Soluciones del 1998 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Para $x=7,$ ¿cuál de las siguientes opciones es la menor?

For $x=7,$ which of the following is the smallest?

$\dfrac{6}{x}$

$\dfrac{6}{x+1}$

$\dfrac{6}{x-1}$

$\dfrac{x}{6}$

$\dfrac{x+1}{6}$

Conceptos:sustitución fracción

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Si sustituimos los valores en cada opción, obtenemos lo siguiente:

A: $\dfrac 6x = \dfrac 67$ .

B: $\dfrac 6{x+1} = \dfrac 68$ .

C: $\dfrac 6{x-1} = 1$ .

D: $\dfrac x6 = \dfrac 76$ .

E: $\dfrac {x+1}6 = \dfrac{4}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If we plug in the values into each answer choice, we get the following:

A: $\dfrac 6x = \dfrac 67$

B: $\dfrac 6{x+1} = \dfrac 68$

C: $\dfrac 6{x-1} = 1$

D: $\dfrac x6 = \dfrac 76$

E: $\dfrac {x+1}6 = \dfrac{4}{3}$

Thus, the correct answer is B .

2.

Si $~\begin{array}{r|l}a&b \\ \hline c&d\end{array} = \text{a}\cdot \text{d} - \text{b}\cdot \text{c},$ ¿cuál es el valor de $~\begin{array}{r|l}3&4 \\ \hline 1&2\end{array}~$ ?

If $~\begin{array}{r|l}a&b \\ \hline c&d\end{array} = \text{a}\cdot \text{d} - \text{b}\cdot \text{c},$ what is the value of $~\begin{array}{r|l}3&4 \\ \hline 1&2\end{array}~?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:operación personalizada

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Sustituyendo en la fórmula anterior, obtenemos: $3\cdot 2-1\cdot 4=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Plugging into the formula above, we get: $3\cdot 2-1\cdot 4=2.$

Thus, the correct answer is E .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\dfrac{\frac{3}{8} + \frac{7}{8}}{\frac{4}{5}}$

What is the value of: $\dfrac{\frac{3}{8} + \frac{7}{8}}{\frac{4}{5}}?$

$1$

$\dfrac{25}{16}$

$2$

$\dfrac{43}{20}$

$\dfrac{47}{16}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Esto se evalúa como: $\begin{align*} \dfrac{\frac{3}{8} + \frac{7}{8}}{\frac{4}{5}} &= \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{4}{5}} \\ &=\left(\dfrac 54\right)^2 \\ &= \dfrac{25}{16}.\end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This evaluates to: $\begin{align*} \dfrac{\frac{3}{8} + \frac{7}{8}}{\frac{4}{5}} &= \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{4}{5}} \\ &=\left(\dfrac 54\right)^2 \\ &= \dfrac{25}{16}.\end{align*}$

Thus, the correct answer is B .

4.

¿Cuántos triángulos hay en esta figura? (Algunos triángulos pueden superponerse con otros.)

How many triangles are in this figure? (Some triangles may overlap other triangles.)

$9$

$8$

$7$

$6$

$5$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas análisis por casos

Nivel de dificultad: 720

Solución:

La figura contiene tres triángulos pequeños, el triángulo formado por los dos triángulos pequeños de la derecha y el gran triángulo exterior.

Esto da $5$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The figure contains three small triangles, the triangle made from the two rightmost small triangles, and the large outside triangle.

This gives $5$ triangles.

Thus, the correct answer is E .

5.

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

Which of the following numbers is largest?

$9.12344$

$9.123\overline{4}$

$9.12\overline{34}$

$9.1\overline{234}$

$9.\overline{1234}$

Conceptos:decimal periódico valor posicional

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Cada número comienza con $9.1234$ . La siguiente cifra es $4$ para las opciones A y B, $3$ para C, $2$ para D y $1$ para E.

La opción A luego termina en ceros, mientras que la opción B continúa con más $4$ , así que la opción B es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each number starts with $9.1234$ . The next digits are $4$ for choices A and B , $3$ for C , $2$ for D , and $1$ for E .

Choice A then terminates as zeros, while choice B continues with more $4$ s, so choice B is largest.

Thus, the correct answer is B .

6.

