1998 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

Para $x = 7,$ ¿cuál de las siguientes opciones es la menor?

For $x = 7,$ which of the following is the smallest?

$\dfrac{6}{x}$

$\dfrac{6}{x+1}$

$\dfrac{6}{x-1}$

$\dfrac{x}{6}$

$\dfrac{x+1}{6}$

Respuesta: B

Conceptos:sustitución fracción

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero sustituye $x = 7$

Substitute $x = 7$ first.

Pista grande:

Con numeradores iguales, compara los denominadores

With equal numerators, compare denominators.

Solución:

Al sustituir $x = 7,$ los cinco valores son $\dfrac{6}{7},$ $\dfrac{6}{8},$ $1,$ $\dfrac{7}{6},$ y $\dfrac{4}{3}.$

Los dos primeros son los únicos valores menores que $1.$ Como tienen el mismo numerador, la fracción con el denominador mayor es la menor. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Substituting $x = 7$ gives the five values $\dfrac{6}{7},$ $\dfrac{6}{8},$ $1,$ $\dfrac{7}{6},$ and $\dfrac{4}{3}.$

The first two are the only values less than $1.$ Because they have the same numerator, the fraction with the larger denominator is smaller. Thus, the correct answer is B .

2.

Si $~\begin{array}{r|l}a&b \\ \hline c&d\end{array} = a\cdot d-b\cdot c,$ ¿cuál es el valor de $~\begin{array}{r|l}3&4 \\ \hline 1&2\end{array}~$ ?

If $~\begin{array}{r|l}a&b \\ \hline c&d\end{array} = a\cdot d-b\cdot c,$ what is the value of $~\begin{array}{r|l}3&4 \\ \hline 1&2\end{array}~?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Asocia $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ con las cuatro casillas

Match $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ to the four entries.

Pista grande:

Calcula $3\cdot 2-4\cdot 1$

Compute $3\cdot 2-4\cdot 1.$

Solución:

Al sustituir en la definición, obtenemos $3\cdot 2-4\cdot 1=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting into the definition gives $3\cdot 2-4\cdot 1=2.$

Thus, the correct answer is E .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\dfrac{\frac{3}{8}+\frac{7}{8}}{\frac{4}{5}}$

What is the value of the following expression? $\dfrac{\frac{3}{8}+\frac{7}{8}}{\frac{4}{5}}$

$1$

$\dfrac{25}{16}$

$2$

$\dfrac{43}{20}$

$\dfrac{47}{16}$

Respuesta: B

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Primero suma las fracciones del numerador

Add the numerator fractions first.

Pista grande:

Dividir entre $\frac{4}{5}$ equivale a multiplicar por $\frac{5}{4}$

Dividing by $\frac{4}{5}$ means multiplying by $\frac{5}{4}.$

Solución:

Esto se evalúa como: $\begin{align*} \dfrac{\frac{3}{8}+\frac{7}{8}}{\frac{4}{5}} &= \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{4}{5}} \\ &=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \\ &= \dfrac{25}{16}.\end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This evaluates to: $\begin{align*} \dfrac{\frac{3}{8}+\frac{7}{8}}{\frac{4}{5}} &= \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{4}{5}} \\ &=\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 \\ &= \dfrac{25}{16}.\end{align*}$

Thus, the correct answer is B .

4.

¿Cuántos triángulos hay en esta figura? (Algunos triángulos pueden superponerse con otros.)

How many triangles are in this figure? (Some triangles may overlap other triangles.)

$9$

$8$

$7$

$6$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:conteo de figuras en diagramas análisis por casos

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cuenta por separado los triángulos pequeños y los más grandes

Count small and larger triangles separately.

Pista grande:

No olvides los triángulos formados al combinar otros más pequeños

Do not forget triangles formed by combining smaller ones.

Solución:

La figura contiene tres triángulos pequeños, el triángulo formado por los dos triángulos pequeños de la derecha y el gran triángulo exterior.

Esto da $5$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The figure contains three small triangles, the triangle made from the two rightmost small triangles, and the large outside triangle.

This gives $5$ triangles.

Thus, the correct answer is E .

5.

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

Which of the following numbers is largest?

