Question

El triángulo rectángulo isósceles $ABC$ encierra un semicírculo de área $2\pi.$ El círculo tiene su centro $O$ sobre la hipotenusa $\overline{AB}$ y es tangente a los lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}.$ ¿Cuál es el área del triángulo $ABC$ ?

Isosceles right triangle $ABC$ encloses a semicircle of area $2\pi.$ The circle has its center $O$ on hypotenuse $\overline{AB}$ and is tangent to sides $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ What is the area of triangle $ABC?$

$6$

$8$

$3 \pi$

$10$

$4 \pi$

Solución:

Refleja el triángulo y el semicírculo a través de la hipotenusa $\overline{AB}$ . Esto forma un círculo completo inscrito en un cuadrado.

El semicírculo tiene área $2\pi$ , así que el círculo completo tiene área $4\pi$ y radio $2$ . Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es $4$ .

El área del cuadrado es $16$ , así que el triángulo original tiene la mitad de esa área, $8$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Reflect the triangle and semicircle across hypotenuse $\overline{AB}$ . This forms a full circle inscribed in a square.

The semicircle has area $2\pi$ , so the full circle has area $4\pi$ and radius $2$ . The square side length is therefore $4$ .

The square area is $16$ , so the original triangle has half that area, $8$ .

Thus, B is the correct answer.

2005 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años