos sombreados más pequeños.

El área del cuadrado es $3 \cdot 3 = 9.$ Cada uno de los otros triángulos tiene una base de $2$ y una altura de $1,$ así que su área es igual a $\dfrac{bh}{2} = \dfrac{2\cdot 1}{2} =1 .$ Hay $4$ de estos triángulos, por lo que su área total es $1\cdot 4 = 4.$

Por lo tanto, el área total es $9+4 = 13.$

Así, la respuesta correcta es C.

To solve for the area of the figure, we separate the compound shape into parts that are easier to work with, as such:

As is now clear, there is the center $3 \times 3$ square, with $4$ smaller shaded triangles surrounding it.

The area of the square is $3 \cdot 3 = 9.$ The other triangles each have a base of $2$ and a height of $1,$ so their area is equal to $\dfrac{bh}{2} = \dfrac{2\cdot 1}{2} =1 .$ There are $4$ of these triangles, so their total area is $1\cdot 4 = 4.$

Therefore, the total area is $9+4 = 13.$

Thus, the correct answer is C.

5.

¿Cuál es el valor de $\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}$

What is the value of $\begin{align*} &1+3+5+\cdots+2017+2019 \\ -&2-4-6-\cdots-2016-2018? \end{align*}$

$-1010$

$-1009$

$1008$

$1009$

$1010$

Conceptos:sucesión aritmética emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 870

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Solución escrita:

Reordenando los términos, observa que la expresión de la pregunta es igual a: $\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*}$ Cada término es igual a $1,$ y hay $\frac{2019-1}2+1 = 1010$ términos, así que la suma total es $1010\cdot1 = 1010.$

Así, E es la respuesta correcta.

Rearranging the terms, notice that the expression in the question is equal to: $\begin{align*}&1 + (3-2) + (5-4) + \cdots +\\ &(2017-2016) + (2019-2018). \end{align*}$ Each term is equal to $1,$ and there are $\frac{2019-1}2+1 = 1010$ terms, so the total sum is $1010\cdot1 = 1010.$

Thus, E is the correct answer.

6.

En un viaje a la playa, Anh recorrió 50 millas por la autopista y 10 millas por un camino de acceso costero. Condujo tres veces más rápido en la autopista que en el camino costero. Si Anh pasó 30 minutos conduciendo por el camino costero, ¿cuántos minutos duró todo su viaje?

On a trip to the beach, Anh traveled 50 miles on the highway and 10 miles on a coastal access road. He drove three times as fast on the highway as on the coastal road. If Anh spent 30 minutes driving on the coastal road, how many minutes did his entire trip take?

$50$

$70$

$80$

$90$

$100$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Anh recorrió $10$ millas por el camino costero en $30$ minutos. Por lo tanto, su velocidad en el camino costero (denotada $v_c$ ) es $\begin{align*}v_c&=\dfrac{10}{30}\\ &=\dfrac13.\end{align*}$ Esto es $\dfrac13$ de milla por minuto. Como conduce $3$ veces más rápido en la autopista (es decir, $v_h=3v_c$ ), su velocidad en la autopista es $3\cdot \dfrac13 = 1$ milla por minuto. Con estos dos datos, sabemos que Anh condujo $30$ minutos por el camino costero, y recorrió $50$ millas a $1$ milla por minuto. Esto significa que tarda $50$ minutos en recorrer las $50$ millas de la autopista.

Así, el tiempo total de viaje es $50+30=80$ minutos.

Así, la respuesta correcta es C.

Anh drove $10$ miles on the coastal road in $30$ minutes. Therefore, his speed on the coastal road (notated as $v_c$ ) is $\begin{align*}v_c&=\dfrac{10}{30}\\ &=\dfrac13.\end{align*}$ This is $\dfrac13$ mile per minute. Since he drives $3$ times as fast on the highway (i.e. $v_h=3v_c$ ), his highway speed is $3\cdot \dfrac13 = 1$ mile per minute. Armed with these two facts, we know that Anh drove for $30$ minutes on the coastal road, and he drove $50$ miles at $1$ mile per minute. This means it takes $50$ minutes to drive the $50$ miles on the highway.

As such, the total travel time is $50+30=80$ minutes.

Thus, the correct answer is C.

7.

El número de $5$ dígitos $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ es divisible entre $9.$ ¿Cuál es el residuo cuando este número se divide entre $8$ ?

The $5$ -digit number $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ is divisible by $9.$ What is the remainder when this number is divided by $8?$

$1$

$3$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Observa que un número es divisible entre $9$ si y solo si la suma de sus dígitos también es divisible entre $9.$

La suma de los dígitos del número de 5 cifras del problema es: $2+0+1+8+U= 11+U.$ Como $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ es divisible entre $9,$ $11+U$ también debe ser divisible entre $9.$ Además, como $U$ es un dígito, sabemos que $0\le U\le 9.$ Esto significa que $U$ solo puede ser $7.$

Ahora sabemos que el número de 5 cifras en cuestión es 20187, y queremos hallar el residuo al dividir 20187 entre 8. Para resolverlo, basta con hacer la división larga para ver que $20187=2523\cdot 8 + 3.$ Por lo tanto, el residuo es $3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Notice that a number is divisible by $9$ if and only if the sum of its digits is also divisible by $9.$

The sum of the digits of the 5-digit number in the problem is: $2+0+1+8+U= 11+U.$ As $\underline{2}$ $\underline{0}$ $\underline{1}$ $\underline{8}$ $\underline{U}$ is divisible by $9,$ $11+U$ must also be divisible by $9.$ Also, as $U$ is a digit, we know that $0\le U\le 9.$ This means that $U$ can only be $7.$

Now we know that the 5-digit number in question is 20187, and we want to find the remainder when we divide 20187 by 8. To solve this, simply use long division to see that $20187=2523\cdot 8 + 3.$ Therefore, the remainder is $3.$

Thus, the correct answer is B.

8.

El señor Garcia preguntó a los integrantes de su clase de salud cuántos días de la semana pasada hicieron ejercicio durante al menos 30 minutos. Los resultados se resumen en la siguiente gráfica de barras, donde las alturas de las barras representan el número de estudiantes.

¿Cuál fue el número medio de días de ejercicio de la semana pasada, redondeado a la centésima más cercana, que reportaron los estudiantes de la clase del señor Garcia?

Mr. Garcia asked the members of his health class how many days last week they exercised for at least 30 minutes. The results are summarized in the following bar graph, where the heights of the bars represent the number of students.