$9.12344$

$9.123\overline{4}$

$9.12\overline{34}$

$9.1\overline{234}$

$9.\overline{1234}$

Respuesta: B

Conceptos:decimal periódico valor posicional

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Escribe los decimales periódicos con algunas cifras más

Write the repeating decimals out for a few places.

Pista grande:

Compara en la primera cifra donde los decimales difieren

Compare at the first digit where the decimals differ.

Solución:

Cada número comienza con $9.1234.$ La siguiente cifra es $4$ para las opciones $A$ y $B,$ $3$ para $C,$ $2$ para $D,$ y $1$ para $E.$

La opción $A$ termina y continúa con ceros, mientras que la opción $B$ continúa con más $4$ s. Por lo tanto, la opción $B$ es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each number starts with $9.1234.$ The next digit is $4$ for choices $A$ and $B,$ $3$ for $C,$ $2$ for $D,$ and $1$ for $E.$

Choice $A$ then terminates and is followed by zeros, while choice $B$ continues with more $4$ s. Thus, choice $B$ is largest.

Thus, the correct answer is B .

6.

Los puntos están separados una unidad, horizontal y verticalmente. El número de unidades cuadradas encerradas por el polígono es

Dots are spaced one unit apart, horizontally and vertically. The number of square units enclosed by the polygon is

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:descomposición de áreas punto reticular

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Mueve el triángulo inclinado de arriba al hueco que falta abajo

Move the slanted top triangle into the missing bottom space.

Pista grande:

El polígono tiene el área de un rectángulo $2\times 3$

The polygon has the area of a $2\times 3$ rectangle.

Solución:

Considera el rectángulo $2 \times 3$ de la parte inferior. La pieza triangular que está por encima de ese rectángulo tiene la misma área que la pieza triangular que falta por debajo de él. Al reacomodar una en la otra se obtiene un rectángulo $2 \times 3$ completo, así que el área del polígono es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Consider the $2 \times 3$ rectangle on the bottom. The triangular piece above that rectangle has the same area as the missing triangular piece below it. Rearranging one into the other gives a full $2 \times 3$ rectangle, so the polygon’s area is $6.$

Thus, the correct answer is B .

7.

$100\times 19.98\times 1.998\times 1000=$

$(1.998)^2$

$(19.98)^2$

$(199.8)^2$

$(1998)^2$

$(19980)^2$

Respuesta: D

Conceptos:decimal exponente

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Empareja los factores decimales con potencias de $10$

Pair the factors with powers of $10.$

Pista grande:

Agrupa el producto como $(100\cdot 19.98)(1000\cdot 1.998)$

Group the product as $(100\cdot 19.98)(1000\cdot 1.998).$

Solución:

Agrupa los dos primeros factores y los dos últimos:

$\begin{aligned} &(100\cdot 19.98)(1.998\cdot 1000) \\ &= 1998\cdot1998 \\ &= (1998)^2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Group the first two factors and the last two factors:

$\begin{aligned} &(100\cdot 19.98)(1.998\cdot 1000) \\ &= 1998\cdot1998 \\ &= (1998)^2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

8.

Una piscina infantil contiene $200$ galones de agua. Si el agua se evapora a razón de $0.5$ galones por día y no se añade ni se retira más agua, ¿cuántos galones de agua habrá en la piscina después de $30$ días?

A child’s wading pool contains $200$ gallons of water. If water evaporates at the rate of $0.5$ gallons per day and no other water is added or removed, how many gallons of water will be in the pool after $30$ days?

$140$

$170$

$185$

$198.5$

$199.85$

Respuesta: C

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Halla cuánta agua se evapora en $30$ días

Find how much water evaporates in $30$ days.

Pista grande:

Resta $0.5\cdot 30$ de la cantidad inicial

Subtract $0.5\cdot 30$ from the starting amount.

Solución:

La cantidad perdida es $0.5\cdot 30=15$ galones. Por lo tanto, la cantidad que queda es $200-15=185.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The amount lost is $0.5\cdot 30=15$ gallons. Therefore, the amount left is $200-15=185.$

Thus, the correct answer is C .

9.

