Question

Si el patrón del diagrama continúa, ¿qué fracción del interior estaría sombreada en el octavo triángulo?

If the pattern in the diagram continues, what fraction of the interior would be shaded in the eighth triangle?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{11}{45}$

El $n^{\text{th}}$ triángulo tiene $n^2$ triángulos pequeños.

El número de triángulos pequeños sombreados es $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}2$ .

Para $n=8$ , la fracción sombreada es $\dfrac{8\cdot7/2}{8^2}=\dfrac7{16}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $n^{\text{th}}$ triangle has $n^2$ small triangles.

The number of shaded small triangles is $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}2$ .

For $n=8$ , the shaded fraction is $\dfrac{8\cdot7/2}{8^2}=\dfrac7{16}$ .

Thus, the correct answer is C .