What was the mean number of days of exercise last week, rounded to the nearest hundredth, reported by the students in Mr. Garcia's class?

$3.50$

$3.57$

$4.36$

$4.50$

$5.00$

Conceptos:media interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

Contando el número de cada caso, vemos que hay 1 estudiante con $1$ , 3 con $2$ , 2 con $3$ , 6 con $4$ , 8 con $5$ , 3 con $6$ y 2 con $7$ .

Por lo tanto, hay $1+3+2+6+8+3+2 = 25$ estudiantes en total.

Por lo tanto, el número total de días de ejercicio es $\begin{align*}&1\cdot1+3\cdot2 + 2\cdot 3 + 6\cdot 4 \\ &+ 8\cdot 5 + 3\cdot 6 + 2\cdot 7 \\ &= 109\end{align*}$

El número medio de días de ejercicio es el número total de días dividido entre el número de estudiantes: $\dfrac{109}{25} \approx 4.36$

Así, C es la respuesta correcta.

Counting the number of each occurrence, we can see that there are 1 $1$ s, 3 $2$ s, 2 $3$ s, 6 $4$ s, 8 $5$ s, 3 $6$ s, and 2 $7$ s.

Therefore, there are $1+3+2+6+8+3+2 = 25$ students in total.

Therefore, the total number of days of exercise is $\begin{align*}&1\cdot1+3\cdot2 + 2\cdot 3 + 6\cdot 4 \\ &+ 8\cdot 5 + 3\cdot 6 + 2\cdot 7 \\ &= 109\end{align*}$

The mean number of days of exercise is the total number of days divided by the number of students: $\dfrac{109}{25} \approx 4.36$

Thus, C is the correct answer.

9.

Tyler está colocando baldosas en el piso de su sala de estar de 12 pies por 16 pies. Planea poner baldosas cuadradas de un pie por un pie para formar un borde a lo largo de las orillas de la habitación y cubrir el resto del piso con baldosas cuadradas de dos pies por dos pies. ¿Cuántas baldosas usará?

Tyler is tiling the floor of his 12 foot by 16 foot living room. He plans to place one-foot by one-foot square tiles to form a border along the edges of the room and to fill in the rest of the floor with two-foot by two-foot square tiles. How many tiles will he use?

$48$

$87$

$91$

$96$

$120$

Conceptos:teselado área

Nivel de dificultad: 1100

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Solución escrita:

Observa que cada pie cuadrado del borde requiere una baldosa, lo que significa que el borde ocupará $16+12+16+12=56$ baldosas. Sin embargo, esto genera baldosas superpuestas en cada una de las cuatro esquinas, así que para corregirlo restamos $4.$ Por lo tanto, el borde necesita $56-4=52$ baldosas cuadradas de $1\times 1$ para cubrirse por completo.

Como quitamos un pie de cada lado por el borde, el rectángulo restante mide $10$ pies por $14$ pies. Este debe cubrirse por completo con baldosas de $2 \times 2$ , así que se necesitan $\dfrac{10\cdot14}{2\cdot2} = 35$ baldosas en total para cubrir esta área.

Como se necesitan $52$ baldosas cuadradas de $1\times 1$ para el borde, y $35$ baldosas cuadradas de $2\times 2$ para el área restante, se necesitan $52+35=87$ baldosas en total para cubrir todo el piso de la sala de Tyler.

Así, la respuesta correcta es B.

Note that each square foot of the border would require one tile, meaning that the border will take $16+12+16+12=56$ tiles. However, notice that this will cause overlapping tiles in each of the four corners, so to fix this, we subtract $4.$ Therefore, the border will take $56-4=52$ $1\times 1$ square tiles to completely tile.

Since we have removed one foot from each side due to the border, the remaining rectangle is $10$ feet by $14$ feet. This must be tiled completely by $2 \times 2$ tiles, so it will take $\dfrac{10\cdot14}{2\cdot2} = 35$ tiles in total to tile this area.

As it takes $52$ $1\times 1$ square tiles to tile the border, and $35$ $2\times 2$ square tiles to tile the remaining area, it will take $52+35=87$ tiles in total to fill in Tyler's entire living room floor.

Thus, the correct answer is B.

10.

La media armónica de un conjunto de números distintos de cero es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números. ¿Cuál es la media armónica de $1,$ $2,$ y $4$ ?

The harmonic mean of a set of non-zero numbers is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers. What is the harmonic mean of $1,$ $2,$ and $4?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{7}{3}$

Conceptos:media armónica fracción

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

Los recíprocos de $1$ , $2$ y $4$ son $\dfrac11$ , $\dfrac12$ y $\dfrac14$ , respectivamente. El promedio de estos recíprocos es $\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}$

Como la media armónica es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números (que acabamos de calcular como $\dfrac{7}{12}$ ), concluimos que la media armónica es $\dfrac{12}{7}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The reciprocals of $1$ , $2$ , and $4$ are $\dfrac11$ , $\dfrac12$ , and $\dfrac14$ , respectively. The average of these reciprocals is $\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}$

As the harmonic mean is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers (which we just calculated to be $\dfrac{7}{12}$ ), we conclude that the harmonic mean is $\dfrac{12}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Abby, Bridget y cuatro de sus compañeros se sentarán en dos filas de tres para una foto grupal, como se muestra. $\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}$ Si las posiciones de los asientos se asignan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que Abby y Bridget queden adyacentes en la misma fila o la misma columna?

Abby, Bridget, and four of their classmates will be seated in two rows of three for a group picture, as shown. $\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}$ If the seating positions are assigned randomly, what is the probability that Abby and Bridget are adjacent to each other in the same row or the same column?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1210

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Solución escrita:

Podemos dividir el problema en dos casos. En el caso 1, Abby está en uno de los dos asientos del centro, y en el caso 2, está en uno de los 4 asientos exteriores.

Primero observa que hay una probabilidad de $\dfrac26 = \dfrac13$ de que el caso 1 sea cierto (es decir, que Abby esté en los dos asientos del centro). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en alguno de los dos asientos a la izquierda o los dos a la derecha de Abby, o en la misma columna que ella. Hay $3$ formas de lograrlo entre los $5$ asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es $\frac35$ . Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es $\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .$

Luego observa que hay una probabilidad de $\dfrac46 = \dfrac23$ de que el caso 2 sea cierto (es decir, que Abby esté en los cuatro asientos exteriores). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en el único asiento junto a Abby en la misma fila, o en la misma columna que Abby. Hay $2$ formas de lograrlo entre los $5$ asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es $\frac25$ . Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es $\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .$

Por lo tanto, la probabilidad final de que ocurra cualquiera de estos casos es $\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .$

Así, C es la respuesta correcta.