Por una rebaja, el dueño de una tienda reduce el precio de una bufanda de $\$10$ en un $20\%.$ Más tarde el precio se baja de nuevo, esta vez en la mitad del precio ya rebajado. El precio ahora es

For a sale, a store owner reduces the price of a $\$10$ scarf by $20\%.$ Later the price is lowered again, this time by one-half the reduced price. The price is now

$\$2.00$

$\$3.75$

$\$4.00$

$\$4.90$

$\$6.40$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Una reducción del $20\%$ deja el $80\%$

A $20\%$ reduction leaves $80\%.$

Pista grande:

La segunda reducción reduce a la mitad el precio ya rebajado

The second reduction halves the reduced price.

Solución:

Después de la reducción del $20\%,$ el precio es $\$10\cdot 0.8=\$8.$

Luego, al reducir el precio a la mitad, el precio es $\dfrac{\$8}{2}=\$4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

After the $20\%$ reduction, the price is $\$10\cdot 0.8=\$8.$

Then, after halving the price, the price is $\dfrac{\$8}{2}=\$4.$

Thus, the correct answer is C .

10.

Cada una de las letras $W,$ $X,$ $Y,$ y $Z$ representa un entero distinto del conjunto $\{1,2,3,4\},$ aunque no necesariamente en ese orden. Satisfacen $\dfrac{W}{X}-\dfrac{Y}{Z}=1$ ¿Cuál es la suma de $W$ y $Y$ ?

Each of the letters $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ represents a different integer in the set $\{1,2,3,4\},$ but not necessarily in that order. They satisfy $\dfrac{W}{X}-\dfrac{Y}{Z}=1$ What is the sum of $W$ and $Y?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: E

Conceptos:fracción análisis por casos

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Enumera las fracciones posibles usando $1,$ $2,$ $3,$ y $4$

List possible fractions using $1,$ $2,$ $3,$ and $4.$

Pista grande:

La fracción mayor debe superar a la menor exactamente en $1$

The larger fraction must exceed the smaller one by exactly $1.$

Solución:

La única forma de obtener una diferencia de $1$ es

$\frac{3}{1}-\frac{4}{2}=1.$

Así, $W=3$ y $Y=4,$ de modo que $W+Y=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The only way to get a difference of $1$ is

$\frac{3}{1}-\frac{4}{2}=1.$

Thus, $W=3$ and $Y=4,$ so $W+Y=7.$

Thus, the correct answer is E .

11.

Harry tiene $3$ hermanas y $5$ hermanos. Su hermana Harriet tiene $S$ hermanas y $B$ hermanos. ¿Cuál es el producto de $S$ y $B$ ?

Harry has $3$ sisters and $5$ brothers. His sister Harriet has $S$ sisters and $B$ brothers. What is the product of $S$ and $B?$

$8$

$10$

$12$

$15$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:conteo básico deducción lógica

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Primero cuenta el total de niños y niñas de la familia

First count the total boys and girls in the family.

Pista grande:

Harriet es una de las hermanas de Harry

Harriet is one of Harry’s sisters.

Solución:

Como Harry tiene $3$ hermanas y $5$ hermanos, la familia tiene $3$ niñas y $6$ niños. Harriet es una de las niñas, así que tiene $2$ hermanas y $6$ hermanos.

Entonces $SB=2\cdot 6=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since Harry has $3$ sisters and $5$ brothers, the family has $3$ girls and $6$ boys. Harriet is one of the girls, so she has $2$ sisters and $6$ brothers.

Therefore, $SB=2\cdot 6=12.$

Thus, the correct answer is C .

12.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\begin{aligned} &2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \\ &\quad {}+4\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots \\ &\quad {}+10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

What is the value of the following expression? $\begin{aligned} &2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \\ &\quad {}+4\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots \\ &\quad {}+10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

$45$

$49$

$50$

$54$

$55$

Respuesta: A

Conceptos:sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Simplifica cada término $n(1-\frac{1}{n})$

Simplify each term $n(1-\frac{1}{n}).$

Pista grande:

Los términos se convierten en enteros consecutivos

The terms become consecutive integers.

