Question

El triángulo isósceles $ABC$ tiene lados iguales $AB$ y $BC.$ En las figuras de abajo, se trazan segmentos paralelos a $\overline{AC}$ de modo que las porciones sombreadas de $\triangle ABC$ tengan la misma área. Las alturas de las dos porciones sin sombrear son $11$ y $5$ unidades, respectivamente. ¿Cuál es la altura $h$ de $\triangle ABC$ ?

Isosceles triangle $ABC$ has equal side lengths $AB$ and $BC.$ In the figures below, segments are drawn parallel to $\overline{AC}$ so that the shaded portions of $\triangle ABC$ have the same area. The heights of the two unshaded portions are $11$ and $5$ units, respectively. What is the height $h$ of $\triangle ABC?$

$14.6$

$14.8$

$15$

$15.2$

$15.4$

Respuesta: A

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Áreas sombreadas iguales dan una ecuación entre las áreas de los dos triángulos sin sombrear

Equal shaded areas give an equation between the two unshaded triangle areas

Pista grande:

Las áreas de triángulos semejantes escalan como el cuadrado de sus alturas

Similar triangle areas scale as the square of their heights

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $a$ el área de $\triangle ABC.$ El triángulo sin sombrear de la figura izquierda tiene altura $11$ y es semejante al triángulo completo, por lo que su área es $a\left(\frac{11}{h}\right)^2.$ Por lo tanto, el área sombreada de esa figura es $a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).$

En la figura derecha, el triángulo sombreado tiene altura $h-5$ y es semejante al triángulo completo, por lo que su área es $a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.$ Al igualar las áreas sombreadas y cancelar $a$ , obtenemos $1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.$

Al simplificar, resulta $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ Esto se reduce a $10h = 146,$

así que $h=14.6.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $a$ be the area of $\triangle ABC.$ The unshaded triangle in the left figure has height $11$ and is similar to the full triangle, so its area is $a\left(\frac{11}{h}\right)^2.$ Therefore, the shaded area there is $a\left(1-\left(\frac{11}{h}\right)^2\right).$

In the right figure, the shaded triangle has height $h-5$ and is similar to the full triangle, so its area is $a\left(\frac{h-5}{h}\right)^2.$ Equating the shaded areas and canceling $a$ gives $1-\left(\dfrac{11}{h}\right)^2 =\left(\dfrac{h-5}{h}\right)^2.$

Simplifying yields $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ This simplifies to $10h = 146,$

so $h=14.6.$

Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 24