We can split the problem into two cases. In case 1, Abby is in one of the middle two seats, and in case 2, she is in one of the outer 4 seats.

Firstly notice that there is a $\dfrac26 = \dfrac13$ probability of case 1 being true (i.e. Abby is in the middle two seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must be in either of the two seats on the left or the two seats on the right of Abby, or she is in the same column as her. There are $3$ ways to make this happen out of a possible $5$ open seats, so there is a $\frac35$ chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is $\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .$

Next, notice that there is a $\dfrac46 = \dfrac23$ probability of case 2 being true (i.e. Abby is in the outer four seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must either be in the single seat next to Abby in the same row, or she is in the same column as Abby. There are $2$ ways to make this happen out of a possible $5$ open seats, so there is a $\frac25$ chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is $\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .$

Therefore, the final probability of either of these cases happening is $\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .$

Thus, C is the correct answer.

12.

El reloj del auto de Sri, que no es preciso, se adelanta a una tasa constante. Un día, al empezar a comprar, nota que el reloj de su auto y su reloj de pulsera (que sí es preciso) marcan ambos las 12:00 del mediodía. Cuando termina de comprar, su reloj de pulsera marca las 12:30 y el reloj del auto marca las 12:35. Más tarde ese día, Sri pierde su reloj de pulsera. Mira el reloj del auto y marca las 7:00. ¿Cuál es la hora real?

The clock in Sri's car, which is not accurate, gains time at a constant rate. One day as he begins shopping he notes that his car clock and his watch (which is accurate) both say 12:00 noon. When he is done shopping, his watch says 12:30 and his car clock says 12:35. Later that day, Sri loses his watch. He looks at his car clock and it says 7:00. What is the actual time?

$5:50$

$6:00$

$6:30$

$6:55$

$8:10$

Conceptos:reloj razón y proporción

Nivel de dificultad: 1140

Solución en video:

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Solución escrita:

Empezando desde las $12:00$ del mediodía, después de que transcurren $30$ minutos reales, el reloj del auto se adelantó $35$ minutos.

Por lo tanto, por cada minuto que se adelanta el reloj del auto, transcurren $\frac {30}{35} = \frac 67$ minutos de tiempo real. Desde las $12:00$ hasta las $7:00,$ el reloj del auto se adelanta $7\cdot 60 = 420$ minutos, y por lo tanto han transcurrido $420 \cdot \frac67 = 360$ minutos, es decir, $6$ horas de tiempo real. Si empezamos a las $12:00$ y pasan $6$ horas, la hora es $6:00 .$

Así, B es la respuesta correcta.

Starting from $12:00$ noon, after $30$ minutes of time elapsed, the car clock went $35$ minutes ahead.

Therefore, for every minute the car clock goes ahead, $\frac {30}{35} = \frac 67$ minutes of actual time pass by. From the time $12:00$ to $7:00,$ the car clock goes ahead $7\cdot 60 = 420$ minutes, and therefore, $420 \cdot \frac67 = 360$ minutes, or $6$ hours, of actual time have passed by. If we start at $12:00$ and $6$ hours pass by, the time is $6:00 .$

Thus, B is the correct answer.

13.

Laila hizo cinco exámenes de matemáticas, cada uno con un máximo de $100$ puntos. La calificación de Laila en cada examen fue un entero entre $0$ y $100,$ inclusive. Laila obtuvo la misma calificación en los primeros cuatro exámenes, y obtuvo una calificación mayor en el último examen. Su calificación promedio en los cinco exámenes fue $82.$ ¿Cuántos valores son posibles para la calificación de Laila en el último examen?

Laila took five math tests, each worth a maximum of $100$ points. Laila's score on each test was an integer between $0$ and $100,$ inclusive. Laila received the same score on the first four tests, and she received a higher score on the last test. Her average score on the five tests was $82.$ How many values are possible for Laila's score on the last test?

$4$

$5$

$9$

$10$

$18$

Conceptos:media aritmética modular

Nivel de dificultad: 1250

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la calificación promedio en los cinco exámenes es $82,$ la calificación total de esos cinco exámenes debe ser $5\cdot82 = 410 .$

Ahora, sea $f$ la calificación de los primeros 4 exámenes y sea $l$ la calificación del último examen.

Sabemos que $f < l \leq 100$ y $4f + l = 410.$ Y como $410 = 4f + l < 5l ,$ sabemos que $\frac{410}{5} = 82 < l .$

Además, como $4f + l = 410 ,$ y dividir $410$ entre $4$ deja un residuo de 2, sabemos que dividir $l$ entre $4$ también debe dejar un residuo de $2$ , ya que $4f$ no deja residuo al dividirse entre $4.$ De forma equivalente: $l \equiv 2 \mod 4 .$ Como $82 < l \leq 100$ y $l \equiv 2 \mod 4,$ las únicas opciones para $l$ son $86,90,94,98.$ Esto da cuatro soluciones distintas, como sigue: $\begin{align*} (f,l) =& (81,86);\\ &(80,90);\\ &(79,94);\\ &(78,98) \end{align*}$ Por lo tanto, hay $4$ soluciones, y A es la respuesta correcta.

Since the average score on the five tests is $82,$ the total score of those five tests must be $5\cdot82 = 410 .$

Now, let $f$ be the score on the first 4 tests and let $l$ be the score for the last test.

We know that $f < l \leq 100$ and $4f + l = 410.$ And as $410 = 4f + l < 5l ,$ we know $\frac{410}{5} = 82 < l .$

Also, since $4f + l = 410 ,$ and dividing $410$ by $4$ gives us a remainder of 2, we know that dividing $l$ by $4$ must leave a remainder of $2$ as $4f$ will leave no remainder when divided by $4.$ Equivalently: $l \equiv 2 \mod 4 .$ Since $82 < l \leq 100$ and $l \equiv 2 \mod 4,$ the only options for $l$ are $86,90,94,98.$ This yields four distinct solutions as follows: $\begin{align*} (f,l) =& (81,86);\\ &(80,90);\\ &(79,94);\\ &(78,98) \end{align*}$ Therefore, there are $4$ solutions, and A is the correct answer.