Solución:

Para cada entero $n$ desde $2$ hasta $10,$

$n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1.$

La expresión es entonces $1+2+\cdots+9=45.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each integer $n$ from $2$ through $10,$

$n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1.$

The expression is therefore $1+2+\cdots+9=45.$

Thus, the correct answer is A .

13.

¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado sombreado y el área del cuadrado grande? (La figura está dibujada a escala.)

What is the ratio of the area of the shaded square to the area of the large square? (The figure is drawn to scale.)

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{16}$

Respuesta: C

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Prolonga las líneas de la cuadrícula dentro del cuadrado grande

Extend the grid lines in the large square.

Pista grande:

El cuadrado sombreado está formado por cuatro mitades de cuadrados unitarios

The shaded square is made from four half-unit squares.

Solución:

Extiende la figura a una cuadrícula de $4$ por $4,$ como se muestra:

El cuadrado grande consta de $16$ cuadrados unitarios. El cuadrado sombreado está formado por cuatro mitades de cuadrados unitarios, así que su área es $4\cdot\dfrac{1}{2}=2.$ Por lo tanto, la razón pedida es $\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Extend the figure to a $4$ by $4$ grid as shown:

The large square consists of $16$ unit squares. The shaded square is made from four half-unit squares, so its area is $4\cdot\dfrac{1}{2}=2.$ Therefore, the required ratio is $\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.$

Thus, the correct answer is C .

14.

En Annville Junior High School, el $30\%$ de los estudiantes del Club de Matemáticas pertenecen al Club de Ciencias, y el $80\%$ de los estudiantes del Club de Ciencias pertenecen al Club de Matemáticas. Hay $15$ estudiantes en el Club de Ciencias. ¿Cuántos estudiantes hay en el Club de Matemáticas?

At Annville Junior High School, $30\%$ of the students in the Math Club are in the Science Club, and $80\%$ of the students in the Science Club are in the Math Club. There are $15$ students in the Science Club. How many students are in the Math Club?

$12$

$15$

$30$

$36$

$40$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Primero halla el número de estudiantes que están en ambos clubes

Find the number of students in both clubs first.

Pista grande:

Ese grupo común es el $30\%$ del Club de Matemáticas

That overlap is $30\%$ of the Math Club.

Solución:

Como el $80\%$ de los $15$ estudiantes del Club de Ciencias también pertenece al Club de Matemáticas, ambos clubes comparten $0.8\cdot 15=12$ estudiantes. Esto representa el $30\%$ del Club de Matemáticas, por lo que ese club tiene $\dfrac{12}{0.3}=40$ estudiantes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $80\%$ of the $15$ Science Club students are also in the Math Club, the two clubs overlap in $0.8\cdot 15=12$ students. This is $30\%$ of the Math Club, so the Math Club has $\dfrac{12}{0.3}=40$ students.

Thus, the correct answer is E .

15.

Los problemas $15,$ $16,$ y $17$ se refieren todos a lo siguiente:

No abarrotemos las islas

En el mismísimo centro del Mar Irénico se encuentran las hermosas Islas Nisos. En $1998$ el número de personas en estas islas es solo $200,$ pero la población se triplica cada $25$ años. La reina Irene ha decretado que debe haber al menos $1.5$ millas cuadradas por cada persona que vive en las Islas. El área total de las Islas Nisos es $24{,}900$ millas cuadradas.

Estima la población de Nisos en el año $2050.$

Problems $15,$ $16,$ and $17$ all refer to the following:

Don’t Crowd The Isles

In the very center of the Irenic Sea lie the beautiful Nisos Isles. In $1998$ the number of people on these islands is only $200,$ but the population triples every $25$ years. Queen Irene has decreed that there must be at least $1.5$ square miles for every person living in the Isles. The total area of the Nisos Isles is $24{,}900$ square miles.