Los puntos están separados una unidad, horizontal y verticalmente. El número de unidades cuadradas encerradas por el polígono es

Dots are spaced one unit apart, horizontally and vertically. The number of square units enclosed by the polygon is

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:descomposición de áreas punto reticular

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Considera el rectángulo $2 \times 3$ de la parte inferior. La figura es la misma que si quitamos algo de área abajo y añadimos la misma área arriba. Por lo tanto, el área es igual a la del rectángulo $2 \times 3$ , que es $6$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Consider the $2 \times 3$ rectangle on the bottom. The figure is the same as when we take some area out on the bottom and add the same area on the top. Thus, the area is the same as the the $2 \times 3$ rectangle, which is $6$

Thus, the correct answer is B .

7.

$100\times 19.98\times 1.998\times 1000=$

$(1.998)^2$

$(19.98)^2$

$(199.8)^2$

$(1998)^2$

$(19980)^2$

Conceptos:decimal exponente

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Agrupa los dos primeros factores y los dos últimos:

$\begin{aligned} &(100\cdot 19.98)(1.998\cdot 1000) \\ &= 1998\cdot1998 \\ &= (1998)^2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Group the first two factors and the last two factors:

$\begin{aligned} &(100\cdot 19.98)(1.998\cdot 1000) \\ &= 1998\cdot1998 \\ &= (1998)^2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

8.

Una piscina infantil contiene $200$ galones de agua. Si el agua se evapora a razón de $0.5$ galones por día y no se añade ni se retira más agua, ¿cuántos galones de agua habrá en la piscina después de $30$ días?

A child's wading pool contains $200$ gallons of water. If water evaporates at the rate of $0.5$ gallons per day and no other water is added or removed, how many gallons of water will be in the pool after $30$ days?

$140$

$170$

$185$

$198.5$

$199.85$

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 730

Solución:

La cantidad perdida es $0.5\cdot 30=15$ galones. Por lo tanto, la cantidad que queda es $200-15=185.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The amount lost is $0.5\cdot 30=15$ gallons. Therefore, the amount left is $200-15=185.$

Thus, the correct answer is C .

9.

Por una rebaja, el dueño de una tienda reduce el precio de una bufanda de $\$10$ en un $20\% .$ Más tarde el precio se baja de nuevo, esta vez en la mitad del precio ya rebajado. El precio ahora es

For a sale, a store owner reduces the price of a $\$10$ scarf by $20\% .$ Later the price is lowered again, this time by one-half the reduced price. The price is now

$\$2.00$

$\$3.75$

$\$4.00$

$\$4.90$

$\$6.40$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Después de la reducción del $20\%$ , el precio es $\$10\cdot 0.8=\$8.$

Luego, al reducir el precio a la mitad, el precio es $\dfrac {\$8}2 = \$4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

After the $20\%$ reduction, the price is $\$10\cdot 0.8=\$8.$

Then, after halving the price, the price is $\dfrac {\$8}2 = \$4.$

Thus, the correct answer is C .

10.

Cada una de las letras $W,$ $X,$ $Y,$ y $Z$ representa un entero distinto del conjunto $\{ 1,2,3,4\},$ aunque no necesariamente en ese orden. Si $\dfrac{W}{X} - \dfrac{Y}{Z}=1,$ entonces la suma de $W$ y $Y$ es:

Each of the letters $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ represents a different integer in the set $\{ 1,2,3,4\},$ but not necessarily in that order. If $\dfrac{W}{X} - \dfrac{Y}{Z}=1,$ then the sum of $W$ and $Y$ is:

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:fracción análisis por casos

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

La única forma de obtener una diferencia de $1$ es

$\frac31-\frac42=1.$

Así $W=3$ y $Y=4$ , de modo que $W+Y=7$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The only way to get a difference of $1$ is

$\frac31-\frac42=1.$

Thus $W=3$ and $Y=4$ , so $W+Y=7$ .

Thus, the correct answer is E .

11.

Harry tiene 3 hermanas y 5 hermanos. Su hermana Harriet tiene $\text{S}$ hermanas y $\text{B}$ hermanos. ¿Cuál es el producto de $\text{S}$ y $\text{B}$ ?

Harry has 3 sisters and 5 brothers. His sister Harriet has $\text{S}$ sisters and $\text{B}$ brothers. What is the product of $\text{S}$ and $\text{B}?$

$8$

$10$

$12$

$15$

$18$

Conceptos:conteo básico deducción lógica

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Como Harry tiene $3$ hermanas y $5$ hermanos, la familia tiene $3$ niñas y $6$ niños. Harriet es una de las niñas, así que tiene $2$ hermanas y $6$ hermanos.