14.

Sea $N$ el mayor número de cinco dígitos cuyos dígitos tienen un producto de $120.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Let $N$ be the greatest five-digit number whose digits have a product of $120.$ What is the sum of the digits of $N?$

$15$

$16$

$17$

$18$

$20$

Conceptos:dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1140

Solución en video:

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Solución escrita:

Para formar el mayor número posible de $5$ dígitos, debemos maximizar el primer dígito (el dígito de las decenas de millar).

El mayor número estrictamente menor que $10$ que divide a $120$ es $8,$ así que el primer dígito debe ser $8.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $15.$

De manera similar, ahora debemos maximizar el segundo dígito.

El mayor número menor que $10$ que divide a $15$ es $5,$ así que el segundo dígito es $5.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $3.$

Luego debemos maximizar el tercer dígito.

El mayor número menor que $10$ que divide a $3$ es $3,$ así que el tercer dígito es $3.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $1.$ Esto significa que el cuarto y el quinto dígito son $1.$

Así, $N = 85311,$ por lo que la suma de los dígitos es $8+5+3+1+1=18$

Así, D es la respuesta correcta.

To make the largest possible $5$ digit number, we must maximize the first digit (the digit in the ten-thousands place).

The largest number that is strictly less than $10$ and divides $120$ is $8,$ so the first digit must be $8.$ Therefore, the product of the remaining number is $15.$

Similarly, we must now maximize the second digit.

The largest number that is less than $10$ and divides $15$ is $5,$ so the second digit is $5.$ Therefore, the product of the remaining number is $3.$

We must then maximize the third digit.

The largest number that is less than $10$ and divides $3$ is $3,$ so the third digit is $3.$ Therefore, the product of the remaining number is $1.$ This means the 4th and 5th digits are $1.$

This makes $N = 85311,$ so the sum of the digits is $8+5+3+1+1=18$

Thus, D is the correct answer.

15.

En el diagrama de abajo, un diámetro de cada uno de los dos círculos más pequeños es un radio del círculo más grande. Si los dos círculos más pequeños tienen un área combinada de $1$ unidad cuadrada, ¿cuál es el área de la región sombreada, en unidades cuadradas?

In the diagram below, a diameter of each of the two smaller circles is a radius of the larger circle. If the two smaller circles have a combined area of $1$ square unit, then what is the area of the shaded region, in square units?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

Conceptos:área del círculo escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1070

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $A$ el área del círculo grande.

Como el diámetro de cada uno de los dos círculos pequeños es precisamente el radio del círculo grande, el radio de cada círculo pequeño es la mitad del radio del círculo grande.

Simbólicamente, si dejamos que $r_l$ sea el radio del círculo grande y $r_s$ el radio de cada círculo pequeño: $r_s = \dfrac12 r_l$ Como el área del círculo grande es igual a $A=\pi r_l^2,$ el área de los círculos pequeños es igual a $\begin{align*}\pi r_s^2 &= \pi \left(\dfrac12 r_l\right)^2 \\&= \dfrac14 (\pi r_l^2)\\&=\dfrac14 A.\end{align*}$ Como el área combinada de dos de estos círculos pequeños es igual a 1 unidad cuadrada, se sigue que $2\cdot \dfrac14 A=1$ unidad cuadrada, lo que implica que $A=2$ unidades cuadradas.

Como el área de la región sombreada es igual al área del círculo grande $(A)$ menos el área combinada de los dos círculos pequeños $(1),$ el área de la región sombreada es $A - 1=2-1=1$ unidad cuadrada.

Así, la respuesta correcta es D

Let $A$ be the area of the large circle.

Since the diameter of each of the two smaller circles is itself the radius of the larger circle, the radius of each smaller circle is half that of the larger circle.

Symbolically, if we allow $r_l$ to be the radius of the large circle and $r_s$ to be the radius of each of the smaller circles: $r_s = \dfrac12 r_l$ As the area of the larger circle is equal to $A=\pi r_l^2,$ the area of the smaller circles are equal to $\begin{align*}\pi r_s^2 &= \pi \left(\dfrac12 r_l\right)^2 \\&= \dfrac14 (\pi r_l^2)\\&=\dfrac14 A.\end{align*}$ As the area of two of these smaller circles combined is equal to 1 square unit, then it follows that $2\cdot \dfrac14 A=1$ square unit, implying that $A=2$ square units.

As the area of the shaded region is equal to the area of the larger circle $(A)$ minus the combined area of the two smaller circles $(1),$ the area of the shaded region is $A - 1=2-1=1$ square unit.

Thus, the correct answer is D

16.

El profesor Chang tiene nueve libros de idiomas distintos alineados en un estante: dos de árabe, tres de alemán y cuatro de español. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los nueve libros en el estante manteniendo juntos los libros de árabe y manteniendo juntos los libros de español?

Professor Chang has nine different language books lined up on a bookshelf: two Arabic, three German, and four Spanish. How many ways are there to arrange the nine books on the shelf keeping the Arabic books together and keeping the Spanish books together?

$1440$

$2880$

$5760$

$182,440$

$362,880$

Conceptos:permutaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1100

Solución en video:

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Solución escrita:

Como mantenemos juntos los libros de árabe y juntos los libros de español, podemos ver cada grupo como un solo bloque.

Así, hay 5 objetos en el estante: tres libros de alemán, una colección de libros de árabe y una colección de libros de español. Hay $5!$ maneras de ordenar los $5$ objetos. Como ya tenemos los libros juntos, hay $2!$ maneras de ordenar los libros de árabe y $4!$ maneras de ordenar los libros de español. Por lo tanto, el número total de maneras de ordenar los libros es $\begin{align*}5! \cdot 4! \cdot 2! &= 120 \cdot 24 \cdot 2 \\&= 5760 \end{align*}$

Así, la respuesta correcta es C.

Since we are keeping the Arabic books together and the Spanish books together, we can look at each group as a single block.

As such, there are 5 objects on the bookshelf: three German books, one collection of Arabic books, and one collection of Spanish books. There are $5!$ ways to order the $5$ objects. As we already have the books together, there are $2!$ ways of ordering the Arabic books and $4!$ ways of ordering the Spanish books. Therefore, the total ways to order the books is $\begin{align*}5! \cdot 4! \cdot 2! &= 120 \cdot 24 \cdot 2 \\&= 5760 \end{align*}$

Thus, the correct answer is C.