Estimate the population of Nisos in the year $2050.$

$600$

$800$

$1000$

$2000$

$3000$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica estimación

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Triplicar dos veces lleva de $1998$ a $2048$

Tripling twice gets from $1998$ to $2048.$

Pista grande:

Usa $2048$ como el año de referencia más cercano a $2050$

Use $2048$ as the closest benchmark to $2050.$

Solución:

La población en $2048,$ que es $50$ años después de $1998,$ es $3^2\cdot200=1800.$

Como $2048$ está cerca de $2050,$ la población en $2050$ es aproximadamente $1800,$ y la opción más cercana es $2000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The population in $2048,$ which is $50$ years after $1998,$ is $3^2\cdot200=1800.$

Since $2048$ is close to $2050,$ the population in $2050$ is approximately $1800,$ and the closest choice is $2000.$

Thus, the correct answer is D .

16.

Estima el año en que la población de Nisos será aproximadamente $6000.$

Estimate the year in which the population of Nisos will be approximately $6000.$

$2050$

$2075$

$2100$

$2125$

$2150$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica estimación

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Compara $6000$ con la población inicial $200$

Compare $6000$ with the starting population $200.$

Pista grande:

Tres triplicaciones se acercan a un factor de $30$

Three triplings are close to a factor of $30.$

Solución:

Este sería el año en que la población es $30$ veces la de $1998.$ Esto significa que la población se triplica aproximadamente $3$ veces, lo que sitúa el año aproximadamente $3\cdot 25=75$ años después de $1998.$ Esto sería $2073,$ así que $2075$ es la mejor aproximación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This would be the year the population is $30$ times as much as in $1998.$ This means the population triples approximately $3$ times, making the year approximately $3\cdot 25=75$ years after $1998.$ This would be $2073,$ so $2075$ is the best approximation.

Thus, the correct answer is B .

17.

¿En aproximadamente cuántos años, a partir de $1998,$ la población de Nisos alcanzará la cantidad que la reina Irene ha proclamado que las islas pueden sostener?

In how many years, approximately, from $1998$ will the population of Nisos be as much as Queen Irene has proclaimed that the islands can support?

$50$ años

$50$ years

$75$ años

$75$ years

$100$ años

$100$ years

$125$ años

$125$ years

$150$ años

$150$ years

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica estimación

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Calcula cuántas personas pueden sostener las islas

Compute how many people the islands can support.

Pista grande:

Compara la capacidad con la población después de cada triplicación

Compare the capacity with the population after each tripling.

Solución:

La población máxima es $\dfrac{24{,}900}{1.5}=16{,}600.$ Esto es $83$ veces la población de $1998,$ así que serían unas $4$ triplicaciones a partir de $1998.$ Eso serían $25\cdot 4=100$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The maximal population is $\dfrac{24{,}900}{1.5}=16{,}600.$ This is $83$ times as much as the population in $1998,$ so it would be about $4$ triples from $1998.$ That would be $25\cdot 4=100$ years.

Thus, the correct answer is C .

18.

Como se indica en el diagrama de abajo, una hoja de papel rectangular se dobla de abajo hacia arriba, luego de izquierda a derecha y, finalmente, se hace un agujero en $X.$ ¿Cómo se ve el papel al desdoblarlo?

As indicated by the diagram below, a rectangular piece of paper is folded bottom to top, then left to right, and finally, a hole is punched at $X.$ What does the paper look like when unfolded?

Respuesta: B

Conceptos:plegado de papel reflexión (geometría)

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Desdobla primero el último pliegue

Unfold the last fold first.

Pista grande:

Cada pliegue refleja el agujero respecto a la línea de doblez

Each fold reflects the hole across the fold line.

Solución:

El rectángulo final ya doblado es el cuarto superior derecho de la hoja original, y el agujero se hace en la parte superior izquierda de ese rectángulo doblado.

Al desdoblar, el agujero se refleja respecto a las líneas de doblez horizontal y vertical. Solo la opción B tiene los cuatro agujeros correspondientes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The final folded rectangle is the upper-right quarter of the original sheet, and the hole is punched in the upper-left part of that folded rectangle.

Unfolding reflects the hole across the horizontal and vertical fold lines. Only choice B has the four corresponding holes.

Thus, the correct answer is B .

19.

Tamika elige al azar dos números distintos del conjunto $\{8,9,10\}$ y los suma. Carlos toma al azar dos números distintos del conjunto $\{3,5,6\}$ y los multiplica. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de Tamika sea mayor que el de Carlos?