Entonces $SB=2\cdot6=12$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since Harry has $3$ sisters and $5$ brothers, the family has $3$ girls and $6$ boys. Harriet is one of the girls, so she has $2$ sisters and $6$ brothers.

Therefore $SB=2\cdot6=12$ .

Thus, the correct answer is C .

12.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $2\left(1-\dfrac{1}{2}\right) + 3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) +$ $\begin{aligned} &4\left(1-\dfrac{1}{4}\right) + \cdots \\ &\quad {}+ 10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

What is the value of the following expression? $2\left(1-\dfrac{1}{2}\right) + 3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) +$ $\begin{aligned} &4\left(1-\dfrac{1}{4}\right) + \cdots \\ &\quad {}+ 10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

$45$

$49$

$50$

$54$

$55$

Conceptos:sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

Para cada entero $n$ desde $2$ hasta $10$ ,

$n\left(1-\frac1n\right)=n-1.$

La expresión es entonces $1+2+\cdots+9=45$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each integer $n$ from $2$ through $10$ ,

$n\left(1-\frac1n\right)=n-1.$

The expression is therefore $1+2+\cdots+9=45$ .

Thus, the correct answer is A .

13.

¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado sombreado y el área del cuadrado grande? (La figura está dibujada a escala)

What is the ratio of the area of the shaded square to the area of the large square? (The figure is drawn to scale)

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{16}$

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Podemos extender la figura hasta la siguiente:

Luego, podemos observar el triángulo inferior, que constituye una cuarta parte de la figura.

La mitad de esa área es el área sombreada, así que toda el área sombreada es $\dfrac 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We could extend the figure to the following:

Then, we could look at the bottom triangle that makes up a quarter of the figure.

Half of that area is the shaded area, so the entire shaded area is $\dfrac 18.$

Thus, the correct answer is C .

14.

En la Annville Junior High School, el $30\%$ de los estudiantes del Club de Matemáticas están en el Club de Ciencias, y el $80\%$ de los estudiantes del Club de Ciencias están en el Club de Matemáticas. Hay $15$ estudiantes en el Club de Ciencias. ¿Cuántos estudiantes hay en el Club de Matemáticas?

At Annville Junior High School, $30\%$ of the students in the Math Club are in the Science Club, and $80\%$ of the students in the Science Club are in the Math Club. There are $15$ students in the Science Club. How many students are in the Math Club?

$12$

$15$

$30$

$36$

$40$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1180

Solución:

Como el $80\%$ de las personas están en ambos clubes, el número de personas en ambos clubes es $0.8\cdot 15=12.$ Esto es el $30\%$ del Club de Matemáticas, así que el número de personas en el Club de Matemáticas es $\dfrac{12}{0.3}=40.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $80\%$ of people are in both clubs, the number of people in both clubs is $0.8\cdot 15=12.$ This is $30\%$ of the math club, so the number of people in the math club is $\dfrac{12}{0.3}=40.$

Thus, the correct answer is E .

15.

Los problemas $15, 16,$ y $17$ se refieren todos a lo siguiente:

No abarrotemos las islas

En el mismísimo centro del Mar Irénico se encuentran las hermosas Islas Nisos. En $1998$ el número de personas en estas islas es solo $200,$ pero la población se triplica cada $25$ años. La reina Irene ha decretado que debe haber al menos $1.5$ millas cuadradas por cada persona que vive en las Islas. El área total de las Islas Nisos es $24900$ millas cuadradas.

Estima la población de Nisos en el año $2050.$

Problems $15, 16,$ and $17$ all refer to the following:

Don’t Crowd The Isles

In the very center of the Irenic Sea lie the beautiful Nisos Isles. In $1998$ the number of people on these islands is only $200,$ but the population triples every $25$ years. Queen Irene has decreed that there must be at least $1.5$ square miles for every person living in the Isles. The total area of the Nisos Isles is $24900$ square miles.

Estimate the population of Nisos in the year $2050.$

$600$

$800$

$1000$

$2000$

$3000$

Conceptos:sucesión geométrica estimación

Nivel de dificultad: 960

Solución:

La población en $2048$ , que es $50$ años después de $1998$ , es $3^2\cdot200=1800$ .

Como $2048$ está cerca de $2050$ , la población en $2050$ es aproximadamente $1800$ , y la opción más cercana es $2000$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The population in $2048$ , which is $50$ years after $1998$ , is $3^2\cdot200=1800$ .