17.

Bella empieza a caminar desde su casa hacia la casa de su amiga Ella. Al mismo tiempo, Ella empieza a andar en bicicleta hacia la casa de Bella. Cada una mantiene una velocidad constante, y Ella anda $5$ veces más rápido de lo que Bella camina. La distancia entre sus casas es de $2$ millas, es decir, $10,560$ pies, y Bella cubre $2 \tfrac{1}{2}$ pies con cada paso. ¿Cuántos pasos dará Bella para cuando se encuentre con Ella?

Bella begins to walk from her house toward her friend Ella's house. At the same time, Ella begins to ride her bicycle toward Bella's house. They each maintain a constant speed, and Ella rides $5$ times as fast as Bella walks. The distance between their houses is $2$ miles, which is $10,560$ feet, and Bella covers $2 \tfrac{1}{2}$ feet with each step. How many steps will Bella take by the time she meets Ella?

$704$

$845$

$1056$

$1760$

$3520$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1210

Solución en video:

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Solución escrita:

Como por cada pie que camina Bella, Ella recorre 5 pies, sabemos que Bella caminará $\frac16$ de la distancia entre las dos casas, así que camina $\dfrac16 \cdot 10560=1760$ pies. Como camina $2.5$ pies por paso, da $\dfrac{1760}{2.5} = 704$ pasos para cuando se encuentra con Ella.

Así, A es la respuesta correcta.

Since for every foot Bella walks, Ella rides 5 feet, we know that Bella will walk $\frac16$ of the distance between the two houses, and so she walks $\dfrac16 \cdot 10560=1760$ feet. Since she walks $2.5$ feet per step, she takes $\dfrac{1760}{2.5} = 704$ steps by the time she meets Ella.

Thus, A is the correct answer.

18.

¿Cuántos factores positivos tiene 23,232?

How many positive factors does 23,232 have?

$9$

$12$

$28$

$36$

$42$

Conceptos:factorización en primos conteo de factores

Nivel de dificultad: 1170

Solución en video:

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Solución escrita:

Comenzamos hallando la factorización en primos de $23232.$ Para ello, extraemos repetidamente el menor factor primo del número, un proceso que termina cuando el número es primo. Este proceso se muestra a continuación: $\begin{align*}23232 &= 2\cdot 11616\\ &= 2^2\cdot 5808\\ &= 2^3\cdot 2904\\ &= 2^4\cdot 1452\\ &= 2^5\cdot 726\\ &= 2^6\cdot 363\\ &= 2^6\cdot 3 \cdot 121\\ &=2^6\cdot 3\cdot 11^2 \end{align*}$ Un factor cualquiera de $23232$ puede formarse tomando el producto de cualquier cantidad de factores primos. Más explícitamente, como $23232$ puede representarse como $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_m^{e_m}$ donde $p$ es un número primo, cada factor tiene $(e_1+1) \cdots (e_m+1)$ opciones de factorizaciones primas para elegir, y por lo tanto hay $(e_1+1) \cdots (e_m+1)$ factores. Sustituyendo valores, vemos que hay $\begin{align*}(6+1)(1+1)(2+1) &= 7\cdot2\cdot3\\ &= 42 \end{align*}$ factores de $23232.$

Así, E es la respuesta correcta.

Begin by finding the prime factorization of $23232.$ To do this, we repeatedly factor out the smallest prime factor from the number, a process that terminates when the number is a prime number. This process is outlined below: $\begin{align*}23232 &= 2\cdot 11616\\ &= 2^2\cdot 5808\\ &= 2^3\cdot 2904\\ &= 2^4\cdot 1452\\ &= 2^5\cdot 726\\ &= 2^6\cdot 363\\ &= 2^6\cdot 3 \cdot 121\\ &=2^6\cdot 3\cdot 11^2 \end{align*}$ An arbitrary factor of $23232$ can be created by taking the product of any number of prime factors. More explicitly, as $23232$ can be represented $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_m^{e_m}$ where $p$ is a prime number, each factor has $(e_1+1) \cdots (e_m+1)$ options of prime factorizations to choose from, and thus, there are $(e_1+1) \cdots (e_m+1)$ factors. Plugging in values, we can see that there are $\begin{align*}(6+1)(1+1)(2+1) &= 7\cdot2\cdot3\\ &= 42 \end{align*}$ factors of $23232.$

Thus, E is the correct answer.

19.

En una pirámide de signos, una celda recibe un "+" si las dos celdas debajo de ella tienen el mismo signo, y recibe un "-" si las dos celdas debajo de ella tienen signos diferentes. El diagrama de abajo ilustra una pirámide de signos con cuatro niveles. ¿Cuántas maneras posibles hay de llenar las cuatro celdas de la fila inferior para producir un "+" en la cima de la pirámide?

In a sign pyramid a cell gets a "+" if the two cells below it have the same sign, and it gets a "-" if the two cells below it have different signs. The diagram below illustrates a sign pyramid with four levels. How many possible ways are there to fill the four cells in the bottom row to produce a "+" at the top of the pyramid?

$2$

$4$

$8$

$12$

$16$

Conceptos:paridad principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1310

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que tenemos dos celdas y la celda encima de ellas. Si nos dan la celda inferior izquierda y la celda superior, siempre podemos hallar la celda inferior derecha como sigue:

Si la celda superior es $+,$ entonces la celda inferior derecha debe ser igual a la celda inferior izquierda, y si la celda superior es $-,$ la celda inferior derecha debe ser la opuesta a la celda inferior izquierda.

Ahora, supongamos que nos dan una fila. Luego, supongamos que elegimos un valor para la celda que está debajo y a la izquierda de la celda más a la izquierda de nuestra fila dada. Entonces podemos determinar inductivamente toda la fila de abajo hallando primero la celda inferior derecha de la celda más a la izquierda de nuestra fila, y usando esa celda recién hallada como referencia inferior izquierda para la segunda celda desde la izquierda de la fila dada, para hallar su celda inferior derecha correspondiente. El proceso continúa hasta que la fila debajo de la fila dada queda completamente resuelta.

Por lo tanto, como sabemos que la fila superior tiene una celda con $+,$ tenemos $2$ opciones para la fila de abajo, dependiendo de nuestra elección de la celda inferior izquierda. De igual modo, tenemos $2$ opciones para la tercera fila, y así $2$ opciones para la cuarta fila. Esto da $2*2*2 = 8$ opciones totales para la fila inferior de la pirámide de signos.