Tamika selects two different numbers at random from the set $\{8,9,10\}$ and adds them. Carlos takes two different numbers at random from the set $\{3,5,6\}$ and multiplies them. What is the probability that Tamika’s result is greater than Carlos’ result?

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Enumera las posibles sumas de Tamika y los posibles productos de Carlos

List Tamika’s possible sums and Carlos’ possible products.

Pista grande:

Cuenta los pares ordenados favorables entre los nueve pares igualmente probables

Count the favorable ordered pairs among the nine equally likely pairs.

Solución:

Tamika puede obtener $17,$ $18,$ o $19,$ y Carlos puede obtener $15,$ $18,$ o $30.$

Los nueve pares igualmente probables se forman eligiendo un resultado de cada persona. El resultado de Tamika es mayor en $(17,15),$ $(18,15),$ $(19,15),$ y $(19,18),$ así que $4$ de los $9$ pares funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Tamika can get $17,$ $18,$ or $19,$ and Carlos can get $15,$ $18,$ or $30.$

The nine equally likely pairs are formed by choosing one result from each person. Tamika’s result is greater in $(17,15),$ $(18,15),$ $(19,15),$ and $(19,18),$ so $4$ of the $9$ pairs work.

Thus, the correct answer is A .

20.

Sea $PQRS$ una hoja de papel cuadrada. Se dobla $P$ sobre $R$ y luego se dobla $Q$ sobre $S.$ El área de la figura resultante es $9$ pulgadas cuadradas. Halla el perímetro del cuadrado $PQRS.$

Let $PQRS$ be a square piece of paper. $P$ is folded onto $R$ and then $Q$ is folded onto $S.$ The area of the resulting figure is $9$ square inches. Find the perimeter of square $PQRS.$

$9$

$16$

$18$

$24$

$36$

Respuesta: D

Conceptos:plegado de papel área

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Después de los dos pliegues, cuatro piezas congruentes forman el cuadrado original

After the two folds, four congruent pieces make the original square.

Pista grande:

Usa el área resultante para hallar la longitud del lado original

Use the resulting area to find the original side length.

Solución:

Después de los dos pliegues, el triángulo resultante tiene área $9.$ Cuatro copias congruentes de este triángulo forman el cuadrado original.

Así que el cuadrado tiene área $4\cdot 9=36,$ lo que da una longitud de lado de $6.$ Su perímetro es $4\cdot 6=24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After the two folds, the resulting triangle has area $9.$ Four congruent copies of this triangle make the original square.

So the square has area $4\cdot 9=36,$ giving side length $6.$ Its perimeter is $4\cdot 6=24.$

Thus, the correct answer is D .

21.

Una caja cúbica de $4\times 4\times 4$ contiene $64$ cubos pequeños idénticos que la llenan por completo. ¿Cuántos de estos cubos pequeños tocan un lado o el fondo de la caja?

A $4\times 4\times 4$ cubical box contains $64$ identical small cubes that exactly fill the box. How many of these small cubes touch a side or the bottom of the box?

$48$

$52$

$60$

$64$

$80$

Respuesta: B

Conceptos:conteo complementario Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Cuenta los cubos que no tocan ningún lado ni el fondo

Count the cubes that do not touch a side or the bottom.

Pista grande:

El núcleo interior que no toca nada es $2\times 2\times 3$

The untouched interior core is $2\times 2\times 3.$

Solución:

Los únicos cubos que no tocan ningún lado ni el fondo forman el núcleo interior situado por encima de la capa inferior. Este núcleo tiene dimensiones $2\times 2\times 3,$ así que contiene $12$ cubos.

Así, $64-12=52$ cubos tocan un lado o el fondo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The only cubes that do not touch a side or the bottom form the interior core above the bottom layer. This core has dimensions $2\times 2\times 3,$ so it contains $12$ cubes.

Thus, $64-12=52$ cubes touch a side or the bottom.

Thus, the correct answer is B .

22.

Terri genera una sucesión de enteros positivos siguiendo tres reglas. Comienza con un entero positivo, luego aplica la regla apropiada al resultado y continúa de esta manera.

