Question

En el trapecio $ABCD,$ los ángulos $B$ y $C$ miden $60^\circ$ y $AB = DC.$ Todas las longitudes de los lados son enteros positivos y el perímetro de $ABCD$ es $30$ unidades. ¿Cuántos trapecios no congruentes satisfacen todas estas condiciones?

In trapezoid $ABCD,$ angles $B$ and $C$ measure $60^\circ$ and $AB = DC.$ The side lengths are all positive integers and the perimeter of $ABCD$ is $30$ units. How many non-congruent trapezoids satisfy all of these conditions?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución en video:

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Solución escrita:

Traza una recta que pase por $A$ y sea paralela a la recta $CD,$ y observa que algunas longitudes son automáticamente iguales entre sí:

Eso se debe a que $\angle AEB = \angle DCB = 60^\circ,$ así que el triángulo $ABE$ es equilátero. Todas las longitudes marcadas con $x$ siempre son iguales.

Además, $ADCE$ es un paralelogramo (no necesariamente un rombo), así que las longitudes restantes marcadas con $y$ siempre son iguales entre sí, pero no necesariamente iguales a $x.$

El perímetro es $3x + 2y,$ pero también se supone que es $30.$

El problema entonces se reduce a contar cuántas soluciones en enteros positivos tiene la ecuación $3x + 2y = 30.$

Al considerar enteros positivos para $x,$ observa que precisamente los enteros pares dan una solución entera para $y,$ porque $30 - 3x$ es el número par $2y.$

Y, una vez que llegamos a $x = 10,$ el $y$ que satisface la ecuación es $y = \frac{30 - 3 \times 10}{2} = 0,$ que no es un entero positivo.

Así que los valores que funcionan para $x$ son los enteros pares positivos menores que $10,$ o $\{2, 4, 6, 8\}.$ Hay $4$ opciones, lo que da la respuesta E.

Draw a line through $A$ parallel to line $CD,$ and observe that some lengths are automatically equal to each other:

That is because $\angle AEB = \angle DCB = 60^\circ,$ and so triangle $ABE$ is equilateral. All lengths labeled $x$ are always equal.

Also, $ADCE$ is a parallelogram (not necessarily a rhombus), so the remaining lengths labeled $y$ are always equal to each other, but not necessarily equal to $x.$

The perimeter is $3x + 2y,$ but it is also supposed to be $30.$

The problem then amounts to counting how many positive integer solutions there are to the equation $3x + 2y = 30.$

As we consider positive integers for $x,$ observe that it is precisely the even integers which give an integer solution for $y,$ because $30 - 3x$ is the even number $2y.$

And, once we get to $x = 10,$ the $y$ that satisfies the equation is $y = \frac{30 - 3 \times 10}{2} = 0,$ which is not a positive integer.

So, the values that work for $x$ are the positive even integers less than $10,$ or $\{2, 4, 6, 8\}.$ There are $4$ options, which gives the answer of E.

2025 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años