Así, la respuesta correcta es C.

Suppose we have two cells and the cell above them. If we are given the bottom left cell and the top cell, we can always find the bottom right cell as follows:

If the top cell is $+,$ then the bottom right cell must be the same as the bottom left cell, and if the top cell is $-,$ the bottom right cell must be the opposite of the bottom left cell.

Now, suppose we are given a row. Then, suppose we choose a value for the cell below and to the left of the leftmost cell in our given row. We then can inductively determine the entire row below our given by first finding the bottom-right cell of the leftmost cell in our row, and using that newly found cell as the bottom-left reference for the second to the left cell in the given row to find its bottom-right counterpart. The process continues on until the row below the given row is fully solved.

Therefore, since we know that the top row has a cell labelled $+,$ we have $2$ choices for the row below -- depending on our choice of the bottom-left cell. Similarly, we have $2$ choices for the third row, and thus $2$ choices for the fourth row. This makes $2*2*2 = 8$ total choices for the bottom row of the sign pyramid.

Thus, the correct answer is C.

20.

En $\triangle ABC,$ un punto $E$ está en $\overline{AB}$ con $AE=1$ y $EB=2.$ El punto $D$ está en $\overline{AC}$ de modo que $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ y el punto $F$ está en $\overline{BC}$ de modo que $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ ¿Cuál es la razón del área de $CDEF$ al área de $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC,$ a point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE=1$ and $EB=2.$ Point $D$ is on $\overline{AC}$ so that $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ and point $F$ is on $\overline{BC}$ so that $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ What is the ratio of the area of $CDEF$ to the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1340

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea el área de $\triangle ABC$ igual a $t.$ Como $DE \parallel BC$ y $FE \parallel CA ,$ podemos deducir que $ADE \sim ABC$ y $EFB \sim ABC.$ Como $AE = \dfrac{AB}3,$ el área de $ADE$ es igual a $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Como $EB = \dfrac{2AB}3,$ el área de $EFB$ es igual a $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Finalmente, para hallar el área de $CDEF,$ tomamos el área de $ABC =t$ y restamos las áreas de $ADE$ y $EFB.$ Esto equivale a la expresión $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Por lo tanto, la razón del área de $CDEF$ al área de $ABC$ es $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Así, A es la respuesta correcta.

Let the area of $\triangle ABC$ be equal to $t.$ Since $DE \parallel BC$ and $FE \parallel CA ,$ we can deduce that $ADE \sim ABC$ and $EFB \sim ABC.$ Since $AE = \dfrac{AB}3,$ the area of $ADE$ is equal to $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Since $EB = \dfrac{2AB}3,$ the area of $EFB$ is equal to $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Finally, to find the area of $CDEF,$ we take the area of $ABC =t$ and subtract the areas of $ADE$ and $EFB.$ This is equivalent to the expression $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Therefore, the ratio of the area of $CDEF$ and $ABC$ is $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Thus, A is the correct answer.

21.

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos tienen residuo $2$ al dividirse entre $6,$ residuo $5$ al dividirse entre 9, y residuo $7$ al dividirse entre $11$ ?

How many positive three-digit integers have a remainder of $2$ when divided by $6,$ a remainder of $5$ when divided by 9, and a remainder of $7$ when divided by $11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:Teorema chino del resto mínimo común múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1490

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Solución escrita:

Supongamos que $x$ es un número que satisface estas condiciones. Sabemos que $100 \leq x \leq 999.$

La primera afirmación implica que $\begin{align*}x &\equiv 2 \mod 6\\&\equiv -4 \mod 6\end{align*}$ Esto, a su vez, implica que $x+4 \equiv 0 \mod 6 .$

De igual modo, la segunda afirmación implica que $\begin{align*}x &\equiv 5 \mod 9 \\&\equiv -4 \mod 9 \end{align*}$ Esto, a su vez, implica que $x+4 \equiv 0 \mod 9 .$

Finalmente, la tercera afirmación implica que $\begin{align*}x &\equiv 7 \mod 11 \\&\equiv -4 \mod 11\end{align*}$ Esto, a su vez, implica que $x+4 \equiv 0 \mod 11.$

En conjunto, estas tres condiciones significan que $6\mid x+4,$ $9\mid x+4,$ y $11\mid x+4,$ así que $\operatorname{lcm}(6,9,11)\mid x+4 .$ Por lo tanto, $198\mid x+4.$ También sabemos que $104 \leq x+4 \leq 1003 ,$ así que vemos que hay $5$ valores posibles en este intervalo que son múltiplos de $198.$

Así, E es la respuesta correcta.

Suppose $x$ is a number that satisfies these conditions. We know that $100 \leq x \leq 999.$

The first statement implies that $\begin{align*}x &\equiv 2 \mod 6\\&\equiv -4 \mod 6\end{align*}$ This, in turn, implies that $x+4 \equiv 0 \mod 6 .$

Similarly, the second statement implies that $\begin{align*}x &\equiv 5 \mod 9 \\&\equiv -4 \mod 9 \end{align*}$ This, in turn, implies that $x+4 \equiv 0 \mod 9 .$

Finally, the third statement implies that $\begin{align*}x &\equiv 7 \mod 11 \\&\equiv -4 \mod 11\end{align*}$ This, in turn, implies that $x+4 \equiv 0 \mod 11.$

Together, these three conditions mean that $6\mid x+4,$ $9\mid x+4,$ and $11\mid x+4,$ so $\operatorname{lcm}(6,9,11)\mid x+4 .$ Therefore, $198\mid x+4.$ We also know $104 \leq x+4 \leq 1003 ,$ so we can see that there are $5$ possible values in this interval that are multiples of $198.$

Thus, E is the correct answer.

22.