Regla $1:$ Si el entero es menor que $10,$ multiplícalo por $9.$

Regla $2:$ Si el entero es par y mayor que $9,$ divídelo entre $2.$

Regla $3:$ Si el entero es impar y mayor que $9,$ réstale $5.$

Por ejemplo, considera la sucesión de muestra: $23,$ $18,$ $9,$ $81,$ $76,$ $\ldots.$

Halla el término $98$ de la sucesión que comienza con $98,$ $49,$ $\ldots.$

Terri produces a sequence of positive integers by following three rules. She starts with a positive integer, then applies the appropriate rule to the result, and continues in this fashion.

Rule $1:$ If the integer is less than $10,$ multiply it by $9.$

Rule $2:$ If the integer is even and greater than $9,$ divide it by $2.$

Rule $3:$ If the integer is odd and greater than $9,$ subtract $5$ from it.

For example, consider the sample sequence $23,$ $18,$ $9,$ $81,$ $76,$ $\ldots.$

Find the $98$ th term of the sequence that begins $98,$ $49,$ $\ldots.$

$6$

$11$

$22$

$27$

$54$

Respuesta: D

Conceptos:recursión aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Genera términos hasta que un valor se repita

Generate terms until a value repeats.

Pista grande:

Una vez que empieza la repetición, reduce el índice módulo la longitud del ciclo

After the repeat begins, reduce the index modulo the cycle length.

Solución:

La sucesión comienza

$\begin{gathered} 98,49,44,22,11, \\ 6,54,27,22,\ldots. \end{gathered}$

Después de los primeros tres términos, el ciclo $(22,11,6,54,27)$ se repite. Como $98-3=95$ es múltiplo de $5,$ el término $98$ es el quinto término del ciclo, $27.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sequence begins

$\begin{gathered} 98,49,44,22,11, \\ 6,54,27,22,\ldots. \end{gathered}$

After the first three terms, the cycle $(22,11,6,54,27)$ repeats. Since $98-3=95$ is a multiple of $5,$ the $98$ th term is the fifth term of the cycle, $27.$

Thus, the correct answer is D .

23.

Si el patrón del diagrama continúa, ¿qué fracción del interior estaría sombreada en el octavo triángulo?

If the pattern in the diagram continues, what fraction of the interior would be shaded in the eighth triangle?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{11}{45}$

Respuesta: C

Conceptos:número triangular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

En el paso $n,$ hay $n^2$ triángulos pequeños

At step $n,$ there are $n^2$ small triangles.

Pista grande:

El número de sombreados es $1+2+\cdots+(n-1)$

The shaded count is $1+2+\cdots+(n-1).$

Solución:

El triángulo $n$ tiene $n^2$ triángulos pequeños.

El número de triángulos pequeños sombreados es $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}{2}.$

Para $n=8,$ la fracción sombreada es $\dfrac{\frac{8\cdot 7}{2}}{8^2}=\dfrac{7}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $n$ th triangle has $n^2$ small triangles.

The number of shaded small triangles is $1+2+\cdots+(n-1)$ $=\dfrac{n(n-1)}{2}.$

For $n=8,$ the shaded fraction is $\dfrac{\frac{8\cdot 7}{2}}{8^2}=\dfrac{7}{16}.$

Thus, the correct answer is C .

24.

Un tablero rectangular de $8$ columnas tiene casillas numeradas empezando en la esquina superior izquierda y avanzando de izquierda a derecha, de modo que la fila uno se numera del $1$ al $8,$ la fila dos del $9$ al $16,$ y así sucesivamente. Un estudiante sombrea la casilla $1,$ luego se salta una casilla y sombrea la casilla $3,$ se salta dos casillas y sombrea la casilla $6,$ se salta $3$ casillas y sombrea la casilla $10,$ y continúa de esta manera hasta que haya al menos una casilla sombreada en cada columna.

¿Cuál es el número de la casilla sombreada que logra este resultado por primera vez?

A rectangular board of $8$ columns has squares numbered beginning in the upper left corner and moving left to right so row one is numbered $1$ through $8,$ row two is $9$ through $16,$ and so on. A student shades square $1,$ then skips one square and shades square $3,$ skips two squares and shades square $6,$ skips $3$ squares and shades square $10,$ and continues in this way until there is at least one shaded square in each column.