Since $2048$ is close to $2050$ , the population in $2050$ is approximately $1800$ , and the closest choice is $2000$ .

Thus, the correct answer is D .

16.

Estima el año en que la población de Nisos será aproximadamente $6000.$

Estimate the year in which the population of Nisos will be approximately $6000.$

$2050$

$2075$

$2100$

$2125$

$2150$

Conceptos:sucesión geométrica estimación

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

Este sería el año en que la población es $30$ veces la de $1998.$ Esto significa que la población se triplica aproximadamente $3$ veces, lo que sitúa el año aproximadamente $3\cdot 25=75$ años después de $1998.$ Esto sería $2073,$ así que $2075$ es la mejor aproximación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This would be the year the population is $30$ times as much as in $1998.$ This means the population triples approximately $3$ times, making the year approximately $3\cdot 25=75$ years after $1998.$ This would be $2073,$ so $2075$ is the best approximation.

Thus, the correct answer is B .

17.

¿En aproximadamente cuántos años, a partir de $1998$ , la población de Nisos alcanzará la cantidad que la reina Irene ha proclamado que las islas pueden sostener?

In how many years, approximately, from $1998$ will the population of Nisos be as much as Queen Irene has proclaimed that the islands can support?

$50$ años

$50$ years

$75$ años

$75$ years

$100$ años

$100$ years

$125$ años

$125$ years

$150$ años

$150$ years

Conceptos:sucesión geométrica estimación

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

La población máxima es $\dfrac{24900}{1.5}=16600.$ Esto es $83$ veces la población de $1998,$ así que serían unas $4$ triplicaciones a partir de $1998.$ Eso serían $25\cdot 4=100$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The maximal population is $\dfrac{24900}{1.5}=16600.$ This is $83$ times as much as the population in $1998,$ so it would be about $4$ triples from $1998.$ That would be $25\cdot 4=100$ years.

Thus, the correct answer is C .

18.

Como se indica en el diagrama de abajo, una hoja de papel rectangular se dobla de abajo hacia arriba, luego de izquierda a derecha y, finalmente, se hace un agujero en $X$ . ¿Cómo se ve el papel al desdoblarlo?

As indicated by the diagram below, a rectangular piece of paper is folded bottom to top, then left to right, and finally, a hole is punched at $X$ . What does the paper look like when unfolded?

Conceptos:plegado de papel reflexión (geometría)

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

El rectángulo final ya doblado es el cuarto superior derecho de la hoja original, y el agujero se hace en la parte superior izquierda de ese rectángulo doblado.

Al desdoblar, el agujero se refleja respecto a las líneas de doblez horizontal y vertical. Solo la opción B tiene los cuatro agujeros correspondientes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The final folded rectangle is the upper-right quarter of the original sheet, and the hole is punched in the upper-left part of that folded rectangle.

Unfolding reflects the hole across the horizontal and vertical fold lines. Only choice B has the four corresponding holes.

Thus, the correct answer is B .

19.

Tamika elige al azar dos números distintos del conjunto $\{ 8,9,10 \}$ y los suma. Carlos toma al azar dos números distintos del conjunto $\{3, 5, 6\}$ y los multiplica. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de Tamika sea mayor que el de Carlos?

Tamika selects two different numbers at random from the set $\{ 8,9,10 \}$ and adds them. Carlos takes two different numbers at random from the set $\{3, 5, 6\}$ and multiplies them. What is the probability that Tamika's result is greater than Carlos' result?

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Tamika puede obtener $17,18,19$ , y Carlos puede obtener $15,18,30$ .

Los nueve pares igualmente probables se forman eligiendo uno de cada uno. Tamika es mayor en $(17,15),$ $(18,15),$ $(19,15),$ $(19,18)$ , así que $4$ de los $9$ pares funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Tamika can get $17,18,19$ , and Carlos can get $15,18,30$ .

The nine equally likely pairs are formed by choosing one of each. Tamika is greater in $(17,15),$ $(18,15),$ $(19,15),$ $(19,18)$ , so $4$ of the $9$ pairs work.

Thus, the correct answer is A .

20.

Sea $PQRS$ una hoja de papel cuadrada. Se dobla $P$ sobre $R$ y luego se dobla $Q$ sobre $S.$ El área de la figura resultante es 9 pulgadas cuadradas. Halla el perímetro del cuadrado $PQRS.$

Let $PQRS$ be a square piece of paper. $P$ is folded onto $R$ and then $Q$ is folded onto $S.$ The area of the resulting figure is 9 square inches. Find the perimeter of square $PQRS.$

$9$

$16$

$18$

$24$

$36$

Conceptos:plegado de papel área

Nivel de dificultad: 1360

Solución:

Después de los dos pliegues, el triángulo resultante tiene área $9$ . Cuatro copias congruentes de este triángulo forman el cuadrado original.

Así que el cuadrado tiene área $4\cdot9=36$ , lo que da una longitud de lado de $6$ . Su perímetro es $4\cdot6=24$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After the two folds, the resulting triangle has area $9$ . Four congruent copies of this triangle make the original square.

So the square has area $4\cdot9=36$ , giving side length $6$ . Its perimeter is $4\cdot6=24$ .

Thus, the correct answer is D .

21.

Una caja cúbica de $4\times 4\times 4$ contiene 64 cubos pequeños idénticos que la llenan por completo. ¿Cuántos de estos cubos pequeños tocan un lado o el fondo de la caja?

A $4\times 4\times 4$ cubical box contains 64 identical small cubes that exactly fill the box. How many of these small cubes touch a side or the bottom of the box?

$48$

$52$

$60$

$64$

$80$

Conceptos:conteo complementario Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Los únicos cubos que no tocan ningún lado ni el fondo forman el núcleo interior situado por encima de la capa inferior. Este núcleo tiene dimensiones $2\times2\times3$ , así que contiene $12$ cubos.

Así, $64-12=52$ cubos tocan un lado o el fondo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The only cubes that do not touch a side or the bottom form the interior core above the bottom layer. This core has dimensions $2\times2\times3$ , so it contains $12$ cubes.

Thus $64-12=52$ cubes touch a side or the bottom.

Thus, the correct answer is B .

22.

Terri genera una sucesión de enteros positivos siguiendo tres reglas. Comienza con un entero positivo, luego aplica la regla apropiada al resultado y continúa de esta manera.

Regla 1: Si el entero es menor que 10, multiplícalo por 9.

Regla 2: Si el entero es par y mayor que 9, divídelo entre 2.

Regla 3: Si el entero es impar y mayor que 9, réstale 5.

Por ejemplo, considera la sucesión de muestra: $23, 18, 9, 81, 76, \ldots .$

Halla el $98^\text{th}$ término de la sucesión que comienza con: $98, 49, \ldots$

Terri produces a sequence of positive integers by following three rules. She starts with a positive integer, then applies the appropriate rule to the result, and continues in this fashion.

Rule 1: If the integer is less than 10, multiply it by 9.

Rule 2: If the integer is even and greater than 9, divide it by 2.

Rule 3: If the integer is odd and greater than 9, subtract 5 from it.

For example, consider the sample sequence: $23, 18, 9, 81, 76, \ldots .$

Find the $98^\text{th}$ term of the sequence that begins with: $98, 49, \ldots$

$6$

$11$

$22$

$27$

$54$

Conceptos:recursión aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

La sucesión comienza

$\begin{gathered} 98,49,44,22,11, \\ 6,54,27,22,\ldots . \end{gathered}$

Después de los primeros tres términos, el ciclo $(22,11,6,54,27)$ se repite. Como $98-3=95$ es múltiplo de $5$ , el $98^{\text{th}}$ término es el quinto término del ciclo, $27$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sequence begins

$\begin{gathered} 98,49,44,22,11, \\ 6,54,27,22,\ldots . \end{gathered}$

After the first three terms, the cycle $(22,11,6,54,27)$ repeats. Since $98-3=95$ is a multiple of $5$ , the $98^{\text{th}}$ term is the fifth term of the cycle, $27$ .

Thus, the correct answer is D .

23.

Si el patrón del diagrama continúa, ¿qué fracción del interior estaría sombreada en el octavo triángulo?

If the pattern in the diagram continues, what fraction of the interior would be shaded in the eighth triangle?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{11}{45}$

Conceptos:número triangular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

El $n^{\text{th}}$ triángulo tiene $n^2$ triángulos pequeños.

El número de triángulos pequeños sombreados es $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}2$ .

Para $n=8$ , la fracción sombreada es $\dfrac{8\cdot7/2}{8^2}=\dfrac7{16}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $n^{\text{th}}$ triangle has $n^2$ small triangles.

