Question

Rodrigo tiene una hoja de papel cuadriculado muy grande. Primero dibuja un segmento que conecta el punto $(0, 4)$ con el punto $(2, 0)$ y colorea las $4$ celdas cuyos interiores cortan al segmento, como se muestra abajo. Luego, Rodrigo dibuja un segmento que conecta el punto $(2000, 3000)$ con el punto $(5000, 8000).$ De nuevo colorea las celdas cuyos interiores cortan al segmento. ¿Cuántas celdas coloreará esta vez?

Rodrigo has a very large piece of graph paper. First he draws a line segment connecting point $(0, 4)$ to point $(2, 0)$ and colors the $4$ cells whose interiors intersect the segment, as shown below. Next, Rodrigo draws a line segment connecting point $(2000, 3000)$ to point $(5000, 8000).$ Again he colors the cells whose interiors intersect the segment. How many cells will he color this time?

$6000$

$6500$

$7000$

$7500$

$8000$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Para un segmento cuyas diferencias de extremos son $a$ horizontalmente y $b$ verticalmente, el segmento cruza $a$ líneas verticales de la cuadrícula y $b$ líneas horizontales, pero los cruces en puntos de la retícula se cuentan dos veces. Por lo tanto, el número de celdas cuyos interiores son cortados es $a+b-\gcd(a,b).$

Aquí las diferencias de extremos son $3000$ y $5000$ , y $\gcd(3000,5000)=1000$ . Así, el número de celdas coloreadas es $3000+5000-1000=7000.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

For a segment whose endpoint differences are $a$ horizontally and $b$ vertically, the segment crosses $a$ vertical grid lines and $b$ horizontal grid lines, but crossings at lattice points are counted twice. Therefore the number of cells whose interiors are intersected is $a+b-\gcd(a,b).$

Here the endpoint differences are $3000$ and $5000$ , and $\gcd(3000,5000)=1000$ . Thus the number of cells colored is $3000+5000-1000=7000.$

Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años