What is the number of the shaded square that first achieves this result?

$36$

$64$

$78$

$91$

$120$

Respuesta: E

Conceptos:número triangular aritmética modular

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Las columnas corresponden a los residuos módulo $8$

Columns correspond to residues modulo $8.$

Pista grande:

Las casillas sombreadas son números triangulares

The shaded squares are triangular numbers.

Solución:

Las casillas sombreadas son los números triangulares $1,$ $3,$ $6,$ $10,$ $15,$ $\ldots.$ Las columnas corresponden a los residuos módulo $8,$ donde el residuo $0$ representa la octava columna.

Los números triangulares hasta $105$ tienen residuos $1,$ $3,$ $6,$ $2,$ $7,$ $5,$ $4,$ $4,$ $5,$ $7,$ $2,$ $6,$ $3,$ y $1.$ Por lo tanto, el residuo de la octava columna aún no ha aparecido.

El siguiente número triangular es $120,$ y $120\equiv 0\pmod{8}.$ Esta es la primera vez que cada columna tiene una casilla sombreada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The shaded squares are the triangular numbers $1,$ $3,$ $6,$ $10,$ $15,$ $\ldots.$ Columns correspond to residues modulo $8,$ with residue $0$ representing the eighth column.

The triangular numbers through $105$ have residues $1,$ $3,$ $6,$ $2,$ $7,$ $5,$ $4,$ $4,$ $5,$ $7,$ $2,$ $6,$ $3,$ and $1.$ Thus, the eighth-column residue has not appeared yet.

The next triangular number is $120,$ and $120\equiv 0\pmod{8}.$ This is the first time every column has a shaded square.

Thus, the correct answer is E .

25.

Tres amigos generosos, cada uno con algo de dinero en efectivo, redistribuyen su dinero de la siguiente manera: Ami da suficiente dinero a Jan y a Toy para duplicar la cantidad que cada uno tiene. Luego Jan da lo suficiente a Ami y a Toy para duplicar sus cantidades. Finalmente, Toy da a Ami y a Jan lo suficiente para duplicar sus cantidades. Si Toy tiene $\$36$ al comienzo y $\$36$ al final, ¿cuál es la cantidad total que tienen los tres amigos?

Three generous friends, each with some cash, redistribute their money as follows: Ami gives enough money to Jan and Toy to double the amount that each has. Jan then gives enough to Ami and Toy to double their amounts. Finally, Toy gives Ami and Jan enough to double their amounts. If Toy has $\$36$ when they begin and $\$36$ when they end, what is the total amount that all three friends have?

$\$108$

$\$180$

$\$216$

$\$252$

$\$288$

Respuesta: D

Conceptos:trabajar hacia atrás invariante

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Sigue la cantidad de Toy a lo largo de los dos primeros intercambios

Track Toy’s amount through the first two exchanges.

Pista grande:

Antes del último turno de Toy, la cantidad que da es igual a la suma de lo que tienen Ami y Jan

Before Toy’s final turn, the amount he gives equals Ami and Jan’s combined amount.

Solución:

Toy comienza con $\$36.$ Después de que Ami duplica la cantidad de Toy, Toy tiene $\$72.$ Después de que Jan duplica la cantidad de Toy, Toy tiene $\$144.$

En el turno final de Toy, Toy termina con $\$36,$ así que Toy regala $\$144-\$36=\$108.$ Ese regalo duplica la cantidad combinada de Ami y Jan, así que Ami y Jan juntos tenían $\$108$ justo antes del turno final de Toy.

La cantidad total de dinero es constante, así que el total es $\$144+\$108=\$252.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Toy begins with $\$36.$ After Ami doubles Toy’s amount, Toy has $\$72.$ After Jan doubles Toy’s amount, Toy has $\$144.$

On Toy’s final turn, Toy ends with $\$36,$ so Toy gives away $\$144-\$36=\$108.$ That gift doubles the combined amount of Ami and Jan, so Ami and Jan together had $\$108$ just before Toy’s final turn.

The total amount of money is constant, so the total is $\$144+\$108=\$252.$

Thus, the correct answer is D .

Problemas del 1998 AMC 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande: