Question

El triángulo isósceles $ABC$ tiene lados iguales $AB$ y $BC.$ En las figuras de abajo, se trazan segmentos paralelos a $\overline{AC}$ de modo que las porciones sombreadas de $\triangle ABC$ tengan la misma área. Las alturas de las dos porciones sin sombrear son $11$ y $5$ unidades, respectivamente. ¿Cuál es la altura $h$ de $\triangle ABC$ ?

Isosceles triangle $ABC$ has equal side lengths $AB$ and $BC.$ In the figures below, segments are drawn parallel to $\overline{AC}$ so that the shaded portions of $\triangle ABC$ have the same area. The heights of the two unshaded portions are $11$ and $5$ units, respectively. What is the height $h$ of $\triangle ABC?$

$14.6$

$14.8$

$15$

$15.2$

$15.4$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $a$ el área de $\triangle ABC.$

Observa que los triángulos más pequeños son semejantes a $\triangle ABC.$ Esto significa que la razón de sus áreas es la razón de sus longitudes de lado al cuadrado.

Como las áreas sombreadas de ambas figuras son iguales, obtenemos $a - a \cdot \left(\dfrac{11}{h}\right)^2$ $= a \cdot \left(\dfrac{h - 5}{h}\right)^2.$

El lado izquierdo es el área de todo el triángulo menos el área de la región sin sombrear del triángulo izquierdo. El lado derecho es el área del triángulo sombreado, que obtenemos hallando la razón de sus longitudes de lado (que es igual a la razón de sus alturas) y elevándola al cuadrado.

Simplificando se obtiene $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ Esto se simplifica a $10h = 146$ $h = 14.6.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $a$ be the area of $\triangle ABC.$

Note that the smaller triangles are similar to $\triangle ABC.$ This means that the ratio of their areas is the ratio of their side lengths squared.

Then we get that $a - a \cdot \left(\dfrac{11}{h}\right)^2$ $= a \cdot \left(\dfrac{h - 5}{h}\right)^2.$ The left side is the area of the whole triangle minus the area of the unshaded region of the left triangle.

The right hand side is the area of the shaded triangle. We get this by finding the ratio of their side lengths (which is the same as the ratio of their heights) and squaring it.

Simplifying yields $h^2 - 121 = h^2 - 10h + 25.$ This simplifies to $10h = 146$ $h = 14.6.$

Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 24

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años