El punto $E$ es el punto medio del lado $\overline{CD}$ en el cuadrado $ABCD,$ y $\overline{BE}$ corta a la diagonal $\overline{AC}$ en $F.$ El área del cuadrilátero $AFED$ es $45.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Point $E$ is the midpoint of side $\overline{CD}$ in square $ABCD,$ and $\overline{BE}$ meets diagonal $\overline{AC}$ at $F.$ The area of quadrilateral $AFED$ is $45.$ What is the area of $ABCD?$

$100$

$108$

$120$

$135$

$144$

Conceptos:semejanza cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1770

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $H$ el punto en $\overline{BC}$ donde la altura desde $F$ hacia $\overline{BC}$ corta a $\overline{BC}.$ Esta altura, $\overline{FH}$ , se ilustra arriba. Entonces, por semejanza ángulo-ángulo, vemos que $\triangle CAB \sim \triangle CFH$ y $\triangle BFH \sim \triangle BEC .$

Como los lados de triángulos semejantes son proporcionales, sabemos que $\dfrac{FH}{BH} = \dfrac{EC}{BC}$ y $\dfrac{FH}{HC} = \dfrac{AB}{BC} .$ Por lo tanto, $\dfrac{FH}{EC} = \dfrac{BH}{BC}$ y $\dfrac{FH}{AB} = \dfrac{HC}{BC} .$ Sumando estas ecuaciones se obtiene: $\begin{align*}\dfrac{FH}{EC} + \dfrac{FH}{AB} &= \dfrac{BH}{BC} + \dfrac{HC}{BC}\\ &= \frac{BH+HC}{BC} \\&= \frac{BC}{BC} \\&= 1.\end{align*}$ Esto, a su vez, muestra que $\frac{1}{EC} + \frac{1}{AB} = \frac{1}{FH} .$

Ahora, sea $s$ la longitud del lado del cuadrado. Sabemos que $AB = 2\cdot EC = s.$ Esto significa que $\begin{align*}\dfrac{1}{FH} &= \dfrac{1}{EC} + \frac{1}{AB} \\&= \frac{2}{s} + \frac{1}{s} \\&= \frac{3}{s} .\end{align*}$ Por lo tanto, $FH = \frac{s}{3} .$

Ahora, para calcular el área de $\triangle EFC,$ tomamos el área de $\triangle BCE$ y restamos el área de $\triangle BFC.$ Esto es igual a

$\begin{gathered} \dfrac{BC\cdot EC}{2} - \dfrac{BC\cdot FH}{2} \\ = \dfrac{BC\cdot(EC-FH)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\left(\dfrac{s}{2} - \dfrac{s}{3}\right)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\frac{s}{6}}{2} \\ = \dfrac{s^2}{12}. \end{gathered}$

El área de $AFED$ es el área de $\triangle ACD$ menos el área de $\triangle EFC,$ lo que es igual a $\begin{align*} \dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12} &= \dfrac{5s^2}{12} \\&= 45.\end{align*}$ Con $\frac{5}{12} s^2 = 45 ,$ obtenemos $s^2 = 108,$ que es el área del cuadrado completo.

Let $H$ be the point on $\overline{BC}$ where the altitude from $F$ to $\overline{BC}$ meets $\overline{BC}.$ This altitude, $\overline{FH}$ is illustrated above. Then, by angle-angle similarity, we can see that $\triangle CAB \sim \triangle CFH$ and $\triangle BFH \sim \triangle BEC .$

Since the sides of similar triangles are proportional, we know that $\dfrac{FH}{BH} = \dfrac{EC}{BC}$ and $\dfrac{FH}{HC} = \dfrac{AB}{BC} .$ Thus, $\dfrac{FH}{EC} = \dfrac{BH}{BC}$ and $\dfrac{FH}{AB} = \dfrac{HC}{BC} .$ Adding these equations yields: $\begin{align*}\dfrac{FH}{EC} + \dfrac{FH}{AB} &= \dfrac{BH}{BC} + \dfrac{HC}{BC}\\ &= \frac{BH+HC}{BC} \\&= \frac{BC}{BC} \\&= 1.\end{align*}$ This, in turn, shows that $\frac{1}{EC} + \frac{1}{AB} = \frac{1}{FH} .$

Now, let $s$ be the side length of the square. We know $AB = 2\cdot EC = s.$ This means $\begin{align*}\dfrac{1}{FH} &= \dfrac{1}{EC} + \frac{1}{AB} \\&= \frac{2}{s} + \frac{1}{s} \\&= \frac{3}{s} .\end{align*}$ Therefore, $FH = \frac{s}{3} .$

Now, to compute the area of $\triangle EFC,$ we take the area of $\triangle BCE$ and subtract the area of $\triangle BFC.$ This is equal to

$\begin{gathered} \dfrac{BC\cdot EC}{2} - \dfrac{BC\cdot FH}{2} \\ = \dfrac{BC\cdot(EC-FH)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\left(\dfrac{s}{2} - \dfrac{s}{3}\right)}{2} \\ = \dfrac{s\cdot\frac{s}{6}}{2} \\ = \dfrac{s^2}{12}. \end{gathered}$

The area of $AFED$ is the area of $\triangle ACD$ minus the area of $\triangle EFC,$ which is equal to $\begin{align*} \dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12} &= \dfrac{5s^2}{12} \\&= 45.\end{align*}$ With $\frac{5}{12} s^2 = 45 ,$ we get $s^2 = 108,$ which is the area of the full square.

23.

A partir de un octágono regular, se forma un triángulo conectando tres vértices del octágono elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los lados del triángulo sea también un lado del octágono?

From a regular octagon, a triangle is formed by connecting three randomly chosen vertices of the octagon. What is the probability that at least one of the sides of the triangle is also a side of the octagon?

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{5}{42}$

$\dfrac{11}{14}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{6}{7}$

Conceptos:conteo complementario estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1650

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Solución escrita:

Sin pérdida de generalidad, sea $A$ un vértice del triángulo. Supongamos que también tenemos los puntos $B,C$ del triángulo con $A,B,C$ en orden horario. Sea $x$ el número de vértices del octágono entre $A$ y $B,$ $y$ el número de vértices entre $B$ y $C,$ y $z$ el número de vértices entre $C$ y $A.$ Sabemos que $x+y+z = 5$ ya que abarca todos los vértices del octágono excepto $A,B,C.$

Si dos lados forman lados de un octágono, la distancia entre ellos sería $0.$

Por lo tanto, si usamos conteo complementario para hallar cuántos tienen $x,y,z > 0,$ podemos deducir cuántos triángulos se forman sin que ningún lado del triángulo sea un lado del octágono. Esto haría que $x,y,z$ sean números enteros cuya suma es $5.$ Usando el método de estrellas y barras, vemos que hay $\binom {5-1}{3-1} = 6$ maneras de colocar $B,C$ tal que $x,y,z > 0.$ Ahora, para hallar el número total de casos, como hay $7$ puntos que no son $A,$ hay $\binom{7}{2} = 21$ maneras de colocar $B,C$ en orden horario.

