Question

Cierta calculadora tiene solo dos teclas [ $+1$ ] y [ $\times 2$ ]. Cuando presionas una de las teclas, la calculadora muestra automáticamente el resultado. Por ejemplo, si la calculadora mostraba originalmente " $9$ " y presionaste [ $+1$ ], mostraría " $10.$ " Si luego presionaras [ $\times 2$ ], mostraría " $20.$ " Empezando con la pantalla en " $1,$ " ¿cuál es el menor número de pulsaciones de teclas que necesitarías para llegar a " $200$ "?

A certain calculator has only two keys [ $+1$ ] and [ $\times 2$ ]. When you press one of the keys, the calculator automatically displays the result. For instance, if the calculator originally displayed " $9$ " and you pressed [ $+1$ ], it would display " $10.$ " If you then pressed [ $\times 2$ ], it would display " $20.$ " Starting with the display " $1,$ " what is the fewest number of keystrokes you would need to reach " $200$ "?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Solución:

Trabaja hacia atrás desde $200$ . Cuando el número es par, deshaz $\times2$ dividiendo entre $2$ ; cuando es impar, deshaz $+1$ restando $1$ .

$200,100,50,25,24,12,6,3,2,1$ usa $9$ pasos inversos, así que $9$ pulsaciones son suficientes.

Ocho pulsaciones no son suficientes: el mayor valor por debajo de $200$ alcanzable en $8$ pulsaciones se obtiene con $\times2,+1$ seguido de seis duplicaciones, dando $3\cdot2^6=192$ . Las siguientes posibilidades mayores se pasan hasta al menos $256$ , así que $200$ no se puede alcanzar en $8$ pulsaciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Work backward from $200$ . When the number is even, undo $\times2$ by dividing by $2$ ; when it is odd, undo $+1$ by subtracting $1$ .

$200,100,50,25,24,12,6,3,2,1$ uses $9$ reverse steps, so $9$ keystrokes are enough.

Eight keystrokes are not enough: the largest value below $200$ reachable in $8$ keystrokes is obtained by $\times2,+1$ followed by six doublings, giving $3\cdot2^6=192$ . The next larger possibilities overshoot to at least $256$ , so $200$ cannot be reached in $8$ keystrokes.

Thus, B is the correct answer.

2005 AMC 8 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años