Question

Tres integrantes del equipo de softball femenino de Euclid Middle School tuvieron la siguiente conversación.

Ashley: Acabo de darme cuenta de que nuestros números de camiseta son todos primos de $2$ dígitos.

Bethany: Y la suma de sus dos números de camiseta es la fecha de mi cumpleaños a principios de este mes.

Caitlin: Qué curioso. La suma de sus dos números de camiseta es la fecha de mi cumpleaños a finales de este mes.

Ashley: Y la suma de sus dos números de camiseta es la fecha de hoy.

¿Qué número usa Caitlin?

Three members of the Euclid Middle School girls' softball team had the following conversation.

Ashley: I just realized that our uniform numbers are all $2$ -digit primes.

Bethany: And the sum of your two uniform numbers is the date of my birthday earlier this month.

Caitlin: That's funny. The sum of your two uniform numbers is the date of my birthday later this month.

Ashley: And the sum of your two uniform numbers is today's date.

What number does Caitlin wear?

$11$

$13$

$17$

$19$

$23$

Solución:

Cualquier suma por parejas debe ser una fecha del mes, así que es a lo sumo $31$ . Las posibles sumas de dos primos de dos dígitos que son a lo sumo $31$ son $11+13=24$ , $11+17=28$ , $11+19=30$ y $13+17=30$ .

Las tres fechas son antes, hoy y después, así que deben ser distintas y crecientes. El único conjunto posible de tres fechas distintas es $24,28,30$ , que proviene de los números $11$ , $13$ y $17$ .

La fecha de Bethany es Ashley más Caitlin, la fecha de Ashley es Bethany más Caitlin, y la fecha posterior de Caitlin es Ashley más Bethany. Esto significa que el número de Caitlin es el más pequeño de los tres, es decir $11$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Any pair-sum must be a date in the month, so it is at most $31$ . The possible sums of two two-digit primes that are at most $31$ are $11+13=24$ , $11+17=28$ , $11+19=30$ , and $13+17=30$ .

The three dates are earlier, today, and later, so they must be distinct and increasing. The only possible set of three distinct dates is $24,28,30$ , coming from the numbers $11$ , $13$ , and $17$ .

Bethany's date is Ashley plus Caitlin, Ashley's date is Bethany plus Caitlin, and Caitlin's later date is Ashley plus Bethany. This means Caitlin's number is the smallest of the three, namely $11$ .

Thus, A is the correct answer.

2014 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años