The number of shaded small triangles is $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}2$ .

For $n=8$ , the shaded fraction is $\dfrac{8\cdot7/2}{8^2}=\dfrac7{16}$ .

Thus, the correct answer is C .

24.

Un tablero rectangular de 8 columnas tiene casillas numeradas empezando en la esquina superior izquierda y avanzando de izquierda a derecha, de modo que la fila uno se numera del 1 al 8, la fila dos del 9 al 16, y así sucesivamente. Un estudiante sombrea la casilla 1, luego se salta una casilla y sombrea la casilla 3, se salta dos casillas y sombrea la casilla 6, se salta 3 casillas y sombrea la casilla 10, y continúa de esta manera hasta que haya al menos una casilla sombreada en cada columna.

¿Cuál es el número de la casilla sombreada que logra este resultado por primera vez?

A rectangular board of 8 columns has squares numbered beginning in the upper left corner and moving left to right so row one is numbered 1 through 8, row two is 9 through 16, and so on. A student shades square 1, then skips one square and shades square 3, skips two squares and shades square 6, skips 3 squares and shades square 10, and continues in this way until there is at least one shaded square in each column.

What is the number of the shaded square that first achieves this result?

$36$

$64$

$78$

$91$

$120$

Conceptos:número triangular aritmética modular

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Las casillas sombreadas son los números triangulares $1,3,6,10,15,\ldots$ . Las columnas corresponden a los residuos módulo $8$ , donde el residuo $0$ representa la octava columna.

Los números triangulares hasta $105$ tienen residuos $1,3,6,2,7,5,4,4,5,7,2,6,3,1$ , así que el residuo de la octava columna aún no ha aparecido.

El siguiente número triangular es $120$ , y $120\equiv0\pmod8$ . Esta es la primera vez que cada columna tiene una casilla sombreada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The shaded squares are the triangular numbers $1,3,6,10,15,\ldots$ . Columns correspond to residues modulo $8$ , with residue $0$ representing the eighth column.

The triangular numbers through $105$ have residues $1,3,6,2,7,5,4,4,5,7,2,6,3,1$ , so the eighth-column residue has not appeared yet.

The next triangular number is $120$ , and $120\equiv0\pmod8$ . This is the first time every column has a shaded square.

Thus, the correct answer is E .

25.

Tres amigos generosos, cada uno con algo de dinero en efectivo, redistribuyen su dinero de la siguiente manera: Ami da suficiente dinero a Jan y a Toy para duplicar la cantidad que cada uno tiene. Luego Jan da lo suficiente a Ami y a Toy para duplicar sus cantidades. Finalmente, Toy da a Ami y a Jan lo suficiente para duplicar sus cantidades. Si Toy tiene $\$36$ al comienzo y $\$36$ al final, ¿cuál es la cantidad total que tienen los tres amigos?

Three generous friends, each with some cash, redistribute their money as follows: Ami gives enough money to Jan and Toy to double the amount that each has. Jan then gives enough to Ami and Toy to double their amounts. Finally, Toy gives Ami and Jan enough to double their amounts. If Toy has $\$36$ when they begin and $\$36$ when they end, what is the total amount that all three friends have?

$\$108$

$\$180$

$\$216$

$\$252$

$\$288$

Conceptos:trabajar hacia atrás invariante

Nivel de dificultad: 1620

Solución:

Toy comienza con $\$36$ . Después de que Ami duplica la cantidad de Toy, Toy tiene $\$72$ . Después de que Jan duplica la cantidad de Toy, Toy tiene $\$144$ .

En el turno final de Toy, Toy termina con $\$36$ , así que Toy regala $\$144-\$36=\$108$ . Ese regalo duplica la cantidad combinada de Ami y Jan, así que Ami y Jan juntos tenían $\$108$ justo antes del turno final de Toy.

La cantidad total de dinero es constante, así que el total es $\$144+\$108=\$252$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Toy begins with $\$36$ . After Ami doubles Toy's amount, Toy has $\$72$ . After Jan doubles Toy's amount, Toy has $\$144$ .

On Toy's final turn, Toy ends with $\$36$ , so Toy gives away $\$144-\$36=\$108$ . That gift doubles the combined amount of Ami and Jan, so Ami and Jan together had $\$108$ just before Toy's final turn.

The total amount of money is constant, so the total is $\$144+\$108=\$252$ .

Thus, the correct answer is D .