Question

Cuando $1999^{2000}$ se divide entre $5,$ el residuo es

When $1999^{2000}$ is divided by $5,$ the remainder is

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Solución:

Nota que para hallar el residuo al dividir entre $5,$ solo importa la cifra de las unidades.

Esto significa que solo tenemos que observar cómo funcionan las potencias de la cifra de las unidades, es decir, las potencias de $9.$

Luego, observando las potencias de $9,$ vemos que la cifra de las unidades alterna entre $9$ y $1:$ $9, 81, 729, \cdots$ Esto significa que $1999^{2000}$ termina en $1$ ya que la potencia es par.

El residuo al dividir entre $5$ es entonces $1,$ ya que es $1$ más que un múltiplo de $10.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that to find the remainder when divided by $5,$ we only care about the units digit.

This means we only have to observe how the powers of the units digit work, namely the powers of $9.$

Then, looking at powers of $9,$ we see that the units digit alternates between $9$ and $1:$ $9, 81, 729, \cdots$ This means that $1999^{2000}$ ends in a $1$ since the power is even.

The remainder when divided by $5$ is then $1,$ since it is $1$ more than a multiple of $10.$

Thus, D is the correct answer.

1999 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años