Esto significa que hay una probabilidad de $\dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}$ de que el triángulo no tenga lados sobre el octágono. Por lo tanto, hay una probabilidad de $1- \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ de que el triángulo tenga al menos un lado sobre el octágono.

Así, D es la respuesta correcta.

Without loss of generality, allow $A$ to be a vertex of the triangle. Suppose we also have points $B,C$ of the triangle with $A,B,C$ being in clockwise order. Let $x$ be the number of vertices of the octagon between $A$ and $B,$ $y$ be the number of vertices between $B$ and $C,$ and $z$ be the number of vertices between $C$ and $A.$ We know $x+y+z = 5$ as it encompasses every vertex of the octagon except $A,B,C.$

If two sides form the sides of an octagon, the distance between them would be $0.$

Therefore, if we use complementary counting to find how many have $x,y,z > 0,$ we can deduce out how many triangles are formed with no sides of the triangle being a side of the octagon. This would make $x,y,z$ whole numbers whose sum is $5.$ Using the stars and bars method, we can see that there are $\binom {5-1}{3-1} = 6$ ways to place $B,C$ such that $x,y,z > 0.$ Now to find the total number of cases, since there are $7$ points that aren't $A,$ there are $\binom{7}{2} = 21$ ways to place $B,C$ in clockwise order.

This means there is a $\dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}$ probability of the triangle not having sides on the octagon. Therefore, there is a $1- \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ probability of the triangle having at least one side on the octagon.

Thus, D is the correct answer.

24.

En el cubo $ABCDEFGH$ con vértices opuestos $C$ y $E,$ $J$ e $I$ son los puntos medios de los segmentos $\overline{FB}$ y $\overline{HD},$ respectivamente. Sea $R$ la razón del área de la sección transversal $EJCI$ al área de una de las caras del cubo. ¿Cuánto vale $R^2$ ?

In the cube $ABCDEFGH$ with opposite vertices $C$ and $E,$ $J$ and $I$ are the midpoints of segments $\overline{FB}$ and $\overline{HD},$ respectively. Let $R$ be the ratio of the area of the cross-section $EJCI$ to the area of one of the faces of the cube. What is $R^2?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{25}{16}$

$\dfrac{9}{4}$

Conceptos:geometría del cubo rombo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

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Solución escrita:

Sea $s$ la longitud de una arista del cubo. Observando que cada lado de la sección transversal tiene la misma longitud, concluimos que $EJCI$ es un rombo. El área de este rombo se puede calcular como $\frac12 IJ\cdot CE,$ ya que el área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Usando el teorema de Pitágoras: $IJ=FH=s\sqrt{2}.$ De manera similar, usar de nuevo el teorema de Pitágoras nos permite ver que: $\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}$ Por lo tanto, $\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}$ Así, $R^2=\dfrac32,$ y la respuesta correcta es C.

Allow $s$ to represent the length of an edge of the cube. Noting that each side of the cross section is equal in length, we conclude that $EJCI$ is a rhombus. The area of this rhombus can be calculated as $\frac12 IJ\cdot CE,$ as the area of a rhombus is equal to half the product of its diagonals. Using the Pythagorean Theorem: $IJ=FH=s\sqrt{2}.$ Similarly, using the Pythagorean Theorem again lets us see that: $\begin{align*}CE&=\sqrt{AC^2+AE^2}\\&=\sqrt{(s\sqrt{2})^2+s^2}\\&=\sqrt{2s^2+s^2}\\&=s\sqrt{3}\end{align*}$ Therefore, $\begin{align*}R&=\dfrac{\frac12 IJ\cdot CE}{s^2}\\&=\dfrac{\frac12 s^2\sqrt{2}\sqrt{3}}{s^2}\\&=\sqrt{\dfrac32}\end{align*}$ Thus, $R^2=\dfrac32,$ and the correct answer is C.

25.

¿Cuántos cubos perfectos hay entre $2^8+1$ y $2^{18}+1,$ inclusive?

How many perfect cubes lie between $2^8+1$ and $2^{18}+1,$ inclusive?

$4$

$9$

$10$

$57$

$58$

Conceptos:potencia perfecta conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1280

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Solución escrita:

Supongamos que $x^3$ es un cubo perfecto cualquiera en este rango, donde $x$ es un entero positivo.

Si $x^3 \leq 2^{18}+1,$ entonces $x^3 = 2^{18}+1$ o $x^3 \leq 2^{18} = {2^6}^3$ $\implies x \leq 2^6 = 64 .$ Si $x^3 = 2^{18}+1 = 64^3 +1,$ entonces se sigue que $64^3 < x^3 < 65^3$ $\implies 64 < x < 65$ Esto significaría que $x$ no es un entero. Esto es una contradicción, así que sabemos que $x \leq 64 .$ También sabemos que $2^8+1= 257 \leq x^3 .$ Ahora, supongamos que $257\leq x^3 < 343.$ Entonces sabemos que $216 < x^3 < 343 .$

Esto significa que $6 < x < 7 ,$ lo que también significa que $x$ no es un entero. Esto es una contradicción, así que $7\le x.$

Por lo tanto, todos los $x$ que satisfacen $343 \leq x^3 \leq (2^6)^3$ también deben satisfacer $7 \leq x \leq 64 .$ Por lo tanto, el número de valores posibles de $x$ es $64-7+1 = 58.$

Así, E es la respuesta correcta.

Suppose $x^3$ is any perfect cube in this range, where $x$ is a positive integer.

If $x^3 \leq 2^{18}+1,$ then $x^3 = 2^{18}+1$ or $x^3 \leq 2^{18} = {2^6}^3$ $\implies x \leq 2^6 = 64 .$ If $x^3 = 2^{18}+1 = 64^3 +1,$ then it follows that $64^3 < x^3 < 65^3$ $\implies 64 < x < 65$ This would mean that $x$ isn't an integer. This is a contradiction, so we know $x \leq 64 .$ We also know $2^8+1= 257 \leq x^3 .$ Now, suppose $257\leq x^3 < 343.$ Then, we know $216 < x^3 < 343 .$

This means $6 < x < 7 ,$ which also means that $x$ isn't an integer. This is a contradiction, so $7\le x.$

Therefore, all $x$ which satisfy $343 \leq x^3 \leq (2^6)^3$ must also satisfy $7 \leq x \leq 64 .$ Therefore, the number of possible $x$ 's is $64-7+1 = 58.$

Thus, E is the correct answer.